PU! + 8-1 AU! + 8-2 2A? U! +... =O

PROPRIETES GÉNÉRALES DES COURBES. 77 laires; donc, d’après ce qu'on a démontré, la droite. polaire

par rapport à l’une quelconque d’entre elles coïncidera avec la tangente.

65. Les points de contact des tangentes menées à une courbe par un point quelconque sont situées sur la première polaire de ce point. Ce théorème est un cas particulier de celui qu’on a démontré au n° 61; mais on peut aussi l'établir directement de la même manière. On a montré que l'équation de la tangente au point (2’, y’, 3’) est

zU;,+yU,+4U;,=0;

en échangeant entre elles les lettres accentuées et celles qui n'ont pas d’accent, nous indiquons que les coordonnées du point sur la tangente sont considérées comme connues et que celles du point de contact ne le sont pas; et nous voyons que ces dernières doivent satisfaire à l’équation

La courbe et sa première polaire se coupent évidemment en n(n —1) points, et comme, en chacun de ces points d’intersection, les équations U = 0, AU — 0 seront vérifiées, nous voyons que d'un point donné on peut mener n(n—1) tangentes à une courbe du n‘*™¢ degré. Ou bien encore ( Sections coniques, n° 303) le degré de la polaire réciproque d’une courbe du nîèmc degré est en général égal à n(n—1).

66. Si cependant la courbe a un point double, on a établi (n° 62) que la première polaire d’un point donné quelconque doit passer par ce point double. Le point double (voir la note du n° 42) compte pour deux parmi les intersections de la courbe avec sa première polaire. Toutefois la droite qui joint le point (x”, y”, z”) au point double n'est pas une tangente dans le sens ordinaire du mot, quoiqu’elle soit comprise parmi les solutions du problème que nous avons dis-

78 CHAPITRE Ik

cuté [à savoir: mener par (z”, y”, >”) une droitequi rencontre la courbe en deux points coincidents]; en effet, nous avons montré que toute droite issue d’un point double doit être considérée comme y rencontrant la courbe en deux points qui coincident. Or le nombre total des solutions de ce problème étant toujours égal à n(n — 1) (c'est-à-dire au nombre des points d’intersection de U et AU), le nombre des tangentes proprement dites qu'on peut mener à la courbe se trouve diminué de deux unités par chaque point doublessitué sur la courbe; autrement dit, le degré de la polaire réciproque d'une courbe du nième degré ayant à points doubles est n(n —1)—28.

67. Si la courbe a un point de rebroussement, nous avons démontré (n°62) que non seulement la première polaire passe par ce point, mais encore qu'elle a pour tangente la tangente au point de rebroussement. Par conséquent (voir la

note du n° 42) ce point de rebroussement compte pour trois unités dans le nombre des intersections de la courbe avec sa première polaire, et le nombre des intersections qui restent se trouve diminué de trois unités pour chaque point de rebroussement que possède la courbe. Done le degré de la polaire réciproque d'une courbe ayant à points doubles ordinaires et x rebroussements est

(*) Suivant Poncelet, Waring est le premier qui se soit occupé de cher= cher quel nombre de tangentes on peut mener d’un point donné & une courbe du ni» degré (Miscellanea analytica, p. 100). Il fixa ce nombre à n° au plus. Poncelet a montré (Annales de Gergonne, tome VIN, p. 253) que cette limite était trop élevée; que les points de contact se trouvent sur une courbe de degré (n — 1) et que leur nombre ne peut dépasser n(n — 1). Enfin Plücker indiqua des cas où ce nombre est moindre que n(n— 1) et expliqua complètement (comme nous le ferons plus loin) pourquoi on ne peut mener que n tangentes à la réciproque d’une courbe du ns+ degré, quoique cette réciproque soit, en général, da degré n (n—1).

68. Les mêmes principes nous permettraient de reconnaître quel est l’effet d’un point multiple d’ordre supérieur quelconque sur le degré de la polaire réciproque. Un point multiple, de l’ordre K, serait (n° 62) un point multiple de l'ordre (k — 1) sur la première polaire, et par conséquent le nombre des intersections qui resteraient, et par suite le degré de la réciproque, seraient diminués de £(k—1) unités.

