PB = PF
§ 1. — Réduction de l'équation générale.
203. L'équation du deuxième degré représente une parabole (137) lorsque ses trois premiers termes forment un carré parfait, c'est-à-dire lorsqu'elle est de la forme
{(XX -+• ^yy -I- 'igx -h 'ifjr -h c = o.
On ne peut pas alors la transformer (140) de manière à faire disparaître à la fois les termes en x et j. Mais la forme même de réquation indique le procédé à suivre pour la simplifier. Les quantités ax -+■ (3/, 2gx -f- T.fy-^-c sont respectivement proportionnelles aux distances du point {x^y) aux droites ayant pour équations
a^-+-(3j=o, 2^^ 4- 2yy -4- c = o.
L'équation de la parabole exprime ainsi que le carré de la distance d'un point de la courbe à la première de ces droites est dans un rapport constant avec la distance de ce point à la deuxième droite. En prenant donc ces droites pour axes de coordonnées, l'équation de la courbe pourra se réduire à la forme y*z=pxy puisque les distances d'un point à deux axes sont proportionnelles aux coordonnées de ce point par rapport à ces axes.
La nouvelle origine est un point de la courbe, et comme à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de j égales et de signes contraires, le nouvel axe des x est un diamètre dont les ordonnées sont parallèles au nouvel axe des )\ Mais l'ordonnée menée à l'extrémité d'un diamètre est tangente à la courbe (145); donc le nouvel axe des y est la tangente
DE LÀ PARâBOLB. 267
à l'origine. En se reportant à Féquation primitive , on voit ainsi que ax + ^y est le diamètre passant par Torigine , et que ^gx -f- 'ifjr-h c est la tangente au point oii ce diamètre rencontre la courbe.
L'équation d'une parabole rapportée à un diamètre et à la tangente menée par l'extrémité de ce diamètre, est donc de la forme jr^=px.
304. Les nouveaux axes auxquels nous avons été conduit dans le Auméro précédent ne sont pas, en général, rectangu* laires; mais il est toujours possible de ramener l'équation de la parabole à la forme j* = px et d'avoir en même temps des axes rectangulaires. Pour le démontrer, introduisons dans l'équation générale de cette courbe une constante arbitraire /r; elle deviendra alors
(aj:-+- (3^4- /f)' + 2(g'— a/c)x -4-2(/— PA-)^-»- c — /i» = o. De même qu'au numéro précédent
a^ -h j3j-h /i'=:o représente un diamètre, et
2{g— a/f)jr-t- 2(/— p/r)j-t-c — A^ = o
la tangente à l'extrémité de ce diamètre. Si nous prenons ces droites pour axes, l'équation de la parabole deviendra j' = px, et nous pourrons déterminer k par la condition que ces deux droites soient perpendiculaires. Nous aurons ainsi (25)
d'où
Puisque nous ne trouvons qu'une seule équation du premier degré pour déterminer k, il n'existe qu'un seul diamètre formant avec ses ordonnées un angle droit. Ce diamètre s'appelle axe de la courbe.
205. On peut aussi ramener l'équation de la parabole à la forme jr^ = pxpdir la transformation des coordonnées. Lorsqu'il s'est
268 CHAPITRE XIK
agi (Chapitre XI) de réduire l'équation générale du deuxième degré nous avons déplacé les axes parallèlement à eux-mêmes, puis nous les avons fait tourner autour de la nouvelle origine de manière à faire disparaître le terme en xy. Pour la parabole, nous effectuerons ces transformations dans Tordre inverse (comme nous aurions, du reste, pu le faire pour l'ellipse et l'hyperbole); cette marche semble d'autant plus convenable que Ton ne peut pas, en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, faire disparaître à la fois le terme en x et le terme en j.
Prenons pour nouveaux axes la droite olx -f- (3/, et sa perpendiculaire ^x — oLy, Puisque les nouvelles coordonnées X et Y représentent les distances d'un point de la parabole aux nouveaux axes, on aura (34)
V'a' -h (D^ y/a' -f- fJ'
En faisant, pour abréger, a' H- (3' = y% les formules de transformation deviennent
y Y — a:r -+- P/, y X = (3^ — cLy\
d'où
yjr=:aY-hpX, yjr=j3Y-aX.
La substitution de ces valeurs dans l'équation de la courb(^ donne
y'Y^ -^ 2 (g^|3 ~/a)X + 2(g^« -^/(3) Y + yc = 0.
Ainsi, en faisant tourner les axes autour de l'origine, nous avons réduit l'équalion de la courbe à la forme
Transportons maintenant les axes parallèlement à eux-mêmes et prenons le point (x', y') pour origine, elle devient
by^-hzg'x •+- 2(6'j'-<-/')j-f- b'y'^ -f- ig'x* -h ^f'y' -4- c'= o.
Le coefficient de x n'ayant pas changé, on ne peut chercher à le rendre nul ; mais on peut déterminer x' et/' de telle sorte que
le coefficient de y el le terme absolu s'annulent. On aura alors
L'équaiion est ainsi ramenée à la (ormey^ =: px, et/? a pour valeur
Lorsque la parabole est représentée par j^ =/?a:, on donne i p \e nom de paramètre du diamètre pris pour axe de x; lorsque les axes sont rectangulaires, p est le paramètre principal (19^).
EXERCICES
