XIII. Démontrer que
tangiPFC=y/^tangi^
XIV. Par le sommet d'une ellipse , on mène un rayon vecteur à un point (x\ j') de la courbe, et par le centre une parallèle à ce rayon vecteur : trouver le lieu de l'intersection de cette parallèle avec la tangente
La tangente de l'angle que le rayon vecteur fait avec Taxe étant égale
H —r- — î la parallèle menée par le centre a pour éqtiation
,r X' bsmtf b I — cos<p x '~' x'-ha ~ a(i ■+■ cosy) ^ « sin^ ou bien
v sin<p -h - C0S9 ■- - • Le lieu de l'intersection de cette droite avec la tangente
T-sm<j» -H -cos^ = I
3o8 CHAPITRE XIII.
est évidemment '-= i, c'est-à-dire la tangente au sommet opposé do
celui d'où part le rayon vecteur.
On trouverait de la môme manière le lieu de cette intersection lorsque le rayon vecteur est mené non plus par le sommet , mais par un poinl quelconque de la courbe; il suffit pour cela de remplacer, dans ce qui^ précède , a ei b par a' et b'. Le lieu est alors la tangente passant par lo poinl diamétralement opposé de celui par lequel on a mené le rayon vecteur.
XV. Dans une ellipse, la longueur d'une corde menée tangenliellemenl à Tellipse homofocale, ayant ^a^^ /<^ ^b^ — A' pour demi-axes, est égale
à — T- j b' étant le demi-diamètre parallèle à la corde (M.Burnside).
La condition pour que la corde qui passe par les deux points a et 'jy soit tangente à l'ellipse homofocale est
-~i-cos'Hx + p) + '^-J^sm'Uu + p) = cos- (== - P). ou
sin'i(a - P) = ^, [/-.'cos'H" + p) +fl'sini{a + p)]
= ^6" (Ex. IV).
La longueur de cette corde est par suite
-ihb"
a^'sinHa — ?) =r
ab
Ce résultat permet d'étendre aux cordes tangentes à des coniques homofocales plusieurs théorèmes relatifs aux cordes menées par le foyer.
232. La méthode exposée dans les numéros préccdcnls ne s'applique pas à l'hyperbole. Cependanl on peut poser, lorsqu'il s'agit de celle dernière courbe,
^' = aséccp, j' = ftlango, puisque
THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQVBS. Sop
Pour représenter géomélriquemeni l'angle 9 [fiç^. 84), mo-
lions par le pied M de Tordonnée une langenie MQ au cercle décrit sur Taxe transversc comme diamètre; nous aurons
QCM = 9.
En effet
CMz=:a:':r.CQsécQCM;
d'ailleurs
QM = rttangcp et ^Mzz^y' =ib\,diï\g<^.
Donc la tangente menée par le pied de Tordonnce d'un point de l'hyperbole au cercle décrit sur l'axe transverse rômmc diamètre est dans un rapport constant avec cette ordonnée.
L'équation de l'hyperbole conjuguée étant
rT-U)
un point (^",j") de cette hyperbole peut se représenter par
y"r=^bsécQ\ :t"-:a tang9'.
Si 0 est l'angle fait avec l'axe des a: par un diamètre, on a
tangO = — := -sino
ju ce
pour l'hyperbole primitive : pour l'hyperbole conjuguée, on
;iurait de même
tang B'
x" a sincjp'
Lorsque ces deux diamètres sont conjugués, la relation
tang0 tango' =^-
3lO CHAPITRE Xlll.
devient
sin9 — sintp', .
ou simpleipeiu
9^9' (M. Turner).
§ III. — De la similitude dans les sections comques.
î233. Deux figures sont semblables et semblablemenl placées, ou homothètiques (fig, 85), lorsque les rayons vecteurs OP,
Fig. 85.
\ tTL;
OQ, menés dans la première par un point 0, sont dans un rapport constant avec les rayons vecteurs parallèles o/?, ùq menés dans la seconde par un point o. Quand il existe deux points 0 et o jouissant de cette propriété, il y en a une infinité d'autres. En effet, prenons dans la première figure un point quelconque C, et joignons OC; dans la seconde figure, menons oc parallèle à OC, de telle sorte que le rapport oc : OC soit égal au rapport constant o;? : OP; les triangles POC, poc sont semblables; par suite, cp est parallèle à CP, et le rapport de cp à CP est égal au rapport constant o/?:0P. On prouverait de même qu'un autre rayon vecteur quelconque mené par c est proportionnel au rayon vecteur parallèle mené par C.
