XVI. Partager un arc de cercle en trois parties égales
RÉPONSE. Les points de division sont sur une hyperbole (49, Ex. VII).
XVII. Dans un trapèze, on donne : une des bases parallèles en grandeur et en position, l'autre base en grandeur seulement et la somme des deux autres côtés; trouver le lieu de Tinterscction des diagonales.
XVni. Un des sommets d'un parallélogramme circonscrit à une ellipse glisse sur une directrice; prouver que le sommet opposé décrit l'autre directrice, et que les deux autres sommets sont sur un cercle ayant le grand axe de l'ellipse pour diamètre.
226. Les problèmes suivants se rapportent aux propriétés focales des sections coniques.
I. La distance d'un point d'une conique au foyer est égale à l'ordonnée de ce point prolongée jusqu'à sa rencontre avec la tangente menée pnr rextrémité de l'ordonnée du foyerf
II. Par un foyer on mène une droite faisant un angle donné avec une
langente quelconque; trouver le lieu de Tintersection de cette droite avec la tangente.
III. Trouver le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à une série de coniques concentriques et homofocales. Les coordonnées x et r du pôle de la droite
par rapport à la conique -^ -h y^- = i sont données p:ir les équations
/wj: = ^/*, //j = A' ( 169) ; les coniques étant homofocales, on connaît AT* — 6' = c' : donc le lieu du pôle a pour équation
mx — nr = c',
qui est celle d'une droite perpendiculaire à la droite donnée.
Lorsque la droite donnée touche une des coniques, son pôle, par rapport à cette conique, est le point de contact; on a alors le théorème suivant : Les tangentes menées à une conique S par les points A et B, où elle rencontre une tangente à une conique homofocalc S', se coupent sur la normale correspondante h cette tangente AB.
IV. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées à un système de coniques homofocales par un point du grand axe.
Réponse. Un cercle.
y. Les droites joignant chaque foyer à la projection de Tautre foyer sur une tangente se coupent sur la normale correspondante qu'elles divisent en deux parties égales.
VI. Démontrer qu'en prenant le foyer pour pôle, la corde passant par les points, dont les coordonnées angulaires sont a + p, a — ^, a pour équation polaire
— = eco8Ô-i- séçpcos(0 — a).
Cette équation, due à M. Trost (*), se déduit facilement de TEx. 1H du n*" 4i.
Vn. La tangente au point dont la coordonnée angulaire est a a pour
(*) Cambridge and Dublin, Math. Journal, 1. 1, p. 68; — Walton, Problèmes^ p. 375. •
THfiORÈMES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 289
équation
~ = é.' COSO -h ces ( ô — a ).
Cette relation est due à M. Davies (*). •
Vin. Si, dans une conique ayant F pour foyer, on mène une corde PP' par un point fixe 0, le produit
Ung^PFO.tong;P'FO est constant.
Nous pourrions déduire cette propriété de l'équation de TEx . YI ( ** ) , mais nous préférerons en indiquer ici une démonstration géométrique donnée par M. Mac Cullagh, à qui, si nous ne nous trompons, est dil le théorènoe. Supposons que le point 0 soit pris sur PP' {Jig. 76), et soit e* le rapport de FO à la distance du point 0 à la directrice. Puisque les distances de P et de 0 à la directrice sont proportionnelles à PD et CD, on a
FP.FO c^
PD OD ~~^ e'
ou
par suite (192)
sinPDF . sinODF e sinPFD' sinOFD^ e
cosOFT e
cosPFf
