Il est bon de faire connaître par quelques exemples

comment on peut déterminer graphiquement la forme d'une courbe donnée par son équation. Si nous attribuons une valeur numérique quelconque (a) à l’une des variables x, l'équation numérique résultante peut être résolue (au moins approximativement) par rapport à y, et elle déterminera les points où la droite æ— a coupe la courbe, En répétant cette opération pour des valeurs différentes de a (voir Sections coniques, n° 16), nous obtiendrons un certain nombre de points de la courbe; et en faisant passer une ligne continue par ces points, nous aurons une idée suffisante de sa forme. Si nous avons égard aux valeurs de x qui rendent imaginaires des valeurs de y, nous pourrons découvrir l'existence d’ovales, ou bien reconnaître si la courbe est limitée suivant une direction quelconque; nous avons déjà indiqué (n° 52) comment on peut distinguer si la courbe a des branches infinies, et comment on en détermine les asymptotes. Dans le Chapitre suivant, nous ferons voir comment on trouve les points multiples et les points d’in-

flexion de la courbe. La valeur de A en un point quelconque

donne la direction de la tangente en ce point (n° 48); et,

en cherchant pour quels points ors

les points où la direction de la courbe est parallèle ou perpendiculaire à l'axe des x.

Dans la pratique, nous devrons évidemment mettre à profit toutes les simplifications que pourra suggérer l'équation de la courbe. Par exemple, si nous considérons une série de droites parallèles à l'une des asymptotes (ou une série de droites passant par un point de la courbe), l'équation qui détermine les points où chacune d'elles rencontre la courbe sera d’un degré inférieur d’une unité à celui de cette courbe. Si l'équation montre que la courbe a un point double ou multiple, il sera avantageux de considérer une série de droites issues de ce point, puisque le degré de

= 0 où =, nous aurons

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 61 l'équation en question se trouvera diminué de deux ou plusieurs unités.

Il n'y a guère d'exercice qui soit plus profitable pour un élève que de tracer des courbes, et, plus particulièrement, celles dont l'équation contient un ou plusieurs paramètres susceptibles de recevoir une suite de valeurs différentes. Quand il n’y a qu’un seul paramètre, on peut se le représenter comme l’ordonnée 2 d’une figure à trois dimensions dans l’espace, et le problème envisagé sous cet aspect consiste à trouver la forme des différentes sections d’une surface par des plans parallèles.

I] nous suffira d'ajouter ici quelques exemples à ceux qui se présenteront incidemment dans la suite de cet Ouvrage. Nous renverrons le lecteur qui désirerait plus de détails aux traités de Géométrie analytique et particulièrement à l'Ouvrage dans lequel tous le sauteurs modernes ont largement puisé, à l'Introduction à l'Analyse des courbes de Cramer.

Exemple I.

zt'— ar y — by? = 0.

(Voir Ex. J, n? 54.)

L'origine étant ici un point triple, il est avantageux de considérer une série de droites issues de ce point. Posons y = mz, nous trouvons

Fig. 12.

z= m(a— bm’);

quand m passe de o à + o, c’est une fonction qui croit depuis o, pour m=o jusqu’à un maximum, qui a lieu quand a — 3bm? = 0; elle décroit ensuite, s’annule quand a— bm? = 0, ‘etaune valeur indéfiniment croissante négativement, quand m croit au dela de la valeur cidessus. La courbe (fig. 12) est mapifestement symétrique par rapport à l'axe des y. C'est donc celle que représente la figure ci-contre.

Exemple II.

(r3- a?)?= ay?(3a+2y).

(Voir Ex. IV, n°54.)

On a wt =a Va sa-2ÿ).

La courbe est évidemment symétrique par rapport à l'axe des y. Elle a, de chaque côté de cet axe, deux branches qui correspondent aux deux signes que l'on peut donner au radical. Les deux branches se coupent quand y =o et, par conséquent, nous voyons qu'il y a, sur l'axe des x, deux points doubles à la distance z = + a de l'origine. Quand y croit positivement, le radical croît indéfiniment ; done la valeur dex, qui correspond à l'une des branches, croît indéfiniment; celle qui correspond à l'autre décroit jusqu'à ce que nous arrivions à la valeur de y qui correspond à la seule racine positive de l'équation

aay? Baty? = ab (ay =a), au dela de laquelle cette branchene peut plus monter. Pour des valeurs négatives de y, le radical croît jusqu'à une valeur maximum qui a lieu

Fig. 3.

pour y + @ = 0; alors l'un des couples de branches se coupe en un point double sur l'axe des y et l'autre couple est à sa distance maximum de cet axe. Aucune des branches ne peut évidemment descendre plus Bas que la valeur 3a+ 2 =o. La forme de la courbe est celle de la figure ci-contre.

