X. L'aire du triangle formé par trois normales est

j^ tangi(a-p)langi(P-7)tangi(7-a)

X [sin ( f -h 7 ) -h sin ( 7 -H a ) -f- sin (« -h p )]'. Les trois normales se coupent donc en un même point lorsqu'on a sin(p -h 7) H- sin(7 -f- a) -f-sin(a -h (3) = o (M. Burnside).

XL Trouver le lieu de l'intersection 0 du rayon vecteur FP mené par le foyer F d'une ellipse à un point P de la courbe, avec le rayon CQ du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre, le point Q se trouvant sur l'ordonnée QM du point P.

Soient j:', r' les coordonnées du point P (fig. 83) (C étant pris pour

Fig. 83.

origine), .r et r celles du point 0, y l'angle QCM : de la similitude des triangles FON, FPM? on déduit

r y' hsmff X -\- c x'-hr- /ï(f -h cos<p)

(*) Mac-Ccllagii, Dublin Exam. Papers, i836, p. aa.

TBÊORÈMBS ET PROBLftMBS SUR LES SECTIONS CONIQUES. 3o7

L'équation polaire du lieu, en prenant le point C pour origine, s'ob- Uendra en remplaçant, dans l'équation précédente, x etjparpcos^, 6 sin^ : on aura ainsi

c -f- pCOSf ~ fl(ç -+- cosy)

ou

' C-h(/ï — ^) COSîp

Le Heu cherché est une ellipse (i93] ayant C et F pour foyers.

XII. Trouver le lieu de l'intersection du rayon CQ avec la normale en P.

La normale a pour équation (180)

.X jr

ou bien

ax br , .

cosy sinf '

en Y remplaçant x et j par p cos^ et p sin<p, on a, pour Téqualion du lieu,

[a — b)p = c*^ ou p = a-^ù,

qui est celle d'un cercle concentrique à l'ellipse et de rayon a h- /j.