/7IC0SÔ
'''""sîi^Gr'
ce qui revient à j' = mx.
X. Trouver les coordonnées j: et j de Tintersection des normales menées aux points (x\ x')t (^"i 7") de la courbe.
im ' ^ Sm
Si ot et p sont les coordonnées de l'intersection des tangentes correspondantes (Ex. I), on a aussi
XJ. Trouver les points de la courbe dont les normales passent par un point donné (x\y).
En éliminant x entre l'équation de la normale et celle de la courbe, on trouve, pour déterminer lés ordonnées de ces points,
Les trois racines de cette équation sont liées par la relation
par conséquent la corde déterminée par deux de ces points fait avec l'axe le même angle que la droite qui joint le troisième au sommet.
XII. Trouver le lieu de Finterseclion des normales menées aux extrémités des cordes passant par un point fixe (x', jr').
Soient a, p les coordonnées du pôle de la corde; on a la relation px'= a//i (x'-+ a), et en éliminant successivement a et Centre cette équation et celle de l'Ex. X, on trouve, pour le lieu cherché, l'équation
qui représente une parabole dont Taxe est perpendiculaire à la polaire du point donné. Si les cordes étaient parallèles à une droite fixe , le lieu se réduirait à une ligne droite, comme cela est du reste évident d'après l'Ex. XI.
XIII. Trouver le lieu de l'intersectioh des normales qui se coupent à artgle droit.
On a, dans ce cas,
S* a = — 77/, X — 3/w -f- — 7 y — Pi y^~ "* (-^ "~ 3'" )•
XIV. Trouver le paramètre d'une parabole connaissant les longueurs a et h de deux tangentes, et l'angle w qu'elles font entre elles.
Menons le diamètre correspondant à la corde de contact; le para-
mètre p de ce diamètre est ^' = ^ , et le paramètre principal est
r^sin'O tff'r'
rs étant la distance de l'intersection des tangentes à la corde de contact. Mais
2cr^' = ah sin6> et i6j:' ~ «^-i- h^-\- 2 ah cos&>, donc
4/I*^'sin'o> * , o an^N
p — !! ( voir n° 207).
( a' -+-/>*-*- 2 fl-A cos w ) '
XV. Démontrer, en partant de l'équation du cercle circonscrit au tri angle formé par trois tangentes, que ce cercle passe par le foyer. Le cercle circonscrit à un triangle a pour équation (124)
p7 sin A -f- 7a sinB -h ap sinC = o,
et le terme absolu, qu'on trouve en remplaçant a, fi,... par leurs va-
leurs développées x cosa -h jsina — />..., est
/i'/>'sin(6 — 7)-H//^8in(7 — a) ^-/;)3'8in(a— p).
Mais si a représente une tangente à une parabole ayant le foyer pour origine, on a (219) p — ; le terme absolu devient alors
ë [sinfp — 7)cosa-hsin(7 — a)cosP -h sin(a — 6)0087],
C0SacOSpCOS7 '^ ^^11 w / \ \ r/ fj'
et il est identiquement nul.
XVI. Trouver le lieu de Tintersection des tangentes menées à la parabole, étant donnés : i^ le produit des sinus ; 2"* le produit des tangentes ; 3"* la 'somme , ou 4° la différence des cotangentes des angles que ces tangentes font avec Taxe.
RépoNSB. 1** un cercle; 1^ une droite; 3° une droite; 4^ une parabole.
228. Indiquons encore quelques problèmes pour terminer ce paragraphe.
EXERCICES
I. L'hyperbole équilatère circonscrite à un triangle passe par Tintersection des hauteurs de ce triangle (*).
Prenons pour axes un côté du triangle et la hauteur correspondante. On sait que l'équation de la conique passant par quatre points (151, Ex. I)
tifiVH- ihxy -h >.)/j*— [l[l[\ -h X') j: — ).a' (pi -h p')j -h ».'pp' = o
représente une hyperbole équilatère (les axes étant rectangulaires) lorsque
"^*''= — fifx' (i74). Dans le cas actuel, trois points X, V et f* étant
donnés, cette condition permet de déterminer le quatrième fx'; l'hy-
W perbole rencontre donc la hauteur au point fixe 7 = ? qui est Tin-
tersection des trois haute^irs du triangle (n" 32, Ex. VII).
