V* \ VL
Le point N (Jig. 7$), où cette normale rencontre l'axe des jc,
est donné par
el, puisque VM = x\ on a, pour la longueur MN de la 5o//5normale {\AV),
MNzzrip.
Donc, dans la parabole, la sous-normale est constante et égale au demi-paramètre.
La longueur de la normale PN a pour expression
PN = V P m' + M N V- y/.r'= -h i /7' = y/;,(:r' + i p) = ^ v//»,»' •
§ III. — Diamètres.
213. Nous démontrerons ici de nouveau que, lorsqu'on prend pour axes un diamètre et la tangente à son extrémité, la parabole a pour équation y^=ip'xy afin de trouver l'expression du paramètre/?' en fonction du paramètre principal p.
Si Ton transporte parallèlement à eux-mêmes, au point (^',r') de la courbe, les axes rectangulaires auxquels correspond l'équation y^ = px de la parabole, on obtient
Conservons le même axe des x, mais prenons un nouvel axe des/ faisant un angle 0 avec lui, cette équation, en y remplaçant X eix respectivement par x-4- jcosO, jsinô {n° 9), devient
j'sin'0 -f- 2j'jsin0=::/?^ -hp^cosO,
et pour qu'elle se réduise à la forme j==/?^, il faut qu'on ail
'iy' sinO = pcosOy ou tang9 = -^, ;
cet angle 9 est précisément celui que la tangente au point [x',y'') fait avec l'axe des x, comme on peut le voir en se
DE LA PARABOLB. 277
reportant à son équation
L'équation de la parabole rapportée à gn diamètre et à la tangente à l'extrémité est alors
7 P •^ sin'0 ^
La quantité p' est le paramètre correspondant au diamètre V'M', 61, comme on a
sin'6
le paramètre correspondant à un diamètre est inversement proportionnel au carré du sinus de V angle que les ordonnées de ce diamètre font avec l'axe.
On peut, en parlant de Téquation tang9r=-L, exprimer le
paramètre d'un diamètre en fonction des coordonnées de Texirémilé de ce diamètre^ car on a
sind
par suite,
§ IV. -T- Foyer et directrice.
214- On appelle/ojer de la parabole le point situé sur Taxe de la courbe à une distance du sommet égale au quart du paramètre principal. Nous avons déjà entrevu (209) l'analogie de ce point avec le foyer dans Tellipse; d'ailleurs une parabole peut être considérée comme une ellipse ayant un de ses foyers à rinfini. Afin de ne pas avoir d'expressions fractionnaires
dans les numéros suivants, nous représenterons j p par m.
Distance d'un point {x\y^) de la parabole au foyer.
Le carré de la distance du foyer (m, 0)3 un point (^',j'j
de la parabole a pour expression
(or'— m)^-\-jr'^=^x'^'- ^nmx' -¥- m^ -t- ^mx' = [x' -h my.
La distance de ce |ioini au foyer est donc x'-h m.
Nous pouvons ainsi exprimer plus simplement le résultat obtenu précédemment (213) : le paramètre d'un diamètre est égal à quatre fois la distance de son extrémité au foyer.
215. De même que dans Tellipse et l'hyperbole, on appelle directrice la polaire du foyer de la parabole.
Puisque m est la distance du foyer au sommet de la parabole, sa polaire (211) est perpendiculaire à l'axe qu'elle rencontre en un point symétrique du foyer par rapport au sommet. La distance d'un point {x', r' ) de la courbe à la directrice est donc x'-\-m; par suite (214) les points de la parabole sont à égale distance du foyer et de la directrice^
Dans Tellipse et l'hyperbole (186), les distances d'un point au foyer et à la directrice sont dans le rapport constant de e à I. Il en est de même pour la parabole; mais alors e:= i (209).
Le procédé indiqué (202) pour décrire l'hyperbole d'un mouvement continu peut s'appliquer à la parabole; il suffit de prendre l'angle ABR égal à 90 degrés.
216. Le point de contact {x\y' ) d*une tangente et le point où elle rencontre l'axe sont à égale distance du foyer.
Car la dislance du sommet au point 011 la tangente rencontre l'axe est égale à x' (210), et, par suite, la distance de ce point au foyer est x' -^ m.
217. La tangente fait des angles égaux avec l'axe et avec le rayon vecteur mené du foyer au point de contact.
Cela résulte de ce que la tangente, l'axe et le rayon vecteur forment un triangle isoscèle, ainsi que nous l'avons démontré au numéro précédent.
On peut aussi regarder ce théorème comme une simple extension de la propriété de l'ellipse (188) relative à l'égalité
DB LA PAUABOLE. 279
des angles TPF, Ï'PF [fig. ^3, p. 273); car, si Tun des foyers F' s'éloigne à rinfinl, la droile PF' devient parallèle à Taxe, el les angles PTF el TPF soni égaux.
La tangente menée à Textrémilé de Tordonnée passant par le foyer fait avec Taxe un angle de 45 degrés.
218. Trouver la distance du foyer à une tangente, La dislance du point (m, o ) à la tangente
a pour valeur
'>.m{x' -\- m) im(x' -h m)
Vj''-f- 4/»' si^mx' -^ ^m-
Donc [fg. 75, p. 275) FR (distance du foyer F a la tangenieTP) est une moyenne proportionnelle à FV et FP.
Il résulte aussi de cette expression et du n** 212 que FR est la moitié de la normale, comme on aurait pu le voir géométriquement, en partant de Tégaliié TF= FN.
219. Exprimer la distance du foyer à une tangente en fonction de V angle a que la direction de cette distance fait avec l'axe.
