II. Trouver le paramètre de la parabole
ab b"
RÉPONSE
On peut déduire cette valeur de /?, des théorèmes suivants que nous démontrerons plus loin :
Le fojer d'une parabole est la projection rie l'intersection de detLx tangentes se coujxint à angle droit sur leur corde de contact;
Le paramètre d'une conique s'obtient en divisant quatre fois le produit des segments déterminés par le foyer sur une corde focale par cette corde focale (193, Ex. I).
m. Si a et ^ sont les longueurs de deux tangentes à la parabole se coupant à angle droit, et si m est le quart du paramètre, prouver que
206. Si dans l'équation primitive de la courbe on a g^ =:focj le coefficient de x est nul dans l'équation transformée
qui, prenant alors la forme
6'^' -f- ^f'x -^ c' = o, peut s'écrire, en désignant par X et fx ses racines,
Elle représente alors deux droites réelles ou imaginaires parallèles au nouvel axe des x.
Il est facile de vérifier que, dans ce cas, la condition générale (76) pour que réquation représente deux droites est satisfaite. En effet cette condition se traduit par la relation
c{ab — /i») = ap—i hfg -f- bg\
et si Ton y remplace a, li,b respectivement par a^ a^, (3% le
DE hk PAEABOLE. 27 1
premier membre s'annule et le second se réduit à (foc^g^y. On peut mettre ia relation
sous l'une ou l'autre des formes
et on Yolt alors que l'équation générale du second degré représente deux droites parallèles , lorsque ses coefficients satisfont à la fois à la relation ab — h^=o, et à l'une ou l'autre des conditions af= hg, fh = bg.
*Sff7. Lorsque les axes primitifs sont obliques, on peut encore réduire l'équation de la parabole, comme au n"205y en prenant pour nouveaux axes la droite ax + ^jr et sa perpendiculaire, dont l'équation est alors (26)
(P — acosw)ar — (a— pcoso))/— o.
Posant, pour abréger,
y>= a»-t- (î'— aa(3cosa>,
les formules de transformation deviennent (34)
yY=(ajr-f-pjr)sinw, yX = ((3 — acos&>)x— (a — (âcosw)/,
d'où
yxsin(ù = {a— pcosw)Y -h pXsino),
y/sin&î =(P — acoSû))Y — aXsino).
En effectuant les substitutions, l'équation de la parabole devient
y» Y' 4- 2 sin»a)(g-p — /a)X
2sinû)[gf(a — pcos&))-4-/(P — acosw)]Y-4-ycsin'w=:o;
si l'on déplace ensuite les axes parallèlement à eux-mêmes comme au n'' 205, on trouve, pour la valeur du paramètre principal/?,
__ 2^ 2(/« — gP)sin»(k)
(a»-4-P»— 2a(3cos&))'
EXERCICE
Trouver le paramètre principal de la parabole
.r' 7.XY r* IX 7.Y
RÉPONSE. p =
rt* ab ' b^ a b
[à^ -\- b^ -^ ^ab cos w ) "^
208. L'équation j^=/?j; nous permet de trouver facilement la forme de la parabole. Celle courbe est symétrique par rapport à Taxe des j, puisqu'à chaque valeur de x correspondent
Fig. 72.
deux valeurs égales et de signes contraires pour/; elle n'a
aucun point situé du côté des x négatifs, puisqu'en faisant x
négatif, y devient imaginaire; les valeurs de y croissent en
même temps que les valeurs positives de x. Cette courbe a
donc la forme indiquée par la^^. 72.
La parabole ressemble à l'hyperbole, en ce sens qu'elle a
des branches infinies; mais il y a une grande différence entre
la nature des branches infinies de ces deux courbes. Celles de
l'hyperbole tendent, à la limite, à coïncider avec deux droites
divergentes, tandis que celles de la parabole ne jouissent pas
de cette propriété. Si nous cherchons les deux points où la
droite
rencontre la parabole y^=2pXf nous obtenons l'équation du second degré
y' — pky — plzzzo,
dont les racines ne peuvent jamais devenir infinies tant que k et / restent finis.
Il n'y a donc aucune ligne, située à une distance finie, qui puisse rencontrer la parabole en deux points coïncidents et situés à Tinfîni. Le diamètre (j = m)qui rencontre la courbe à
HnOni (142), la rencontre aussi en un point ix- - ) » dont
l'abscisse croît en même temps que m, mais ne peut devenir infinie tant que m reste fini.
209. Le théorème suivant conduit à une conception plus claire de la forme de la parabole. Si, dans une ellipse définie par un sommet V et le foyer correspondant F [fig. 73), on fait croître indéfiniment le grand axe y V ellipse tend à se transformer en parabole.
L'ellipse rapportée à son sommet a pour équation (194)
Pour exprimer b en fonction de VF== m {fig. 78) supposé
Fîg. 73.
— - ,^ ♦■ — 1- ~' -fc
y-l VyF F'
constant, nous avons
niz=za — ^a^—b^ (182;,
6»= 2am — m*.
L* équation de l'ellipse prend alors la forme
/, 2/n'\ [im m»\
Lorsque a devient infini, elle^se réduit a
y^=^mx, et représente une parabole.
Une parabole peut aussi être considérée comme une ellipsf^ dont rexcenlricilé e est égale à Tuniié, car on a
et ~? coefficient de a:* dans Téqualion de l'ellipse, s'annula
lorsque a devient infini, les autres conditions étant d'ailleurs remplies.
On démontrerait de même qu'une hyperbole, définie par un sommet et le foyer correspondant, tend à se transformer en parabole lorsqu'on fait croître indéfiniment son axe transverse.
§ II. — Tangente et normale.
210. La corde qui joint deux points (j^', j'), {x'",)-") de la courbe a pour équation (86)
(r — r' )ir — r" ) = r' — p^f
ou
En y faisant x'^= .r', j'=z j ", on a pour l'équation de la tangente, au point {x',y''),
La sous-tangente TM [Jig* 74) est divisée en deux parties égales par le sommet, c'est-à-dire qu'elle est double de l'abscisse, puisqu'en faisant j = o dans l'équation précédente, on trouve x=z — x\
Si Ton prend pour axes de coordonnées un diamètre et la tangente à son extrémité, l'équation de la parabole reste de la forme y^=^p'x (203); celles de la corde et de la tangente ne changent pas; la sous-tangente est donc encore, dans ce cas, double de l'abscisse.
Cette remarque permet de mener une tangente en un point P de la parabole {Jig* 74)' î^ suffit, en effet, pour la construire, de prendre VT = VM ( PM étant l'ordonnée du point P), et de
DK LA PARABOLIt.
joindre PT. On peut aussi, après avoir tracé celle tangenlc, trouver l'ordonnée PM' du point P par rapport à un autre dia-
Fig. 74.
mètre TW : il n> a qu à prendre V'M':=: VT, et à joindre PM'.
211. L'équation de la polaire d'un point {x^yj') ayant la même forme que celle de la tangente (89) est
el en y faisant 7 = o, on trouve x^=z-^x' pour le segment déterminé par cette polaire sur Taxe des x. Donc le segment détei^miné sur Vaxe par les polaires de deux points test égal au seffment déterminé sur cet axe par les perpendiculaires abaissées de ces points,
212. L'équation de la normale ou de la perpendiculaire PN élevée en (^',j') P sur la tangente PT,
Fig. 75.
est