(*) Bbiakchok et Pomcelet; — Gergomme, JnnaUs, t. XI, p. 2o5; — Waltom, p. a83.
agS châpitm viu.
II. Quel est le lieu des centres des hyperboles équilatères passant par trois points donnés.
RÉPONSE. Le cercle passant par les milieux des côtés du triangle que forment les trois points (voir n"* 151 . Ëx.lll).
in. Trouver la condition pour que, par rapport à une conique donnée par réquallon générale, le pôle de Taxe des x soit sur Taxe des ^, et i^îce versa.
RÉPONSE. hc = fg.
IV. Trouver la condition pour que, dans une conique définie par Téquation générale (133), Tune des asymptotes passe parForigine.
RÉPONSE. af^ — ^fgh -+- bg* = o.
V. Le cercle circonscrit au triangle autopolaire par rapport à une hyperbole éqnilatère (99) passe par le centre de l'hyperbole (*).
La condition trouvée dans TExercice précédent étant remplie, Téquation du cercle passant par Torigine et par le pôle de chaque axe sera
h (x' -H 2 xjr cosra -H /') -h fjc -^ gx = O, ou
x(hx -^bjr'hf)-hjr(aX'+' hx-{'g)^(a H- 6 — aAcosw) xr = o,
équation à laquelle satisferont évidemment les coordonnées du centre
pourvu que l'on ait
a-hb = a^cosw,
c'est-à-dire pourvu que la courbe directrice soit une hyperbole équilatère(74, 174).
Ce théorème n'est qu'un cas particulier du suivant, que nous démontrerons plus loin.
Lorsque deux triangles sont autopolaires par rapport à une conique, leurs six sommets sont situés sur une même conique (375, Ex. I).
YI. Le cercle passant par le centre d'une hyperbole équilatère et par deux points quelconques passe aussi par Tinterseclion des parallèles menées par chacun de ces points à la polaire de l'autre.
Vn. Trouver le ligu des intersections des tangentes interceptant sur une droite fixe un segment de longueur constante. Prenons cette droite pour axe des x. Les racines de l'équation du se-
(*) BRiARGHONet PoRCKLBT; — Gbrgounk, AnnaUsy t. XI, p. aïo; — Wàltoïi, p. 3o4>
THÉORiaiBS ET PROBLftSIS BUm LBB SBGTIOlfS CONIQUES. 299
eond degré, obtenue en faisant^ = odans l'équation des tangentes menées par (x\x')k une conique quelconque (92), représentent les segments (comptés à partir de Torigine) que déterminent ces tangentes sur l'axe des x. En exprimant que la différence de ces racines est constante, OB trouve l'équation du lieu, qui est en général du quatrième degré.
Dans le cas où la droite fixe est tangente à la conique, on a ^' = ar, réquation du lieu devient divisible par x*i ®( se réduit au deuxième degré.
On trouverait de même le lieu des inlerseclions des tangentes qui déterminent sur une droite fixe et à partir d'un point donné, des segments dont la somme, le produit,. . ., est constant.
Vm. Trouver le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère.
Prenons des axes quelconques, et soit
jo cosa -H ^* sin a — /; = o
l'équation d*un des côtés du quadrilatère. Désignons par x et j les coordonnées du centre d'une des coniques, et par 9 l'angle que forme son grand axe avec Taxe des x. L'angle compris entre ce grand axe et la perpendiculaire au côté du quadrilatère est a — 0, et Ton a , d'après te nM78,
(xcosa-+-jsina — /?)'= fl*cos'(a — 0) -f- à'8in*(a— 0),
ou, en développant et remplaçant, pour abréger ( 53 ), x cos a -h/ sin a — /? para,
a*= (iP cos'Ô -f- b^ sin'O) cos'a H- a (a*— ^') cos6 sinô cosa sina -t-(fl»sin»ô-hA'cos'e)sin»a.