Nous avons montré (n° 40) qu’un point multiple-de l’ordre k équivaut à $4(k — 1) points doubles, et que chacun d’eux diminuerait de deux unités le degré de la réciproque. Le résultat auquel nous venons d'arriver peut s’énoncer ainsi: Un point multiple produit sur le degré de la réciproque le méme effet que le nombre équivalent de points doubles. Ainsi, en général (voir le n° 58), pour un point multiple équivalent à d’ points doubles, x’ rebroussements, 7 tangentes doubles et inflexions, le degré de la réciproque se trouve diminué de 2 0’ + 3 x’ unités.

69. Nous avons déjà vu que la droite joignant (x, y’, z') et (x”, y”, 3°) rencontrera la courbe en deux points qui coincideront avec (z',y/, 3") si U'—o et si (x”, y”, 3”) est choisi de manière à vérifier l'équation

. Ui , # , HET" Z'U, + y'U, + 5"U; =o.

Mais s’il arrive que les coordonnées x’, y’, 3! satisfont en mème temps aux trois équations U, = o, U, = o, U; = 0, la seconde condition x’U, + )”U,, + s’/U, —o sera vérifiée quels que soient x”, y”, 3”. Le point (x', y’, 3’) est alors un point double et toute droite menée par ce point rencontrera la courbe en deux points coïncidents.

Nous voyons ainsi que la courbe représentée par l'équation générale en coordonnées cartésiennes ou trilinéaires n'aura de points doubles que si les coefficients sont liés par une certaine relation. En effet, les trois courbes

80 CHAPITRE 11, U,— 0, U,=0, U; =o n'auront en général aucun point commun, et par conséquent les fonctions U,, Us, U; ne pourront toutes s'annuler en même temps. Si nous éliminons x, y, entre ces trois équations, nous obtiendrons une relation entre les coefficients, qui sera la condition pour que ces trois polaires se coupent, ou pour que la courbe U ait un point double. Cette condition est appelée le discriminant de la courbe. Par exemple (Sections coniques, n° 292), nous avons trouvé le discriminant d'une conique en pepe 2, ¥, 2 entre les trois équations az+hy+gs=0, hzr+by+fs=0, gr+fy+cz=0, dont chacune doit être vérifiée par les coordonnées du point double si la courbe en a un, et nous avons obtenu

abe + 2fgh — af — bg*— ch*=0.

En général, le discriminant sera du degré 3(m —1)? par rapport aux coefficients de l'équation donnée (voir AL gèbre supérieure, n° T6); en effet, puisque les trois équations dérivées sont chacune du degré n — 1, leur résultante contiendra les coefficients de chacune d'elles au degré(n —1}, et les coefficients des équations dérivées sont chacune du

premier degré par rapport aux coefficients de l'équation (voir aussi l'Algébre supérieure, n° 105).

70. Nous pouvons appliquer ces principes à l'examen des conditions qui doivent étre satisfaites quand la première polaire d'un point A, (z', y’, =’), a un point double. Différentions l'équation

2U,+yUs+s'Us=0, et employons pour représenter les dérivées secondes la notation du n° 39; nous voyons que, s’il existe un point double B, ses coordonnées doivent satisfaire aux trois équations

ax +hy'+gs'=0, ha'+by'+fs'=o, gz'+fy+es=0

eo. eee ewe we wees -

athe SL a smal

Ce sont là trois relations qui lient les coordonnées 2’, y’, 5! du point À aux coordonnées zx, y, 3 du point double B, dont a, b,... sont chacune des fonctions du degré (n — 2). Mais si nous comparons ces équations à celles que nous avons rappelées dans le numéro précédent, nous voyons

qu'en écrivant la conique polaire du point B sous la forme ax? + by'+ ¢s'+ afys+agsxr + 2hry =o.

ces trois relations sont exactement les conditions qui doivent être remplies pour que A ou (2’, y’, 3’) soit un point double de la conique polaire. Nous conclüons de là que, st la premiére polaire d’un point quelconque A aun point double B, la conique polaire de B a un point double À, et réciproquement.