Lorsque deux sections coniques à centre sont liomothétiques, tous les diamètres de l'une sont proportionnels aux diamètres de l'autre, puisque les rectangles OP.OQ, et op.oq sont proportionnels aux carrés des diamètres parallèles (149).
234-. Trouver la condition pour que deux coniques données par des équations générales soient ho mo thé tiques.
Prenons, par une transformation de coordonnées, le centre de la première comme origine; le carré du demi-diamètre fai-
THÉOEfeMES ET PHOBLftMBS SUE LES SECTIONS CONIQUES.- 3ll
saut avec Taxe des x un angle 6, dans cette conique, est égal à une constante divisée par
rtcos'0 -h ih cos6 sin0 h- h sin'0;
de même le carré du demi-diamètre qui lui est parallèle dans la seconde est égal au quotient d'une autre constante par
û'cos'ô -h 2/1' cos9sin9 -i-//sin'(?.
Le rapport de ces deux carrés ne peut être constant qu'à la condition d'être indépendant de 0, c'est-à-dire lorsque Ton a
Donc deux coniques sont homo thé tiques lorsque les coef/ii'ients des termes du second degré de leurs équations sont égaux ou proportionnels,
235. Les axes de deux coniques homothétiques sont parallèles, puisque le plus grand et le plus petit diamètre de l'une doivent être respeciivemeni parallèles au plus grand et au plus petit diamètre de l'autre.
Si Tun des diamètres de l'une de ces coniques devient infini, il en est de même du diamètre parallèle de l'autre ; ainsi les asymptotes de deux hyperboles homothétiques sont parallèles. Ceci résulte aussi du théorème démontré au numéro précédent, puisque (154) les directions des asymptotes sont déterminées par l'ensemble des termes du second degré de Téquation de la courbe.
Les coniques semblables ont même excentricité, puisqu'on a évidemment
par suite, on peut considérer les coniques semblables et semblablemcnt placées, ou homothétiques, comme des coniques ayant leurs axes parallèles et même excentricité.
Deux hyperboles ayant leurs asymptotes parallèles sont homothétiques. En effet, leurs axes, étant les bissectrices des
'^12 CHAPITBE XIII.
angles formés par les asymptotes (155), sont parallèles; de plus, elles ont même excentricité, puisque rexceniricilé ne dépend que de l'angle compris entre les asymptotes.
236. Toutes les parabole^ ayant même excentricité (e — i) sont homothétiques lorsque leurs axes sont parallèles. Du reste, l'équation d'une parabole rapportée à son sommet éiiuit
y^^z pXf ou
p cosQ
sin'0
il est évident que le rayon vecteur p' mené à une autre parabole par son sommet, et parallèlemeni à p, esl avec celui-ci dans le rapport constant de /?' à /?.
EXERCICES
I. Sur un rayon vecteur OP men^» à une conique par un point fixe 0, on prend une longueur OQ proportionnelle à OP; trouver le lieu dû point 0.
11 suffit de remplacer p par mp dans l'équation de la conique, i>our obtenir celle du lieu, qui est une conique homolhétique à la première.
Le point 0 s'appelle le centre (le similitude des deux coniques : c'est évidemment (voir aussi n^ 115) le point d'intersection des tangentes communes aux deux coniques, puisque les deux rayons vecteurs infiniment voisins OP, OP' menés à la première devenant égaux, il doit en être de même des deux rayons vecteurs correspondants OQ, OQ' menés à la seconde.
IL Si, par le centre de similitude de deux coniques homothétiques. on mène deux rayons vecteurs, les cordes qui joignent leurs extrémités sont parallèles ou se rencontrent sur la corde d'intersection des deux coniques.
Ce théorème se démontre comme celui du n° H6.