On obtient ainsi quatre équations , entre lesquelles on peut éliminer a*, ^% 0 ou plutôt les trois quantités a^ cos'O -f- b^ sin'O, (a^ — b^) cosO sinO et o^sin'O -t- ^^cos'O. Le lieu est donc donné par l'équation
c'eslrà-dire par
a' cos' a cosa sina sin'a
P* cos^P cospsinp sin*p
7* cos* 7 C087sin7 8in'7
J* cos*^ costJsin^ s\n^9
Aa»-f-Bp*-+-C7'-hD^'=o,
A, B, C et D étant des constantes. Cette équation, du deuxième degré en apparence, est en réalité du premier. En effets si, avant de développer
3oO CHAPITRE VIII.
le déterminant, on y remplace les expressions a, p, y, i par leurs équivalentes en X et j, on voit que les termes en x\ qui appartiennent aux éléments de la première colonne, ont respectivement cos'a, cos'P, cos'y, cos^^, c'est-à-dire les éléments d'une autre colonne, pour coefficients; et que, par suite, le terme en x^ disparaît dans le développement. Il en est de même des termes en jr^ et en xr. Le lieu cherché est donc une ligne droite, et on peut la construire géométriquement^ en observant que la polaire d'un point par rapport à une des coniques a pour équation
Aaa'H- Bpp'-4- Cvv'h- D^^'== g,
et que, par suite, la polaire de (a, p) passe par (7,^). D'ailleurs^ quand une conique se réduit à une droite par Tévanouissement des termes du deuxième degré de son équation, la polaire d'un point est parallèle à cette droite, qui divise alors en deux parties égales la distance du point à sa polaire. Le lieu cherché partage donc en deux parties égales les droites menées par les points (a, P) et (7, ^), («,7) et (7,^), («, S) et (&, 7), c'est-à-dire les diagonales du quadrilatère a^yS.
Réciproquement , si Ton se donne , sous une forme quelconque , les équations a = o,... de quatre droites, l'équation de la droite qui passe par les milieux des diagonales du quadrilatère qu'elles forment peut s'obtenir en déterminant les constantes de la relation
Aa»H-Bp'H-C7'H-D^'=o,
de telle sorte que cette équation représente une ligne droite. La solution que nous venons de donner a été indiquée par M. Serret (*).
IX. Trouver le lieu des centres des coniques inscrites dans un triangle, et dont les axes a et ^ vérifient la relation à* -h b^ = P. Cette relation peut se mettre sous la forme
A^ = (fl» cos'O H- b^ sin^O) -*- (a^ sin^^Ô -h b^ cos^O),
et comme la première condition du problème fournit trois équations analogues à celles de l'Exercice précédent , on aura, pour le lieu cherché, l'équation
a* COS^a cosasina sin^a
p* cos'p cospsinp sin'P
7' cos'7 cos7sin7 sin'7
(*) Nouvelles Annales de Mathématiques^ Q' série, t. IV, p. i45.
THËORfeMBS ET PROBLÈHBS SUB LES SECTIONS CONIQUES. 3o]
qai, pouvant se mettre sous la forme
représente un cercle. On peut voir en effet , en suivant la marche indiquée ci-dessus, que, dans le développement, le terme en xy disparaît et que les termes en x' et y"^ ont même coefficient. Mais quand un cercle a pour équation Àa'-h Bp'+ 07'= o, son centre est le point de concours des hauteurs du triangle a^y; le lieu cherché, dont Téquation ne' diffère de la précédente que par une constante, est donc (81) un cercle ayant pour centre le point de concours des hauteurs du triangle circonscrit aux coniques.
