PFT
et comme (19i) PFT et OFT sont respectivement la demi-somme et la demi-différence de V¥0 et ^rè, il vient
tangiPFO.lang^P'FO ^ ^—^n
et ce produit reste encore constant lorsque le point 0, au lieu d'être Hxe, se déplace en restant sur une conique ayant même foyer et même directrice que la conique donnée.
IX. Exprimer la condition pour que la corde qui joint deux points (j/^ y'), (jt^iX") de la courbe passe par un foyer.
Parnai les différentes expressions équivalentes servant à formuler cette condition, les plus usitées sont celles qu'on obtient en exprimant que
(*) Phtlosophical Mttgazinef 184^, p. 199; — Walton, Exemples, p. 36S, (**) Waltor, Exemples f p. 377.
290 CHAPITEB TIIL
ô*= ô'-h i8o*, 0' et ô* étant les angles que font avec l'axe les droites qui joignent les points {x',^'), ( j:*, j^*) au foyer. Les relations sinô' = — sinô*, cosO'= — cosO' donnent ainsi respectivement
a — ex' a — ex'
X — C Jlf ~— c
H n — ^'i ^cx'x^^(a -^ ce){x'-hx'')-i- ^ac = o.
a — ex a — car
X. Si par les extrémités d'une corde focale (c'est-à-dire qui passe par le foyer) on mène des normales à la conique, la parallèle au grand axe menée par l'intersection de ces normales divise la corde en deux parties égaies (*).
Puisque chaque normale est la bissectrice de Tangle formé par les rayons vecteurs issus (du foyer, l'intersection de ces normales est le centre du cercle inscrit dans le triangle ayant pour côtés la corde focale et les droites qui joignent les extrémités de cette corde à l'autre foyer. Si a, 6 et c sont les longueurs des côtés d'un triangle ayant pour sommets {^\ X')y (^» j")» (-^î/")» les coordonnées x et jdu centre du cercle inscrit dans ce triangle seront (n** 7, Ex. VI]
Dans le cas actuel, les coordonnées des sommets étant x\ y\ x", j", — r, o , les longueurs des côtés opposés sont
on a donc
a -h ex" ^ a -+- ex\ la — ex' — cx'\
(a-H ex')y'''>t-[a^ex'')r'
expression qui , en tenant compte de la première équation de TExercice précédent, se réduit à
c equi démontre le théorème.
On trouverait de même
(tf-f- ca^)x'-\-{a H-rjr') or*— ['i.a — ex'—es^)r x= ,
(*) Cette démonstration est due à M. Larrose {Nouvelles Annales de Ter- QUEM, XIX, 85).
THÉOIÈMES ET PlOBLfiMBS' 8CR LBS SECTIONS CONIQUES. agi
valeur qui se réduit à
(n -h er) {x'-h x') -- aar
eu égard à la deuxième équation de TExercice précédent.
On trouverait des expressions analogues pour les coordonnées de Tintersection des tangentes menées par les extrémités de la corde focale, puisque cette intersection est le centre d*un cercle exinscrit au triangle considéré plus haut : la droite qui joint Tintersection des normales à celle des tangentes, étant la bissectrice de Fangle du triangle opposé à la corde focale, passe par Tautre foyer.
XI. Trouver le lieu des intersections [^^ y) des normales nlenées aux fxtrémités d'une corde focale.
Soient « et ^ les coordonnées du milieu de cette corde; on aura, d'après l'Exercice précédent :
On pourra donc facilement déduire le lieu du point (x. y) de celui de (a, ^) dont réquation polaire
I r ' »\ ~" ^' ecosO
p - -ï Ip — p ) - -^ • ■pir^a'^^'ô
devient, en prenant des coordonnées rectangulaires ayant leur origine au centre,
i'éqnation du Ueu cherché est donc
n'b^ (x -¥- f )'-+- (fl'H- c^)\r^ = b^c («»-h c») (x -h r).
XII. Si 0 est l'angle compris entre les tangentes PT, ?t menées à une
Fig. 80.
ellipse par un point P- [fig. 80), et p, p' les distances de ce point aux
foyers F el F', on a la relation
cosG = ^~ î — -^-- .
En effet (189)
mais
cosFPF'— cosTP/ = asinTPF.sin/PF, d'où
2pp'cosFPF= p'-t-p''- 4^^
XIII. Si par un point 0 on mène deux droites passant par les foyer» d'une ellipse (ou tangentes à une conique homofocale), et coupant 1<^ courbe aux points R, R', S, S', on a la relation
ôk-ôk'=5S-ÔF'" (M- M. ROBERTS.)
En se reportant à Téquation du second degré qui détermine (136) les rayons vecteurs menés par un point à une courbe du second degré, on reconnaît que la différence des réciproques des racines est la même pour les deux directions 0 qui correspondent à une même valeur de l'expression
{ac—g^)cos^B-h 2(c/* — gf) cosOsinO -h [bc — /^) sin'O.