III. Les six centres de similitude de trois coniques homothétiques sont situés trois par trois sur une même droite (fg. 44? P- ^^l)-
IV. Deux coniques homothétiques et concentriques déterminent sur une sécante des segments égaux.
Toute corde de la conique extérieure , qui est tangente à la conique intérieure, est divisée au point de contact en deux parties égales.
Ces théorèn^es peuvent se démontrer comme ceux des n" 196 et 197, qui n'en sont qu^un cas particulier. En effet, les asymptotes d'une hyperbole peuvent être considérées comme une conique semblable à l'hyper-
THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 3l3
bole, puisqu'elles ont pour équation IVnsemble des termes du deuxième degré de l'équation de l'hyperbole.
V. Par le sommet V d'une ellipse, on mène une tangente qui ren- (onlre une ellipse extérieure homothélique et concentrique, en T et T' : démontrer qu'une corde quelconque menée par le point V dans l'ellipse intérieure est égale à la demi-somme algébrique des cordes parallèles menées dans l'ellipse extérieure par les points T et T'.
237. Deux figures sont semblables, mais non scmblablemeni placées, lorsque les rayons vecteurs proportionnels, au lieu d'être parallèles, font entre eux un angle constant 0, de telle sorte qu'en faisant tourner l'une d'elles de l'angle 0, on obtienne deux figures homothétiques.
Trouver la condition pour que deux coniques données par l'équation générale du second degré soient send)lables, quoique non semblablement placées.
Il suffit pour cela de rapporter la première conique à un nouveau système d'axes faisant un angle 0 avec le premier, et de voir si l'on peut trouver une valeur de B qui rende les nouveaux coefficients «, i, A de cette équation proportionnels aux coefficients a y h', h' de la seconde, c'est-à-dire égaux à ma', mb\ m h'.
Lorsque les axes primitifs sont rectangulaires, les quantités a-hb, ab — A' ne changent pas quand on transforme les coordonnées (157); on aura donc
a4- b - m [a' ^ b' ), . ab — h'^-m'(a'b'^/i"),
et la condition cherchée sera
«&~ h' a'b'-li"
\cL^ by ' (a' -\- 1/}' '
En se basant sur le théorème du n° 158, on trouverait de même, dans le cas des axes obliques,
" ab — fi' a'b'-^b'^
[a -\- b — 7.h COS&))' ~ (a'-f- b' — ili' cosw)*-
Cette condition exprime (74, 154) que les angles compris
3l4 CHAPITRE XIll.
entre les asymptotes (réelles ou imaginaires) de ces coniques sont égaux.
§ [V. — Du CONTACT DES SECTIONS CONIQUES.
238. Deux courbes de degré m et use coupent en mn points. En effet, Téquation à une seule variable, obtenue en éliminant X ou j entre les équations de ces courbes, est en général de degré mft. Celte équation est quelquefois d'un degré moindre, lorsque, dans l'élimination, un ou plusieurs des termes renfermant l'inconnue à ses plus hautes puissances viennent à disparaître; mais alors un ou plusieurs points d'intersection se irouvent à l'infini (135), et, en tenant compte de ces points, ainsi que des points imaginaires, on peut toujours considérer ces courbes comme se rencontrant en mn points. Par suite, deux coniques se coupent toujours en quatre points; el, comme on peut joindre quatre points i, 2* 3,4 par six droites 12, 34; i3, g4; '4' 23, ces coniques ont toujours trois couples de cordes d'intersection.
Nous étudierons d'abord le cas où plusieurs de ces points coïncident, réservant pour un autre Chapitre celui où il y a des points d'intersection à l'infmi.
239. Lorsque deux des points d'intersection de deux coniques coïncident, les courbes se touchent, en ayant pour tangente commune la droite menée par ces deux points, et se rencontrent en deux autres points L, M^Jig. 86 (a), réels ou imaginaires, mais distincts du point de contact T. Les coniques ont alors un contact du premier ordre. Lorsque trois des points d'intersection coïncident en ï, les coniques ont un contact du second ordre et sont dites osculatrices ; elles ne
Fig 86.