X. Trouver le lieu des foyers des coniques circonscrites à un quadrilatère.
La distance p d*un des sommets {x\ y') du quadrilatère au foyer a
pour expression (180]
p = Ax'-f- Bjr'-»- c.
En éliminant A, B et C entre celte équation et les trois autres fournies par les autres sommets^ on a
c" or'"
ou en développant
Si l'on se reporte au n** 36 pour trouver la signification géométrique des coefficients /, m, n et /?, on voit que cette équation n'est que l'expression du théorème de MObius
OA.BCD -h OC.ABD = OB. ACD -+- OD.ABC,
dans laquelle 0 est le foyer, et BCD l'aire du triangle formé par les trois
points B.C.D. (Comparer cette expression à la condition énoncée au n*" 94.)
On voit ainsi que / -+- w -f- tî -f- /? = o. En substituant à p^ p\.,.
leurs valeurs ^(x~x']^-i- (j^— j'?,..., et faisant disparaître les radicaux, on trouve l'équation du lieu , qui est du sixième degré.
Lorsque les sommets du quadrilatère sont sur un cercle, le lieu se décompose en deux autres, qui sont respectivement du troisième degré, ainsi que l'ont faityoir MM. Sylvester et Burnside.
On a en effet, diaprés le théorème de Feuerbach (94),
/p* H- mp'* -+- np"^ -h pp'^ = o;
3oi2 GlAPITRB TIII.
et, par suite,
(/-+-/;/)(/p*-h/wp") = (/i-+-/^)(«p'"-+- /??"*),
d où
équation qui se décompose évidemment en deux facteurs.
§ II. — De l'angle excentrique (*).
229. L'emploi d*une seule variable au lieu de deux coordonnées af et y\ pour définir la portion d'un point sur une courbe est toujours avantageux lorsqu'il est possible; aussi, dans la discussion de certaines propriétés de l'ellipse, substituerons-nous aux coordonnées courantes x* et^' les expressions
j:'=acos9, /' = fcsin(p
analogues à celles que nous avons employées dans le cas du cercle (102). Ces substitutions sont évidemment compatibles avec l'équation
La signification géométrique de l'angle o peut se déduire de la construction suivante :
Sur le grand axe A A' d'une ellipse (yîg". 8i) pris comme dia-
Fig. 8i.
mètre, décrivons un cercle; prolongeons l'ordonnée PL d'un
(*) L'emploi de cet angle a été aussi indiqué par M. O'Brien {Cambridge Mathematical Journal, t. IV, p. 99).
THtORfeMBS BT PROBLitHBS SUl LIS SECTIONS CONIQUES. 3o3
poinl P (j/, y') de Tellipse jusqu'à sa rencontre Q avec ce cercle, et joignons le centre C au point Q; Tangle QCL sera égal à 9. En effet, CL = CQ cosQCL ou j:' = a cos 9 ; d'ailleurs
PL = -QL(163), QLr=:/isin9, d'oùj' i^ftslnç.
230. Si i*on mène par le point P une parallèle PN au rayon CQ, on a
PM:CQ::PL:QL::6:a,
et comme CQ = a, on a PM = 6; d*ailleurs PN =a, ce qui donne le théorème suivant.
Le grand axe d'une ellipse détermine sur une droite NP de longueur a, joignant un point P de l'ellipse à un point N du petit axey un segment PM dont la longueur est égale à b.
En prolongeant l'ordonnée PQ jusqu'en Q' où elle rencontre le cercle une deuxième fois, on démontrerait de même que la parallèle PN' menée au rayon CQ' par le point P est divisée en ce point en deux segments de longueur constante a et b. Donc si les extrémités M et N d'une droite MN de longueur constante glissent sur les côtés d'un angle droit, un point quelconque P de cette droite décrit une ellipse ayant pour axes MP et NP. ( Foir n« 49, Ex. XU.)