Exempre I, — Étant donnés la base 20 d'un triangle et le rectangle m? des côtés, le lieu du sommet est un ovale de Cassini; en prenant pour origine le milieu de la base, l'équation de cette courbe est

(ape ct)? fer Le diagramme ci-joint (/ig. 14) représente la forme qu'affecte la courbe pour différentes valeurs de m. Le trait le plus gras donne la

figure de la courbe pour m=c; c'est la lemniscate de Bernoulli. Quand m est moindre que c, la courbe de Cassini se compose de deux

ovales conjugués, compris dans les deux ‘boucles de la précédente courbe; quand m est plus grand que c, on a l’ovale continu qui lui

est extérieur.

Fig. 14.

ExempLe IV. — Sur le rayon vecteur mené dun point fixe Oa une droite fire MN, on prend un segment RP de longueur donnée et on le porte de chaque côté de la droite. Le lieu géométrique du point P est une courbe appelée conchoïde de Nicoméde; elle a été inventée par le géomètre de ce nom pour résoudre le problème qui consiste à trouver deux moyennes proportionnelles

Soient (fig. 15) OA = p, RP = m; l'équation polaire de la courbe

ù Fig. 15.

est (p + m)cosw == p et l'équation en coordonnées rectangulaires

my? — (p . -y)? (2? --- y?),

La droite MN (p = y) est tangente à la courbe en un point singulier à l'infini, et elle y rencontre cette courbe en quatre points consécutifs.

Le point O est aussi un point double; tes tangentes en ce point sont données par l'équation

Nous supposons que 6 est moindre que a. Quand c = 0, la courbe se compose de quatre points conjugués + a, + b. Les figures qui suivent représentent les cas suivants: (fig. 1)c moindre que 6; (fig. 2)

Fig. 17 et 18.

c égal a 6; (fig. 3)c entre b eta; (fig. 4) c= a; (fig.5)e>a, < V a+ b; (fig.6)c= Var + 6¢.Quand c a une valeur plus grande, S. — Courbes planes. 5

la courbe a une forme similaire, mais sans point conjugué à l'origine. Quand c = a = b, la courbe se décompose en deux ellipses ( ig.7).

56. Si une courbe passe par l’origine et si l’origine est un point ordinaire de cette courbe, y peut être développé suivant la forme y —Azx+ Bz*+....Si l’origine est un point singulier, le développement prend la forme y=Az*+Ba?+...; ici # est positif et 8, ainsi que tous les exposants qui suivent, est plus grand que 2. Pour déterminer la nature du point singulier et la configuration de la courbe dans son voisinage, ilesttrès utile de trouver au moins le premier terme de ce développement; car, dans le voisinage de l'origine, la forme de la courbe ressemble à celle de la courbe dont l’équation est y = Art, et il est facile de construire cette dernière. Pour effectuer le développement dont il s’agit, nous pouvons recourir au procédé donné par Newton (!) et qui peut être employé de la manière la plus commode sous la forme qui suit. Dans l'équation, posons y — Az* et déterminons la quantité positive a par la condition que les exposants de deux ou plusieurs termes soient égaux et moindres que l'exposant de l’un quelconque des autres termes. Ceci peut toujours se faire par titonnements, en égalant les exposants de chaque couple de termes et en examinant si la valeur de a est positive et si les exposants égaux ne sont pas plus grands que les exposants d’un autre terme quelconque. Ayant ainsi trouvé «, nous déterminons A en égalant à zéro la quantité qui multiplie les termes qui ont le même exposant. Nous pouvons ensuite, si besoin enest, continuer le développement en remplaçant y par l'expression Ax* + B®, dans laquelle

() Voir Methodus fluionum et serierum infinitarum, etc., sousle titre : De reductione affectarum equationum (Opusc., éd. Castillon, vol. 1, p. 89). Voir aussi un Mémoire de M. de Morgan, Quarterly Journal, vol. I, p. 1, et Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. IX, p- 608. Newton donne la règle, au moyen d'un diagramme de carrés, sous une forme un peu différente de celle qui précède.