Entre les trois équations ci-dessus, nous pouvons éliminer z’, 37, 3’, et nous obtenons la relation

abe + 2fgh — af? — bg*— ch? =0,

qui doit être vérifiée par x, 7, 5.

Cette équation est ainsi le lieu du point B, et il résulte de ce que nous avons dit qu’on peut le définir comme le lieu des points qui sont des points doubles sur les premières courbes polaires, ou bien comme le lieu des points dont les coniques polaires se décomposent en deux droites. Puisque les quotients différentiels du second ordre a, b, c,... sont chacun du degré n — 2 en x, y, 3, l’équation qu'on vient d'écrire est du degré 3(7 — 2). La courbe qu'elle représente a des rapports importants avec la courbe donnée, dont elle est un covariant (Algébre supérieure, n° 93). On l'appelle la hessienne de U, parce qu’elle a été étudiée pour la première fois par Hesse.

Si nous avions éliminé x, y, 3 entre les trois équations précédentes, l’équation résultante en x’, y’, 3’ donnerait le lieu des points A; on peut le définir soit comme le lieu des points

S. — Courbes planes. 6

dont la première polaire a un point double, soit comme le lieu des points qui sont des points doubles sur les coniques polaires, Nous appellerons ce lieu la steinérienne de U, parce qu'il a été étudié parle géomètre Steiner. Pour effectuer réellement l'élimination dans un cas quelconque, il serait nécessaire d'écrire a, b,... sous forme explicite; mais nous pouvons voir facilement que l’équation résultante est du degré 3(n — 2}, puisqu'elle est le résultat d’une élimination entre trois équations, dont chacune est du degré (n — 2) et qui contiennent chacune x, y, s au premier degré,

71. Revenons maintenant à l'équation Ao; nous voyons qu'elle aura trois racines » égales à zéro, ou que la droite en question rencontrera la courbe en trois points coincidents, si les trois conditions U'— 0, AU'— 0, AU! =o sont vérifiées. Considérons d'abord le cas où x’, y’, 3! est un point double; nous avons vu qu'alors U' et AU’ s’annulent quelles que soient les valeurs dex", y”, 3’, et la troisième condition exprime que le point (x, y", 5") doit être sur la conique polaire de (x', y’, 3). Mais il est évident que le point (x”, »”, 5") peut être un point quelconque de l’une ou l'autre des deux tangentes au point double, puisque chacune d'elles rencontre la courbe en trois points qui coincident. Done la conique polaire de (2’, 9’, 3!) doit être identique avec ces deux droites, ou, en d’autres termes, l'équation du couple de tangentes au point double est A2U'— 0, ou bien

a’ xt + by? + o's? af'ys+ag'sx + ah'ry =0.

Le point double étant un des points dont la coniques polaire se décompose en deux droites, comme on vient de le démontrer, c'est un point de la hessienne et nous pouvons” établir directement qu'il satisfait à cette équation. En effet, d'après le théorème des fonctions homogènes d’ f les trois équations U; = 0, U, = 0, U = 0, qui sont vérifiées

PROPRIETES GÉNÉRALES DES COURBES. 83 pour le point double, peuvent s’écrire

a’'az'+-h'y'+ g's'=0, h'a' + b'y + f's'= 0, g'x’ + fr + c' 3! — O,

el, en éliminant 2’, 9”, 3’, nous voyons que l’équation de la hessienne est satisfaite pour le point double.

72. Le point double sera un rebroussement, si l’équation qui représente les deux tangentes est un carré parfait, c'est-à-dire si be = f?, ca = g?, ab == h?. Ces trois équations néquivalent qu’à une seule condition nouvelle, car, si l’une quelconque d’entre elles est vérifiée et si les coordonnées x’, 17, 5’ du point double ont des grandeurs finies quel-

conques, les autres doivent aussi être satisfaites. En effet, en . ST! iy!

résolvant successivement par rapport à —» — chaque couple

des équations données à la fin du Chapitre précédent, nous avons

x’ hf—bh be—t fz—ch s' — ab — h? ~~ hf — bg gh— af’ vv gh—af fe—ch ca — g

5" ab—h? hf—bg ~ gh— af” si donc ab = h? et si aucun des rapports n’est infini, le

numérateur et le dénominateur de chacune de ces fractions doivent s’annuler en même temps.