On a construit sur ce principe un compas elliptique qui permet de décrire une ellipse d*un mouvement continu. Cet instrument se compose de deux règles fixes CA et CD à angle droit, et d'une règle mobile MN, de longueur constante et dont les extrémités peuvent glisser le long des règles fixes : un crayon fixé en un point de la règle mobile décrit une ellipse. Lorsque ce crayon se trouve au milieu de MN, la courbe est un cercle. (O'Bribn, Coordinate Geometrjr^ p. 112.)
231. L'emploi de l'angle 9 fournit un moyen très-simple de construire géométriquement le diamètre conjugué d'un diamètre donné.
Si l'on observe qu'on a en général
tangfl == î^ = - tang9,
3o4 CHAPITRE YIII.
la relation (170)
UneO tang6'=r
devient
tangcp tang(p' = — i, c'est-à-dire
Pour construire le diamètre conjugué P'C du diamètre CP (^g. 82), il faut donc "prolonger Tordonnée PM du point Pjus-
Fig. 82.
.^Jl ' ^
qu'à sa rencontre Q avec le cercle décrit sur le grand axe de Tellipse comme diamètre, mener le rayon QC et le rayon CQ' qui lui est perpendiculaire ; l'ordonnée Q'M' coupera rellipse au point P', extrémité du diamètre cherché.
On peut déduire de cette construction les expressions des coordonnées x' et/' de P', qui ont été données au n" 172. En effet des relations
cos<p' = sinç, sin(p' = — cos(p, on tire respectivement
Ces valeurs montrent que les triangles PCM, P'CM' sont équivalents.
EXERCICES
I. Exprimer les longueurs de deux diamètres conjugués en fonction de l'angle 7.
RÉPONSE, a'^ = a' cos* «p -h ^' sin' y, b'^ = a^ sin* ^ -h b^ cos'f .
THÉORÈMES ET PROBLltMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 3o5
11. Trouver Téquation (fiine corde en fonction des coordonnées ^ et y' de ses extrémités (voir n* 102).
RÉPONSE. - cos-J [y H- y') -h j sin l ( y -h «j»' ) — cos ) ( y — y')-
m. Trouver l'équation- do la tanjïente, en fonction de la coordonnée y du point de contact.
RÉPONSE. - cosv -h •,- sin* = i .
lY. Exprimer la longueur D do la corde qui joint les deux points a et p. On a
D'= «'(cosa — cosf )' H- /;'(siMz — sin fi)',
D = !i8in-K«~f)[û'sin'i(^-»-f^)-^-^'cos=i(«-Hp)r.
Mais [Ex. I) la quantité comprise entre parenthèses représente le demidiamèlrc conjugué de celui qui passe parle point |(a -+- fi); d'ailleurs (Ex. H, III] la tangente menée par le point H^^ (^)est parallèle à la corde qui joint les points a, p; par suite, en représentant par b' la longueur du demi-diamètre conjugué parallèle à la corde donnée^ on a
D= 2A'sin^(a — f>).
V. Trouver l'aire 2 du triangle formé par les trois points a, ^, 7. Nous avons (30)
'il~nb[s\iï(oi — f) -»-sin(f> — 7) -h sin{7— x)]
= //A[!»sin^(a — S)cos;(a — f;) — asin-Jfa — j6)cos;-(x-.-^ — 27)] - 4/7^sini(3c — p)sinj(p — 7)sinJ(7 — a),
d'où
S = 2^^ sin} (a — J5)sin}(f> — 7)sin}(7 — a).
VI. L'aire du triangle inscrit, dont les médianes ont pour point de concours le centre de la courbe, est constante.
Vïl. Trouver le rayon R du cercle circonscrit au triangle formé par les trois points a, ^ et 7.
Soient d^ c, /les côtés el 2 l'aire de ce triangle, on a
b\ b\ b'^ étant les demi-diamètres parallèles aux côtés du triangle : si l'on désigne par c\ </*, r'" les cordes menées par le foyer parallèlement à
ao
3o6 CHAPITRE llll.
ces côtés, on a aussi (227, Ex. V)
cVV*