Cette quantité qu'on peut écrire
A cos'ô -h aH cosO sinO -+- B sin'Ô
ne change pas si l'on prend pour 0 Tune ou l'autre des valeurs correspondant aux directions des droites également inclinées sur les deux droites représentées par
Aaj*-+- aHjTj^-h Bj'= o. ,
Ces deux droites sont les tangentes menées à la courbe par le point 0, et on sait qu'elles sont également inclinées sur les droites joignant le point O au foyer, ou tangentes à une conique homofocale (189).
227. Les problèmes suivants sont relatifs à la parabole ; il est facile de distinguer ceux qui, dans le numéro précédent» peuvent aussi se rapporter à cette courbe.
THÉ0BÈHE8 ET PROBLftMES 9UB LES SECTIONS CONIQUES. 71^3
EXERCICES
I. Trouver les coordonnées x et^ de l'intersection des deux tangentes menées par (J^', j'), (.r*, j") à la parabole 7' = /^x.
Réponse. r = '— ? x = •-^-:— •
n. Trouver le lieu de rmtersection de la perpendiculaire abaissée du foyer sur une tangente avec le rayon vecteur mené du sommet au point de contact.
m. Les trois hauteurs du triangle formé par trois tangentes se coupent sur la directrice (*).
L'éqnation d'une de ces hauteurs est (32)^
OU. en divisant par x"— j*",
La symétrie de cette équation montre que les trois hauleurs coupent la directrice à une distance de l'axe des x :
oy'y'y'*' y'i y" -i- v'"
jr=. — h ^ — .
IV. L'aire du triangle formé par trois tangentes est la moitié de celle du triangle qui a pour sommets les points de contact (**).
En substituant les coordonnées des sommets de ces deux triangles dans l'expression du n^ 36, on trouve, pour l'aire du deuxième triangle^
^(/'-r')Cr'-r")Lr"-r'),
et la moitié seulement de cette quantité pour l'aire du premier.
V. Trouver la valeur du rayon du cercle circonscrit à un triangle inscrit dans une parabole.
(*) Steiner, Annales de Gergonne^ t. XI\, p. 69; — Waltos, p. 1 19.
(*■) GftEGORi, Cambridge Jour naïf 1. 1!, p. 16; — Walto:!, p. 137. f^oiV aussi : Leeoas d'ytlgèbre supérieurey traduction française, p. 18, Ex. XII.
^94 GHAPITKB TIII.
Le rayon R du cercle circonscrit au triangle ayant d, r, /pour côtés
et Z pour aire, a pour valeur -r^; d'ailleurs si ^est la longueur de la
corde qui joint les points (x*, x')i (•^*'» /*')? ^l ®' l'angle que celte corde fait avec Taxe, on a évidemment rfsin0'= /"— j**. En partant des valeurs obtenues à l'Exercice précédent, on trouve
ssind'sinO'sinO'
On peut exprimer aussi ce rayon en fonction des cordes focales c\ c% c"' parallèles aux côtés du triangle, car la longueur de la corde focale r,
faisant un angle 0 avec l'axe est égale à -v^ (i93t Ex. II). On a ainsi
Il résulte du n° 212 que r', c", c^ sont les paramètres des diamètres correspondant aux cordes qui forment le triangle.
• VI. Trouver la valeur du rayon R du cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes à une parabole, en fonction des angles 0', 0", 0 que ces tangentes font avec l'axe.
RÉPONSE. R =•• a • />#•.. / m •
8sin0'sm(^'sm0'"
On a aussi
p\ /?", p"" étant les paramètres des diamètres qui passent par les points de contact (212).
VII. Trouver l'angle 7 compris entre les deux tangentes menées par le point (x*, j') à la parabole /* = 4/7/jr. L'équation des tangentes menées par {x%y') est (92)
(/"- kmx') (/»- 4 wx) = [77'- a/w [x -f- x')]\
et c^lle des parallèles menées à ces tangentes par l'origine
x'f^ — jr'xy-^ mx^= o.
L'angle f compris entre ces deux droites estdéBni par (74)
y/r'^ — ^mx' ^^ x'-^m
THÉOBtMBS ET PROBUMES 8UB U» SBGTlOlfS CONIQDBS. 29S
VIII. Trouver le lieu du sommet des angles f dont les cdtés §OBt tangents à la parabole. '
Rbporsx. C'est Thyperbole x^— i''^ — (x -h m y tang*^. En mettant son équation sous la forme j*-i-(j: — »i)' = (j:H-iw)*8éc*y, on voit que Thyperbole (186) a même foyer et même directrice que la parabole, et que son excentricité est égale à séc^.
IX. Trouver le lieu des projections des foyers sur la normale. La distance du foyer (//?, o) à la normale
a//î(jK — j^')-i-^'(jf — x') = o a pour valeur
Si Oest l'angle que la direction de cette distance fait avec Taxe (212), on a
8in0= t/-7^ ï cosG = \/—A — ;
\x*-hm \x'-hm
l'équation polaire du lieu est donc