13. L'origine sera un point triple, si tous les quotients diférentiels du second ordre a, b,... s’annulent, car A?U' est alors nul quels que soient x”, y”, 3”; et si les coefficients dfférentiels du second ordre s’évanouissent, le théorème des fonctions homogènes montre qu’il en est de même pour ceux du premier ordre et par suite pour AU’. Donc toute droite

issue de 2’, >”, 3’ rencontrera la courbe en trois points

coïncidents, et il est évident que les trois tangentes en ce point seront données par l'équation 4*U! =o.

Il n’y a aucune difficulté à étendre les mêmes considérationsaux points multiples d'ordresupérieur. Le point(2’, y's") est un point multiple de l'ordre #, si les coefficients différentiels de l’ordre k—r s’annulent pour ce point, et les tangentes au point multiple sont données par l'équation A‘U'= 0.

74. Examinons maintenant dans quel cas on peut mener une droite par un point (x’, y’, 3’) d'une courbe (qui ne soit pas un point double) de manière qu’elle rencontre la courbe en trois points qui coincident avec (2, y’, s'); pour fixer les idées, nous pouvons, dès l'abord, supposer que la courbe n'a pas de points multiples. Nous avons yu (n° 71) que tout point d’une pareille droite doit satisfaire aux conditions AU! = 0, AU'— 0. "

La première de ces équations indique que la droite doit coïncider avec la tangente en (2’, y’, =’), comme cela est évident géométriquement; la seconde exprime que tout point de la droite satisfait à l'équation de la conique polaire. L'équation de la conique polaire A*U’ doit donc, dans ce cas, contenir l'équation de la droite AU’ comme facteur; par conséquent, le point (z', y’, 5’) doit être un des points dont les coniques polaires se décomposent en facteurs, autrement dit, il doit être un point de la hessienne (n° 70). Et réciproquement, tout point. où la hessienne rencontre U est un point où l'on peut mener une droite qui rencontre la courbe en trois points coincidents : en d'autres termes, c'est un point d'inflexion. En effet (n° 64), la conique polaire de tout point de U est tangente à U en ce point; et si le point est également situé sur la hessienne H et si, par conséquent, la conique polaire se décompose en deux facteurs, l'un de ces facteurs doit être la tangente en (z', y’, 2). Tout point de Ia

tangente satisfera donc aux deux conditions AU’=o, A?U'=o.

Il en résulte alors que tout point d’intersection des

courbes U, H sera un point d’inflexion sur U, et, comme H

est du degré 3(n — 2), une courbe du degrénaen général 3n(n — 2) points d’inflexion.

15. Si cependant la courbe a des points multiples, le nombre des points d’inflexion subira une réduction. Nous avons déjà fait voir (n° 71) que tout point double de la courbe est un point de la hessienne ; nous allons démontrer maintenant qu’il est aussi un point double sur cette dernière courbe, et plus généralement que tout point multiple de l’ordre # sur la courbe est un point multiple de l’ordre 3 À — 4 sur la hessienne. La manière la plus commode d'établir ce théorème consiste à supposer que le point multiple a été pris pour origine et que, par conséquent, l'équation ne contient aucun lerme en x et y de degré inférieur à À. Cherchons quel est le degré des termes du degré le moins élevé en x et y dans les quotients différentiels du second ordre : il est bien clair que partout où l’on aura différentié deux fois par rapport à z ou 3’, l'ordre des termes de moindre degré sera k — 2; que dans les expressions différentiées une seule fois par rapport à x ou y, et une seule fois par rapport à z, l’ordre sera k—1,et que quand les deux différentiations auront été faites par rapport à 3, l’ordre seraA; on voit ainsi que les ordres des termes où le degré est le moins élevé seront respectivement

K—2, k— 9, k, k—1, K—1, kK—a2 dans a, b, c, f, g, h.