PROPRIETES GÉNÉRALES DES COURBES. 67 A et x ont les valeurs déjà trouvées, et où 8 et B seront

déterminés par un procédé analogue au précédent. Soit, par exemple, la courbe

a+ y— 3axy —0;

l'origine est un point double qui a pour tangentes les deux axes de coordonnées. Si nous posons y = Azxt, l'équation devient

z+ Arts + 3aAz+i— 0,

Il faut maintenant que nous rendions deux exposants égaux entre eux. Essayons d’abord 3 — 34 ou a —1; nous rejetons cette valeur, parce qu'elle fait prendre aux exposants égaux des valeurs plus grandes que celle de l’exposant 4 +1 de l'autre terme. Si nous essayons ensuite 3 = « + 1 ou x — 2, nous trouvons que cette valeur rendra les exposants égaux moindres que celui du troisième terme. L’équation deviendra ainsi

(1— 3aA)z?+ Ar — 0,

et, si nous déterminons À de manière à annuler le coefficient de x3, nous voyons que l'équation pourra être écrite sous la

forme y = ee les exposants des termes restants

sont plus grands que 2, et nous voyons de la sorte que la forme d’une branche de la courbe à l'origine ressemble à celle de la parabole 3ay = x?. En troisième lieu, si nous égalons les exposants 3a, «a +1, nous trouvons «a —#{. Ici encore les exposants égaux sont les plus petits, et les coefficients des deux termes sont A?, —3aA; nous en dédui-

sons À — 1/3 a, et l’équation de la branche que nous étudions

est y = (Ga)? + ...; par suite, près de l’origine, sa forme se rapproche de celle de la parabole y? = 3 ax. Nous n'avons pas besoin pour l'exemple actuel de pousser plus loin le développement; cependant, si cela était nécessaire, nous substi-

tuerions y= a x* + Ba. Les termes les moins élevés se-

raient alors

1 t+ Bo 3aBatr =o.

Nous pouvons maintenant rendre les exposants de deux

Fig. 19. termes égaux entre eux et moindres que celui du troisième terme en prenant B—5,

81at de cette manière que si, dans le voisinage de l'origine, nous traçons les deux paraboles 3ay —=2x?, y* —3ax, nous obtenons approximativement dans cette région la figure de la courbe qu'il s'agissait de construire (fig. 19).

+ Nous avons montré

ce qui donne B=

57. Le méme procédé nous permettrait de déterminer les branches infinies de la courbe. Dans ce cas, nous aurons à développer y suivant les puissances décroissantes de 2, et la seule différence dans le procédé consiste en ce que nous devrons maintenant nous arranger pour que les exposants égaux soient plus grands que celui d'un autre terme quelconque. Ainsi, dans l'exemple déjà donné, en égalant les exposants 3 et 34, nous avons 4=1 et leur coefficient est A* + 1. Si nous avons seulement égard aux valeurs réelles de A(——1), nous remplacerons y par y = — x + Bzx$ et nous trouverons de la même manière 8 =o, B— — 4. Nous obtenons ainsi l'expression Y=—2x—a+... et nous voyons que la ligne x+y+a=o est une asymptote. La figure de la courbe est celle que nous indiquons ci-dessus (/ig. 20).

ye

98. Dans le cas du rebroussement simple dont nous avons déjà donné un exemple (n° 39), les deux branches qui se, rencontrent au point cuspidal se trouvent de part et d’autre de la tangente commune et ont leurs convexités opposées l'une à l’autre; mais il existe une espèce de rebroussement (qui est une singularité d’ordre plus élevé) pour lequel les branches sont situées d’un même côté de la tangente. Soit, par exemple, la courbe.

m(ay — a} = 25;

ilest clair que toutes les valeurs positives de x donnent des va-

leurs réelles de y, et, si nous écrivons l'équation sous la forme ; |

ay =z?+ = » comme le dernier terme est moindre que le prém?

cédent quand x est très petit, nous voyons qu’en prenant soit

le signe supérieur, soit le signe inférieur, la valeur de y sera

positive pour de petites valeurs de x. L’axe des x est donc

une tangente à la courbe et les deux branches sont situées au-

dessus de cet axe. Nous donnons ci-dessous (fig. 21) la figure

de la courbe. Ces deux sortes de rebroussements ont respectivement reçu les épithètes de kératoide et ramphoide, à cause de leur vague ressemblance avec les formes d’une corne et d'un bec d'oiseau. Nous avons vu (n° 40) que les points multiples ordinaires d'ordre supérieur peuvent être considérés comme résultant de la réunion d’un certain nombre de

points doubles. M. Cayley a montré (Quarterly Journal, Tome YII, p. 212) qu'une singularité quelconque d'ordre supérieur peut être regardée comme équivalente à un certain nombre de singularités simples qui sont le nœud, le rebroussement ordinaire, la tangente double et le point d’inflexion.