peuvent alors se couper qu'en un seul autre point L,Jig, 86 ( 6 ),
THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 3l5
EnGn, si leurs quatre poinls d'interseclion coïncident en T, elles ont un contact du troisième ordre Jig. 86 (c); et, comme elles ne peuvent se couper qu'en quatre points, c'est là Tordre de contact le plus élevé qu'elles puissent avoir. Considérons, par exemple, les deux coniques suivantes:
ax*-h 2hxjr -f- bjr^ H- ngx =: o, «' x' -f- 2 A' xjr' -h é'^-'-i- 2g'x = o ;
elles passent par l'origine, sont tangentes (144) à l'axe des r, et l'équation
jr[(a6'— û'6)j:-h 2(A6'— h'b)x -+- ^[gb'—g'b)] = o
représente (181, £x. 11) la figure passant par leurs quatre points d'intersection. Le premier facteur correspond à la tangente commune (déterminée par les deux points d'intersection qui coïncident); le second à la droite LM menée par les deux autres points.
Lorsque gb'=g'b, la droite LM passe par l'origine, et les coniques ont un contact du second ordre.
Si, en outre, Afc' = A'6, Téquation de LM se réduit à jc==o, LM coïncide avec la tangente, et le contact des coniques est du troisième ordrfe. Dans ce dernier cas, leurs équations peuvent se mettre sous la forme
ax^'\-ii.hxy -f- 6/*-+- ^gx=zOy a^x^-h 2./ixjr -h by^-k- 2ga:=:0,
et ne diffèrent que par le coefficient de j:?.
240. Deux coniques ont un double contact lorsque leurs quatre points d'intersection coïncident deux à deux. La condition pour que les deux coniques du numéro précédent, passant par l'origine et tangentes à l'axe des j^, se touchent en un deuxième point s'obtiendra' en exprimant que la droite LM leur est tangente, ou, plus simplement, que les droites joigant l'origine aux deux autres points d'intersection coïncident. En retranchant l'une de l'autre les équations des coniques, après les avoir multipliées respectivement par g- et /f', il vient
{ag-- ag)x'-{~ 2(/ig^ /i'g)xx -h {bg' - b'g)x'= o
3l6 CHAPITRE XIII.
pour l'équation de ces deux droites, qui coïncident lorsqu'on a
i^g' - ^'g) (bg"- b'g] = [h^- h'g)\
241. Puisqu'une conique peut être assujettie à cinq conditions (133), on peut tracer une conique tangente à une conique donnée et satisfaisant de plus à trois autres conditions; mais ces trois conditions se réduisent à deux si le contact devient du deuxième ordre, et à une seule s'il est du troisième. Ainsi on peut toujours trouver une parabole ayant un contact du troisième ordre à l'origine, avec la conique
«^' -h ilixjr -V- by^--\- 2,gx i= o.
Il suffit, pour cela (239), de remplacer dans cette équation a par c^ y a' étant déterminé par la relation a' b = /i'.
L'équation du second degré devant remplir deux conditions pour représenter un cercle, il n'est pas possible, en général, de mener un cercle ayant un contact du troisième ordre avec une conique donnée (autrement dit, on ne peut assujettir a passer par quatre points un cercle qui est complètement déterminé par trois points); mais il est facile de trouver l'équation du cercle passant par trois points consécutifs d'une co* nique, c'est-à-dire ayant avec elle un contact du deuxième ordre.
Les axes coordonnés faisant entre eux un angle w, l'équation d'une conique passant par l'origine T, et tangente 5 l'axe des 7, sera
et celle d'un cercle assujetti aux mêmes conditions (84-, Ex. III),
x'^ -h 2 xj' cosû) -^ x^ — 2 rx sin o) ^^ o.
En leur appliquant le critérium obtenu au n" 239 (gb'^= g'b), on trouve pour le cercle ayant un contact de deuxième ordre
«" rrr — rb sino),
d'où . »
Ce cercle osculaieur s'appelle aussi cercle de courbure. Son rayon r est le rayon de courbure de la conique au point T.
2i2. Trouver le rayon de courbure en un point P d'une conique à centre.