En combinant ces résultats, nous reconnaissons que l’ordre des termes du degré le moins élevé dans chaque terme de

abe + 2fgh — af? — bg? — ch?

sera Sk — 4.

PROPRIETES GENERALES DES COURBES. 87 Sections pour

K(3k—4)+k=6 x$k(k —1) unités.

Or, nous avons vu (n° 4Q) que le point multiple en question équivaut à $4(k —1) points doubles; donc le résultat que nous venons de trouver peut s’énoncer comme 1l suit : Le point multiple a exactement le même effet, pour ce qui regarde la réduction du nombre des points dinflexion, que le nombre équivalent de points doubles.

77. Le cas où il existe un rebroussement sur U exige une étude spéciale. Prenons ce point pour origine et supposons que x — 0 soit la tangente, de manière a mettre l’équation sous la forme

L'an 2H uss" 4+ ...=03

nous verrons alors que les ordres des termes du degré le moins élevé dans les quotients différentiels du second ordre sont 0, 1, 2, 2, 1, 1 respectivement. En effet, les termes dont nous avons à nous occuper sont

a-—2s"-?, b= si, c—(n—2)(n—3)rtz1-t, du, ~n—% — -n—3 — Œus h—3 f=(n— 3) Gy : y F=4aln—2).cs"-3, t= Gedy

Nous trouverons ainsi que l’ordre des termes du degré le moins élevé dans

abc + 2fgh — af? — bg*—ch’

est égal à trois et que c’est seulement dans les termes abc et bg? que l’ordre est aussi peu élevé; or chacun de ces termes contient r? comme facteur. Donc, s’ilexiste un point de rebroussement sur U, ce point sera un point triple sur H et deux des tangentes en ce point triple coïncideront avec la tangente au point cuspidal. Mais quand deux courbes ont un

point commun, double sur l'une et triple sur l'autre, ce point compte pour six intersections, et si, de plus, deux tangentes au point double sont aussi tangentes au point triple, les courbes ont en commun deux points consécutifs de plus, et par conséquent ce point compte en tout pour huit intersections. Donc, si une courbe a à points doubles et x rebroussements, le nombre de ces points d’inflexion sera égal à 3n(n—2)—6—8%.

78. Nous ferons voir plus tard comment on peut faire usage de l'équation À = o pour discuter les conditions relatives aux tangentes doubles; mais, cette recherche étantun peu difficile, nous la laissons de côté pour le moment. Nous allons montrer actuellement que les résultats déjà obtenus, combinés avec la théorie des courbes réciproques, sont suffisants pour déterminer indirectement le nombre des tangentes doubles d’une courbe du ne ordre,

L’équation du système de tangentes que l'on peut mener à la courbe d'un point quelconque (x', y’, 3') peut se déduire de l'équation À = v par la méthode déjà employée (Sections coniques, n°° 92, 294). Un point quelconque situé sur l’une de ces tangentes jouit évidemment de la propriété que la droite qui le joint à (2’, y’, 3’) rencontre la courbe en deux points consécutifs, et, dans ce cas, l'équation À = o aura deux racines égales. Nous formerons donc l'équation du système des tangentes en égalant à zéro le discriminant de l'équation À considérée comme une forme binaire en à, p-

Supposons, par exemple, que U soit une courbe du troisiéme ordre. Alors A est

BU! Mya! + Aura + WU =o.

Ici, pour abréger, nous avons écrit 4’ et A à la place de AU! et AU. Le discriminant de A égalé à zéro est

(a7 UU? + 4a— 18 aa’ U'}U —(4#— GA U')4?.

U, A, A’ sont respectivement du troisième, du deuxième et du premier degré en x, y, 3; et, comme l'équation qui précède est du sixième degré, on voit que par (x’, y’, 5’) on peut mener six tangentes à U, comme nous le savions déjà.