Fig. 29.

Ainsi, un rebroussement du genre décrit dans le présent numéro est équivalent à un nœud, à un rebroussement, à une tangente double et à une inflexion, comme le montre la Sig. 22, qui représente le nœud et le rebroussement sur le point de s'unir pour former la singularité d'ordre supérieur dont il s’agit.

Secriox IV. — Pôles et polaires,

59. La méthode dont nous allons actuellement faire usage afin de rechercher les conditions pour qu'une courbe ait des points ou des tangentes multiples, et pour déterminer leur position, est la même que celle que nous avons déjà employée dans le cas où la courbe passait par l’origine. Nous considérerons une série de rayons vecteurs issus d’un point donné; nous formerons l'équation qui détermine les coordonnées des n points où l’un quelconque de ces rayons vecleurs coupe la courbe, et nous chercherons les conditions pour que un ou plusieurs de ces points puissent coincider avec le point donné lui-même. Pour déterminer les coordonnées de ces n points, nous nous servirons de la méthode de Joachimsthal, exposée dans les Sections coniques, n° 290.

Puisque les coordonnées trilinéaires d’un point quelconque situé sur la droite qui réunit deux points (x’y’z/), (x”y"3") sont de la forme hz’ + px”, hy’ + py”, Az! + uz”, les points où la droite en question rencontre une courbe quelconque se trouveront en remplaçant respectivement z, y, 3

. . À par ces valeurs et en déterminant ensuite le rapport à au

moyen de l’équation résultante. Pour faciliter les recherches ultérieures, il sera nécessaire, au préalable, de discuter soigneusement les fonctions qui se présentent dans le résultat de cette substitution.

Supposons que U soit une fonction homogène du ne ordre en x, y, 5; remplaçons-y z, y, z par Az +uz, y+ py’, Às+uz':ilest évident, d’après le théorème de Taylor, que le coefficient de À” sera U, et que celui de Xp sera

aU + aU

it ds ou

z'U,+ y0,+2/U,; ou 2/L+yM+<'N,

en nous servant des abréviations U,, U,, Us ou L, M, N (suivant le cas) pour représenter les coefficients différentiels. Nous ferons usage du symbole A pour indiquer l'opération

le coefficient de À*-!u peut alors être écrit sous la forme AU. De la même manière, le coefficient de }À‘-?u? sera la moitié de

nos aU +I TR + a

Uo dU aye ou FE didz * **Y dzdy

Nous pourrons l'écrire sous la forme

Sian ea (arr ges a)u où AU,

Les quotients différentiels du second ordre s'écrivent souvent aussi avec des indices doubles U,,,U22,U33,U2s,U31,U 43; mais nous trouvons plus avantageux de nous servir des lettres a, b, c, f, g, h et de mettre ainsi A?U sous la forme que nous avons employée pour exprimer l'équation générale d’une conique

az? + by +cs+afys+agsz +ahæy.

De la même manière, le coefficient de 477% u3 dans le déve

i ; 34 U, et ainsi de suite, le dernier coeffi-

AU. Il est toutefois. évident, d'après la

loppement est

cient étant

Lun symétrie de la substitution, que ce coefficient sera U et, en général, que les coefficients de deux termes correspondants quelconques, Xtu?, ue, ne différeront que par l'échange des lettres accentuées et non accentuées. Nous voyons ainsi que Av U ne diffère que par un facteur numérique de

æU,+yU,+sU, et d’une manière générale que d d d\n-P d d d\r ("f+75 +22) U, et (satrap + :2) U'

ne diffèrent que par un facteur numérique. Nous pouyons écrire la dernière fonction AU’, l'accent joint à U servant à marquer qu’on a échangé entre elles les lettres accentuées et les lettres non accentuées.