I-.e cercle passant par P, Q, R [Jig. 77) passe aussi par F
Fig. 77-
puisque l'angle PFQ est supplémentaire de Tangle PRQ.
224. Équation polaire de la parabole^ le foyer étant pris pour pôle.
Fia- 78.
Le rayon vecteur p(r= FP) [fig. 78)3 pour valeur (214.) p=:r JTH- /w = VM -f- m == FM -f- im :^ pcos0 -h 2/n,
0 élani l'angle que fait avec l'axe le rayon vecteur allant au point P {x,y). On tire de là
^ ' ' l — COS0'
équation qui peut du reste se déduire de celle du n** 193, en
y faisant e=z \ (209). Les propriétés étudiées dans les Exercices du n** 193 subsistent donc pour la parabole.
L'équation précédente suppose que B est mesuré par rapport à la direction FM; lorsqu'on mesure cet angle par rapport à la direction opposée FV, elle devient
ou bien ou encore
im
-h COS&'
cos^
cos^
el rentre ainsi dans l'équation générale
p"cos/i0 = a% dont nous étudierons ailleurs quelques propriétés.
THÉOBÈHBS ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. a85
§ I. — Problèmes divers.
2^5. La méthode à employer pour résoudre analytiquement les problèmes relatifs) aux sections coniques ne diffère pas de celle que nous avons suivie dans le cas du cercle et de la ligne droite, et ne saurait par suite présenter aucune difficulié au lecteur qui aura étudié avec soin les solutions données aux Chapitres III et VU. Nous nous bornerons donc à l'examen de quelques-uns des nombreux problèmes conduisant à dos équations du second degré» et nous réserverons la fin de ce Chapitre à l'exposition de certaines propriétés des sections coniques, qui n'ont pu trouver place au Chapitre précédent.
EXERCICES
I. Par un point fixe P (fig, ^4, p. 67) situé dans un angle donné LOK, on mène une droite LK sur laquelle on prend un point Q tel, que PL = QK; trouver le lieu du point Q.
n. Deux règles égales AR et RC (y^^. 79) sont reliées par un pivot
en B : l'une des extrémités A est fixe, tandis que l'autre C glisse sur la droite AC; trouver le lieu décrit par un point P pris sur BC.
m. Dans un triangle, on donne la base et le produit des tangentes des moitiés des angles à la base; trouver le lieu du sommet.
Cela i^evient à se donner la somme des côtés, ainsi qu'on peut s'en assurer en écrivant la valeur du produit des tangentes en fonction des côtés; le lieu est donc une ellipse ayant pour foyers les extrémités de la base.
IV. Dans un triangle, on donne la base et la somme des côtés; trouver le lieu du centre du cercle inscrit.
Ce lieu peut se déduire de l'Exercice précédent et de l'Ex. IV du n^ 49; c*est uno ellipse ayant pour sommets les extrémités de la base.
V. On donne la base et la somme des côtés; trouver le lieu de l'intersection des médianes.
VI. Trouver le lieu du centre du cercle déterminant des segments de longueurs données sur deux droites données.
VU. Trouver le lieu du centre des cercles tangents à deux cercles, ou à une droite et à un cercle.
VIIÏ. Trouver le lieu du centre des cercles passant par un point fixe, terminant un segment de longueur donnée sur une droite donnée.
IX. Trouver le lieu du centre des cercles passant par un point donné P, et déterminant sur une droite un segment qui soit vu du point P sous un angle donné.
X. Deux des sommets d'un triangle donné glissent sur deux droites^ fixes ; trouver le lieu du troisième sommet.
XL Un triangle ABC est circonscrit à un cercle donné; l'angle C est donné et le sommet B glisse sur une droite fixe; trouver le lieu du sommet A.
Nous emploierons les coordonnées polaires en prenant pour pôle le centre 0 du cercle, et pour axe polaire la perpendiculaire abaissée sur la droite fixe. Soient p, ô, p', Ô' les coordonnées de A et de B; /? la distance du point 0 à la droite fixe; r le rayon du cercle; a l'angle AOB; on aura p'cosô'=:/;; d'ailleurs l'angle a est connu, et, puisque le triangle AOB a pour hauteur le rayon r du cercle, on a
pp'sina r = ' '
v/p'-h p'^~ app'cosa et, comme 0 + G'= a, l'équation polaire du lieu est ^2 ^'p'sin'a
p'C0S'(a — Ô)-f- /?'— a/^pcosacos(a — 0 ) et représente une conique.
XII. Trouver le lieu des pôles par rapport à une conique A des tangentes à une autre conique B.
Soil (a, p) un point du lieu ;lx -¥ fxj -+- v sa polaire par rapport à la conique A; >, fi et v sont alors (89) des fonctions du premier degré en a et p. Mais (131) la condition pour que >x -h fxj-f- v touche la conique R est du second degré en a, pi, v; donc le lieu cherché est une conique.
Xin. Dans untf conique à centre, trouver le lieu de l'intersection de la perpendiculaire abaissée du foyer sur une tangente, avec le rayon secteur allant du centre au point de contact.
RÉPONSE. La directrice correspondante.
XIV. Trouver le lieu de l'intersection de la perpendiculaire abaisvsée du centre sur une tangente, avec le rayon vecteur mené du foyer au point de contact.
RÉPONSE. Un cercle.
XV. Trouver le lieu de l'intersection des tangentes menées aux extrémités de deux diamètres conjugués.
RÉPONSE. -1î -^ -V^ = a-
Ce lieu so trouve facilement en élevant au carré et ajoutant les équations des deux tangentes, eu égard aux expressions du n*^ Vil.