Soil
a'' b'' l'équation de la coniaue rapportée au diamèire du point P et
à son conjugué; pour appliquer les formules du numéro précédent qui supposent la courbe tangenie à Taxe des/, Iranspoctons les axes parallèlement à eux-mêmes en P; si Ton remplace x par x -^ af, Téquaiion de la conique devient
et le rayon de courbure r a pour valeur
a sinot)
» étant l'angle formé par les axes. Le dénominateur a' sin&> représentant la distance p du centre à la tangente, on a
r~ > ou r^^—r (175).
p ab
( * ) Dans les problèmes suivants, nous déterminerons la grandeur du rayon de courbure r, sans nous occuper de son signe, qui indique, d'après l'usage adopté, la direction suivant laquelle ce rayon doit être mesuré, et celle des
équations
x*-^^xjr cos ûj -4-^'* zp 2 r a: sin w = 0
qu'il convient d'attribuer au cercle osculateur. On doit prendre le signe supérieur quand le centre est dans la direction positive de l'axe des x, et le signe inférieur dans le cas contraire. La formule du texte donne pour r une TaJeur positive ou négative, suivant que la conique est concave ou convexe ▼ers les x positifs.
3l8 GBAPITRB XIII.
2W. Si l'on représente par N [Jig. 87] la longueur PN de la
normale en P, par ^ l'angle FPN compris enlre la normale el le ra^on vecteur FP issu du foyer, on a les valeurs
N = ^ (181), cos^=r^ (188),
d'où Ton déduit pour le rayon de courbure
cos*^'
On peut donc trouver le centre C et le rayon PC de courbure de la manière suivante : élever sur la normale PN, au point N où elle rencontre le grand axe, une perpendiculaire NQ qui coupe en Q le rayon vecteur FP issu du foyer; le centre de courbure C se trouve sur la perpendiculaire QC élevée en Q au rayon vecteur FP, et PC représente le rayon de courbure.
24^. On peut encore construire le centre de courbure en s'appuyant sur le principe suivant : lorsqu'un cercle rencontre une conique y les cordes d'intersection font des angles égaux avec l'axe. En effet, les rectangles construits sur les segments des cordes étant égaux, il en est de même des diamètres parallèles de la conique (149), qui, par suite, sont également inclinés sur l'axe (162).
Dans le cas du cercle de courbure, la tangente enT (^g*. 86) est une des cordes d'intersection, et la ligne TL est l'autre; il sufOt donc, pour déterminer le point L, de mener par T une droite TL faisant avec Taxe le même angle que fa tangente. Le cercle de courbure est ainsi déterminé par les points L et T et la tangente en T.
Cette construction fait voir, en outre, que le cercle oscula-
TBÉpRfeHBS KT PROBLÈMES SIÎR LES SECTIONS CONIQUES. 819
leur mené à l'un des sommets a un conlacl de troisième ordre avec la conique. •
EXERCICES
I. Trouver, en se servant de la notation de l'angle excentrique, la condilion pour que les quatre poinls a, p, 7, 8 d'une conique ap|)artienneiit à un même cercle (*).
Le* cordes «p et 7^ ont pour équations
-cosjfa-^ p) H-T-sin^(a -+-p)-cos;(a — ^). -cos;(7 -♦- ^) -hf sin;-(7 -+- <î) = cos-;(7 — S),
'^sir'
cos;(7 -h^)-i-T
et comme elles sont également inclinées sur Taxe de la coni(|ue on a
tangi(a-»-6)-h tangi(7-+- $) - o,
d'où
a-Hp-+-7-h^ = o, ou a -h p -h y -h S — ^nirs,
II. Trouver les coordonnées J, X et Y du point où lo cercle o«culatour en {j^\r') rencontre de nouveau la conique.
On a dans ce cas
« -■ P — 7» ^— — 3a, par suite
III. Il existe sur une conique trois points dont les cercles osculateurs passent par un point donné de la courbe; ces points se trouvent sur un cercle passant par le point donné et forment un triangle dont les médianes concourent au centre {**),
Soit S le point donné, puisque c'est celui où un cercle osculaleur ren-
contre la courbe, on aura, d'après l'Exercice précédent, a = — - pour le
point de contact; et comme le sinus et le cosinus d'un angle S ne changent pas lorsque cet angle augmente de 36o degrés, on pourra aussi bien prendre a = — ^^ -h 120", a = — |^ h- a 40° ; d'ailleurs les points correspondant à ces valeurs de a sont sur un même cercle (Ex. I). En considérant, dans les équations de l'Exercice précédent X et Y comme des quan-
^*) JoACHiMSTAL, Crelle^ t. XXXVI, p. gS.
