La courbe du (7 —1)""* degré AU = o s'appelle la

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 73 première polaire du point (z’, y’, z') par rapport à U. On dit de même que A?U est la seconde polaire, et ainsi de suite; le degré des courbes polaires successives diminue régulièrement d'une unité, la (r—2)° polaire est une conique et la (n —1)*™° une ligne droite. D’après la remarque qu'on vient de faire, il est évident que les équations de la droite et de la conique polaires sont respectivement

d d 4 c dd, wo PAL TRE Oo CT md) —

Puisque A?U s'obtient en effectuant l'opération A sur AU, l'est évident que la seconde polaire de z’, y’, 5’, par rapport aU, est la première polaire du même point par rapport à AU, et, d’une manière générale, il est clair que la courbe polaire d'un rang quelconque est aussi la polaire du même point relativement à toutes les courbes polaires de rang inférieur au sien. Ceci ressort évidemment de l'équation A*(A’U) = AfHU.

Quand le point que l'on considère est l’origine, x’ et 3’ sont nuls; l’opération A se réduit à la différentiation par rapport à 3. Si l'équation cartésienne ordinaire est rendue homogène par l’introduction de l'unité linéaire 3 (Sections coniques, n° 69), on peut l'écrire

et, en différentiant par rapport a Z, nous trouverons sans difficulté que les équations de la droite, de la conique, etc., polaires de l’origine sont

Ru5+u —=O, Ln(n—1)u a +(n—1)u,3+ us =0, 61. Le lieu de tous les points dont les droites polaires passent par un point donné est la première polaire du

point.

L'équation zU, +yU, + zU; =o exprime une relation

entre les coordonnées x, y, 3 d'un point quelconque de la droite polaire et les coordonnées z', y, / du pôle. Et si (comme dans les Sections coniques, n° 89) nous indiquons que les premières coordonnées sont connues et les dernières variables, ce qui se fera en accentuant les premières et effaçant les accents des dernières coordonnées, l'équation deviendra alors

I y a (m —1)? points dont les droites polaires par rapport à U coïncideront avec une droite donnée quelconque, ou, plus brièvement, toute droite a(n— 1)? pôles. En effet, si nous prenons deux points quelconques sur cette droite, les pôles de la droite doivent se trouver sur la première polaire de chacun de ces points; par conséquent, ce sont les points d’intersection de ces deux courbes. Ainsi les premières polaires de tous les points d'une droite ont (n — 1)? points communs; ce sont les (x — 1)? pôles de la droite. De la même manière, le lieu des points dont les coniques polaires passent par un point donné est la seconde polaire de ce point; et ainsi de suite,

Si la droite polaire (ou une autre polaire quelconque) d’un point passe par ce point, ce dernier sera situé sur la courbe. En effet, si, dans l'équation de la polajre, nous remplaçons 2, y, s par x’, »’, #, elle devient identique avec l'équation de la courbe, puisqu’en effectuant l'opération æ avg +5 = sur une fonction homogène on retrouye

Ja même fonction à un facteur numérique près.

62. Si une courbe a un point multiple de l'ordre k, ce point sera un point multiple de l'ordre (k—1) sur chacunedes premières polaires, de l'ordre(k—2)sur chacune des secondes polaires, et ainsi de suite. En effet, si l'origine se trouve au point multiple, les termes de l’ordre le moins

élevé en x et y seront du degré k; dans la première polaire, qui ne contient que les quotients différentiels du premier ordre de U, les termes de l’ordre le moins élevé en x et y seront du degré (A — 1), et par conséquent l’origine sera un point multiple de cet ordre; l'équation de la seconde polaire, contenant les quotients différentiels du second ordre de U, renfermera x, y au degré (A — 2), et ainsi de suite.

Si deux tangentes en un point multiple de la courbe se confondent, cette tangente coïncidente sera une tangente à la première polaire. En effet, le terme u, du degré le moins élevé est de la forme a?bcd, a, b, c,... représentant des fonctions linéaires, et par conséquent le terme de moindre degré dans la polaire contiendra a comme facteur. Et, en général, si, en un point multiple de la courbe, / tangentes coincident, (/— 1) d’entre elles seront des tangentes coincidentes au point multiple de la première polaire, (/— 2) seront des tangentes au point multiple de la seconde polaire et ainsi de suite. Car si uw, renferme un facteur à la /*™ puissance, celui-ci sera facteur du (/— 1)" degré dans tous les quotients différentiels du premier ordre de ux, du (/ — 2)*™°

. e degré dans tous les quotients différentiels du second ordre, etc.

Section V. — Théorie générale des points et tangentes multiples.

63. Nous allons maintenant appliquer la méthode indiquée dans le n° 59 à la recherche des points et tangentes multiples des courbes. Pour trouver en quels points la droite qui joint les points (x’, y’, s'),.(x”, y”, 3”) rencontre la courbe, nous remplacerons dans l'équation z par Àz'+ ur”, ... et

nous obtiendrons, pour déterminerle rapport 4? une équation que nous pouvons désigner par A = 0 et qui peut s’écrire