La forme de l’équation montre qu’elle représente un lieu tangent à U aux points où A rencontre cette courbe. Les autres points où U coupe le lieu sont situés sur la courbe 4?— 4 AU’ = o. Donc, st d’un pointquelconque on mène six langentes à une courbe du troisième degré, leurs six points de contact se trouvent sur une méme conique À =o et les siz autres points où ces tangentes rencontrent à nouveau la courbe sont situés sur une autre conique A'?— 4AU' = 0; res deux coniques ont évidemment un double contact aux points À — 0, A’= 0.

Siz’, y’, 3’ est sur la courbe, U' est égal à zéro, À se réduit awd’ + uA + p?U : en égalant à zéro le discriminant, nous avons pour résultat A?= 4A’U; c’est une équation du quatnème degré en xyz. Donc, par un point d’une courbe du troisième ordre, on ne peut en général mener que quatre langentes à cette courbe. La tangente au point de contact compte par le fait pour deux tangentes.

79. Il en est de même en général. Le discriminant de A ou de BU + ur PAN nt 2722 AFH,

est du degré n (n —1)en z, y, 5;1lest (Algébre supérieure, n°141) de la forme KU + (A)?9; icio est le discriminant de A privée de son premier terme. Donc le lieu est tangent a U en ses points d’intersection avec A, comme il est évident que cela doit étre.

Chacune des n(n —1) tangentes rencontre de nouveau la Courbe en (72 — 2) points, et la forme du discriminant montre que ces n(n -—1) (7 — 2) points sont situés sur une courbe & de l'ordre (n —1)(n— 2). De plus 9 est lui-même de la forme

go CHAPITRE 1, WS + (A#)? 4. Donc les deux courbes 9 et 4 sont tangentes entre elles aux points où la première et la seconde polaire de (2', y, 2!) se coupent.

ivons À sous la forme MU'+2-1uA'+..., nous voyons que le discriminant peut aussi se mettre sous la forme kU! +-(4')?2; done, si(z!, y’, 3!) est situé sur la courbe et si par suite U! =o, le discriminant contient le facteur double (4')*; autrement dit, le système des tangentes se compose de la tangente en (x, y’, 3’) comptée deux fois et de (n? — n — 2) autres tangentes représentées par l'équation g — 0. De mème gest lui-même de la forme 4A'+-(42)24, Si alors l’origine est un point double et, par conséquent, si non seulement U! est nul, mais si A’ est aussi égal à zéro, 9, qui était déjà du degré (n?—n— 2), contient le facteur double (A’?)?; c'est-à-dire que, parmi les n?— n — à tangentes, figurent les deux tangentes au point double, comptées chacune deux fois, et il ne reste par conséquent que n?— n — 6 autres tangentes représentées par =o. Et nous pouvons prouver de même que le nombre des tangentes qu'on peut mener d'un point multiple de l'ordre k est n?— n —k(k +1).

La théorie donnée précédemment sur l'effet des points multiples relativement au nombre des tangentes qu'on peut mener d'un point quelconque à une courbe nous montre que le dis= criminant de A (qui, en général, représente les n (n —1) tan— gentes) contiendra comme facteurs le carré de la droite qua joint (2’, 9’, 3!) à chaque point double de la courbe, le cube de= la droite qui le réunit à chaque rebroussement, la sixitme= puissance de la droite qui le joint à chaque point triple, =æ ainsi de suite.

Secrion VI. — Courbes réciproques.

80. Nous avons vu (Sections coniques, n° 303) que le de=— gré de la courbe réciproque est toujours le même que la clas=® de la courbe donnée, et inversement. Il est évident aussi qe à

PROPRIETES GENERALES DES COURBES. g!

un pointdoublesur l’unedes courbes correspondra une tangente double sur l’autre ; qu’à un point stationnaire de l’une correspondra une tangente stationnaire sur l’autre; et, en général, qu'à un point multiple de l’ordre & correspondra une tangente multiple de même ordre; que les À points de contact de la tangente multiple correspondront aux & langentes du point multiple; et que, si une ou plusieurs de ces dernières coincident avec d'autres tangentes, il en sera de même pour les points de contact correspondants.