Nous avons [fig- 75, p. 276)
cosa = sinFïR r^ i/-, '^- - (213).
Donc (218)
FR=:v//n(a:'-i-m)=:
cosa
En prenant le foyer pour origine, l'équation de la tangente devient
m :rcosa -h r sma H- - — zz^o.
cosa
el permet d'exprimer la longueur de la perpendiculaire abaissée d'un autre point sur les tangentes en fonction de l'angle que celte perpendiculaire fait avec Taxe.
28o CHAPITRE XII.
220. Le lieu des projections du foyer sur les tangentes est une droite.
Car en prenant le foyer pour pôle, on a immédialement pour réqualion du liau
.0= > pcosa = m,
^ cosa ^
qui représente la tangente au sommet.
Réciproquement, si par un point F {Jig. ^5, p. 275 ), on mène lin rayon vecteur FR à une droite VR, et une perpendiculaire RP au rayon vecteur, la ligne RP sera constamment tangente à la parabole ayant F pour foyer et V pour sommet.
On pourrait arriver à l'équation du lieu ci-dessus, en employant des coordonnées rectangulaires.
Nous verrons plus loin comment on peut résoudre d'une manière générale les questions de ce genre , questions dans lesquelles on omet une des conditions nécessaires pour déterminer une ligne, et où Ton demande de trouver son enveloppe, c'est-à-dire la courbe à laquelle cette ligne est constamment tangente.
221. Trouver le lieu de r intersection des tangentes qui se coupent à angle droit.
L'équation d'une tangente étant (219)
X cos'a -t-^'sinacosa -h m = o,
celle de la tangente qui lui est perpendiculaire s'en déduira en y remplaçant a par 90° -+- a, on a ainsi
LÎnS
xsin^a. -h jsinacosa h- m = o.
En ajoutant ces deux équations, l'angle a disparaît, et on trouve
pour l'équation du lieu
X •+- im=: 0.
C'est celle de la directrice, puisque la distance du foyer à celle droite est égale à 2m.
DE LA Parabole. 281
222. L'angle compris entre deux tangentes est la moitié de l'angle sous lequel est vue du foyer leur corde de contact.
De ce que le triangle PFT (Jig. 75, p. a^S) est isoscèle, Tangle PTF que la tangente fait avec l'axe des x est la moitié de celui PFN que le rayon vecteur allant du foyer au point de contact fait avec ce même axe. D'ailleurs Tangle compris entre les deux tangentes est égal à la différence des angles que ces tangentes font avec Taxe des x\ et l'angle sous lequel est vue la corde de contact est égal à la différence des angles que font avec Taxe les rayons vecteurs menés du foyer aux points de contact.
Le théorème du n** 221 peut être considéré comme un corollaire du précédent. Car si deux tangentes se coupent à angle droit, la corde de contact sera vue du foyer sous un angle de 180 degrés; d'après la définition même de la directrice, les deux tangentes devront alors se couper sur la di- «
rectrice.
223. La droite FT qui joint le foyer F au point d* intersection T de deux tangentes est la bissectrice de V angle PFP' sous lequel on voit du foyer leur corde de contact PP'.
Les équations des,()eux tangentes sont (219)
^cos^a H-^sina cosa -+- m = o, arcos'P -h7sin(3cos{3H- m=. o;
et en les retranchant l'une de l'autre, on trouve, pour l'équation de la droite FTqui joint le foyer (c'est-à-dire l'origine) à leur point d'intersection,
d;sin(a -+- (3) — /cos(a -+- (3) = o.
Cette droite fait avec l'axe des x un angle a-^ ^; mais puisque a et j3 sont les angles que forment avec l'axe les perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes , nous aurons (Vêlant le sommet) VFP = aa, VFP'=: 2(3. Donc la droite qui fait avec l'axe un angle a -h p est la bissectrice de l'angle PFP'. Ce théorème peut aussi se démontrer ej\ calculant, comme
au n" 191 , Tangle 0 — 0' sous lequel e^l vue du fover la langénie menée à la parabole par un point (j:, 7). On trouve ainsi, pour déterminer cet angle, la relation
cos G — 6' = ,
qui, étant indépendante des coordonnées du point de contact,
se rapporte à Tune et à l'autre des tangentes qu'on peut mener
à la parabole par le point {x, y-), (0. Brien, Coordinate Geo-
metry, p. i56.)
Corollaire 1. — Si Ton considère le cas où l'angle PFP' est égal à i8o degrés, la corde de contact PP' passe par le foyer, les tangentes TP, TP' se coupent sur la directrice, et l'angle TFP est droit (192). Ce corollaire peut se démontrer directement en formant les équations de la polaire d'un point (— /w, /') de la directrice, et de la droite joignant ce point au foyer. Ces équations sont
jr' y =z im{x — m ), 2 m ( r — j' ) -h j' ( ^ H- m ) = o ;
les droites qu'elles représentent jsont perpendiculaires enlre elles.
Corollaire IL — Si une corde PP' coupe la directrice en D (Jig. «yô), la droite FD est la bissectrice extérieure de
Fig. 76.
l'angle PF P' . Pour la démonstration de ce corollaire, voir n° 192, Ex. il.
Corollaire III. — Le segment PQ (fig. 77) déterminé sur une tangente variable par deux tangentes fixes R/?, Rq est vu du foyer sous un angle QFP égal au supplément de l'angle PQR
formé par les tangentes fixes; car Tangle QRT est la moitié de Tangle pFq (222), et l'angle PFQ est aussi la moitié de pFq (223) : donc
PFQ ^ ^' := i8o» - PRQ.
Corollaire IF» — Le cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes à une parabole passe par le foy^er,
