Silesdeuxcourbes ont trois points consécutifs communs
nous aurons = Ti) le premier terme de la série pour Co ay he .
r,—y, est (Ze — +) 3? qui change de signe avec h; il en résulte, par conséquent, comme ci-dessus, que les courbes se coupent au point donné. De même, en général, si le développement de y, — y, commence par une puissance paire de /, il ne changera pas de signe avec h et les courbes se toucheront sans se couper; mais s'il commence
point de contact d’une pareille tangente est appelé point d'ondulation. Il peut de même exister des tangentes muluples d’ordres plus élevés, ou bien encore des points d’ondulation d'ordres supérieurs qui proviennent de ce qu’une droite rencontre la courbe en plus de quatre points coincidents. Cramer appelle les points où la tangente rencontre la courbe en un nombre impair de points consécutifs points de visible inflexion, pour les distinguer des points de serpentement ou points d’ondulation qui, à l'œil, ne diffèrent pas des points ordinaires de la courbe.
31. Nous n’avons jusqu'ici examiné que le cas où l’origine est un point multiple, ou encore celui où l’un des axes est une tangente multiple, il est évident, cependant, que la forme de l'équation pourrait de même faire reconnaître l'existence de points et de tangentes multiples situés d’une manière quelconque.
1° Par exemple, si l'équation est de la forme
ap + BY — 0,
où z, 8 sont des fonctions linéaires et 9, 4 des fonctions quelconques des coordonnées, «8 est un point de la courbe. L'équation de la tangente en ce point est
a + By’ =:0,
7, Ÿ étant les valeurs que prennent 9 et 4, quand nous y introduisons les conditions « — 0,8 =o. En effet, si nous cherchons les n — 1 points où une droite quelconque menée par 28, (x — kB), rencontre la courbe, nous obtenons une équation de la forme
SL k(s' + MB +NB +... )+(Y+MB+N'E+...)]—0o,
el, pour qu’une seconde racine de cette équation soit B = o, nous devons avoir kg! + # = 0; par conséquent, en rem-
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 55 5° De même, si l'équation est de la forme
ao + a Bh + afty + Bw =o, le point «3 est un point triple; les trois tangentes sont fournies par l’équation are! + a2 BY! + ap + Pro =o.
6° Si l'équation est de la forme ap + Bt; — 0, zest une tangente double aux points af, ay.
7° Si l'équation est de la forme ap + By =o, zd est un point d’inflexion et x est la tangente en ce point. 32. Nous allons d'abord faire une application du numéro précédent en montrant comment l'équation nous permet de re-
connaitre la nature des points de la courbe situés 4 distance infinie. L’équation trilinéaire est (n° 22)
Un + Un-13 te Up s?+ ... = O.
Les directions des n points à l'infini sont données (en faisant s==o dans l'équation) par |’équation uw, — 0; cette équation, résolue par rapport à y : x, est de la forme
(y—m,r)(y—m,r)(y — mr) ….(Y— Mit) = 0.
Une courbe de degré n a généralement nr asymptotes; ce sont les tangentes aux 7 points où 3, la droite à l'infini, rencontre la courbe. Nous pouvons trouver leurs équations facilement, comme il suit, quand l’équation u, — 0 a été résolue par rapport à y : x. Il résulte de 3° du numéro précédent que, si l'équation était ramenée à la forme
£,f,¢; . ln - ze == 0,
PROPRIETES GENERALES DES COURBES. 97 a3. Si deux racines de l'équation w, = o sont égales (m, = mz), cette équation générale prend la forme
(y —mxz)'o +24 —0;
deux des points où 3 rencontre la courbe coincident, et par conséquent la droite à l’infini est une tangente à la courbe.
Si trois racines sont égales, la droite à l'infini coupe la courbe en trois points qui coïncident, et par conséquent elle lui est tangente en un point d’inflexion.
Si, dans l'équation générale, le coefficient de y” est égal à zéro, l'axe des y passe par un point à l'infini, et nous n'avons évidemment plus qu’une équation du (nr — 1)" degré pour déterminer les autres points où il rencontre la courbe.
Si le coefficient de y”~' s’annule aussi, l'axe des y est une asymptote.
94. Dans une prochaine Section, nous montrerons comment, en général, on peut trouver les points singuliers d'une courbe. Mais, comme l'application des méthodes générales est habituellement une tâche assez laborieuse, les exemples donnés par les traités de Calcul différentiel sont en grande partie des cas où l'existence du point singulier se révèle très facilement par un simple examen de l'équation; nous indiquons ici les plus difficiles de ces exemples, pour servir d'application aux théories contenues dans les numéros qui précèdent. (Voir Exemples de Gregory, p. 150,e'c.) :
Exemple I.
z— ax?y + by3 = 0.
Eremple II.
r—2any+oryi+ayi+yt= 0.
Dans ces deux cas, l'origine est un point double. Dans le premier, les tangentes sont données par l'équation z*y = by?, et, dans le second, par Péquation 222y = y?. D'après le n° 43, aucune de ces deux courbes ne peut avoir d’autre point multiple.
Exemple III.
ay?--2x3 bzi= 0.
L'équation débarrassée des radicaux devient
et, sous cette forme, on reconnaît immédiatement l’existence de six rebroussements; chacun des points où l'axe des x rencontre y? + s? est un point double, et l'axe des x est la seule tangenteen ce point. Il
en est de même pour (y, z?—+ 3) et (3, z*-- y?). Mais tous les rebroussements sont imaginaires.
La courbe a aussi quatre points doubles qui sont T= Y=0, r':8--0.
On peut le démontrer en posant | J=T=U, 3 T=#; par suite,
youta, 3=v+r.
En portant ces valeurs dans l'équation donnée, elle prend la forme ure — uv —- vi}.
On trouve que les tangentes en un quelconque des points doubles sont données par l'équation
w-- ug a-yi=o
el. par conséquent, les points doubles en question sont des points conjugués; par le fait, ce sont les seuls points réels de la courbe. L'équation peut encore être écrite sous la forme
gz? [ zt — 22(y2— 32) + pt y2 32+ 24] — (az? — y? — 33) = 0. Si nous posons € == y? — 23, t= 3%-- 7,
4 = ri- x3, elle devient
gain 5+ 0) -(n—5$} = o.
Cette forme fait ainsi ressortir l'existence des points doubles n = 0, .=0; Ou, ce qui revient au méme, § = 0, n = 0, § = 0, c'est-à-dire
Section III. — Tracé de courbes.