'••) STEi!iER, Creile, t. XXXll, p. 3oo; — Joaciiimstal, Crelle^ t. XXXVI, p. 95.
tités connues, on aura, pour déterminer x' et y\ une équation du troisiènae degré, manquant de second terme; les sommes des trois valeurs de x' et j' sont donc respectivement nulles; donc (n** 7, Ex. IV), l'origine se trouve à Tintersection des médianes du triangle formé par les trois points. On en conclut aisément que les normales menées par les sommets du triangle sont les hauteurs du triangle, et par suite se coupent en un même point.
.2i5. Trouver le rayon de courbure de la parabole. L*équalion de la parabole rapportée à un diamètre et à une tangente éiainiy^= p'x, on trouve facilement, pour le rayon de courbure (241),
2 sin0
6 représentant Tangle formé par les axes. L'expression trouvée
N plus haut — —r pour les coniques à centre s'applique éga-
elmentà la parabole, ainsi que la construction qui s'en déduit, puisqu'on a
^r=\p's\ne (212,213), et ^=zgo^—9 (217).
EXERCICES
I. Dans toutes les sections coniques, le rayon de courbure est égal au cube de la normale, divisé parle carré du demi -paramètre.
II. Exprimer le rayon de courbure d'une ellipse en fonction de Tangle que la normale fait avec l'axe.
III. Trouver la longueur des cordes du cercle de courbure qui passent 1° par le centre, a** par le foyer d'une conique à centre.
RÉPONSE. 1° — :--. 2"
IV. La corde focale de courbure (*) d'une conique est égale à la corde de la conique menée par le foyer parallèlement à la tangente au point d'osculation.
V. Dans la parabole , la corde focale de courbure est égale au paramètre du diamètre passant par le point d'osculation.
(*) C'est-à-dire la corde du cercle oscillateur passant par le foyer et le point d'osculation.
246. Trouver les coordonnées x et y du centre de courbure d'une conique à centre.
Ces coordonnées s'obliennenl évidemmeni en retranchant de celles du point {x\ y*) d*osculation les projections du rayon de courbure sur les axes correspondants; d'ailleurs le rapport de ce rayon à sa projection sur Taxe des y est le même que celui de la normale N à l'ordonnée y'. On a ainsi pour <îelte projection
par suite, pour l'ordonnée du centre de courbure,
et, comme b'^^=. b^ -h -j-^y^.
On trouverait de même
On serait arrivé au même résultat en faisant 0.^^^^=^-^ dans l'Ex. VIII du n° 231.
On peut encore trouver ces coordonnées en observant que le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours des perpendiculaires élevées sur le milieu des côtés. Le cercle osculateur est circonscrit au triangle formé par trois points consécutifs de la courbe; deux des côtés de ce triangle senties tangentes consécutives, les perpendiculaires élevées en leurs milieux sont les normales correspondantes. Il suit de là que le centre de courbure d'une courbe est l'intersection de deux normales consécutives à cette courbe. En faisant, dans les équations du nM81, Ex. IV, x'=x"=X, y'=y'=Y, on retombe sur les valeurs données ci -dessus.
247. Trouver les coordonnées x, y du centre de courbure de la parabole.
La projection -r-j^ du rayon de courbure sur l'axe des ^•
s'oblienl, comme précédemment, en multipliant lo rayon de
courbure -^-7: par ^î et en la retranchant de r', on trouve
on a de même,
2sin^0 2 ""^
Ces valeurs pourraient se déduire du n° 227, Ex. X.
248. La développée d'une courbe est le lieu des centres de courbure de ses différents points. Pour trouver l'équation de cette développée, nous n'avons donc qu'à éliminera' et^-' entre l'expression des coordonnées du centre de courbure et l'équation de la courbe. Nous aurons ainsi, pour les coniques à centre,
en posant — r= A, -^ == B ; et, pour la parabole.
,r^py^^xe,[x-^-p] .
Cette dernière courbe porte le nom de parabole semi-cubique^