81. Nous avons vu aussi que l'équation générale en coordonnées cartésiennes ou trilinéaires représente une courbe qui n'a aucun point double ou multiple, à moins que certaines conditions ne soient remplies. En effet, les abscisses des points où la courbe est rencontrée par une droite y — ax + b s’obtiennent en portant dans l'équation de la courbe la valeur de y déduite de la dernière équation; et comme nous avons deux constantes arbitraires a et b dont nous pouvons disposer, nous pouvons les déterminer de telle manière que l'équation résultante satisfasse à deux conditions quelconques à notre choix. Avec une seule constante à notre disposition, nous pouvons astreindre l'équation à vérifier une seule condition : par exemple, à avoir un couple de racines égales. Le problème suivant : A tant donné a, déterminer bde manieéreque l’équalion ait deux racines égales, n’est autre que le problème qui consiste à mener à la courbe une tangente parallèle à = ax. Si nous pouvons disposer de deux constantes, nous Pourrons imposer à l'équation la condition d’avoir deux couples de racines égales, ou trois racines égales entre elles. Le premier cas correspond au problème des tangentes doubles, lesecond à celui des tangentes stationnaires ou des points d’inflexion. Ainsilestangentesdoublesetslationnaires peuventétre rangées parmi les singularités ordinaires d’une courbe dont l'équation est exprimée en coordonnées ponctuelles; les tan-

PROPRIETES GÉNÉRALES DES COURBES. 93 ( <= m(m—2)(m?—9)

(4) mon —n —927—3:, (3) k = 3n?— 6n — 67 — 81, ( 2@=n(n—a)(n*— 9) (6) — 2a(n?— n — 6)(2a7 — 31) + Az(t—1)+1a7t+g:(t—1).

Si, entre les équations (1) et (2), nous éliminons 6, ou bien si entre les équations (4) et (5) nous éliminons +, nous arrivons dans les deux cas au même résultat

Ceci démontre que nos équations sont équivalentes à trois équations seulement. Ce résultat peut aussi s’écrire sous les formes suivantes :

3m—x—3n—1:, oubien 3m+t1=—3n+x.

Retranchons membre à membre les équations (1) et (4), nous

obtenons m?—- 26 — 3x= n?— a7 — 3:

et, si nous remplaçons (: — x) par sa valeur déduite de (7). nous avons

L'avant-dernière équation, où l’on remplace n et tou m et x par leurs valeurs, donne les équations précédentes (3)

et (6).

Des équations (7) et (8) nous déduisons aussi (9) im(m+3)—0—2x—1in(n+3)—T— 21, (10) 4(m —1)(m — 2)— 6 —x==1(n—1)(n—2)—t—1,

94 CHAPITRE IL Le système entier de ces équations équivaut par le fait à trois équations seulement; étant données trois quelconques des six quantités m, n, à, %, 7, 1, nous pouvons, à l’aide de ce système, déterminer les trois quantités restantes ; par exemple, connaissant m, à, x, nous calculerons À par (1), ¢ par (2) ou plus facilement par (7) et+ par (3) ou plus facilement par (8). Ezxemple.—Supposons qu'on nous donnem = 6, à = §,x =6; alors, d'après (1), n= 4; par suite, m—n=2,n—m=—2; done (5) VER tou n+m—Q=1; parsuite +—ù

—1, doncr=3.

83. Quand une courbe est donnée, sa réciproque est déterminée par là-même ; il est donc évident que le même nombre de conditions doit suffire pour déterminer chacune d'elles. Savoirqu'une courbe a ë points doubles équivaut à 6 conditions. Par exemple, une conique est déterminée par cinq conditions; mais si elle a un point double, c’est-à-dire si elle se réduit à un système de deux droites, elle est déterminée au moyen de quatre conditions seulement, par exemple au moyen de deux points situés sur chacune des droites. De même, quand on sait qu'une courbe a un point de rebroussement, ceci équivaut à deux conditions. Done (n° 27) une courbe du ml degré avec à points doubles et x rebroussements est déterminée par $ m(m + 3)— 6 — 2x conditions et sa réciproque part n(n+3)—7— 521conditions. Et l'équation précédente (9) montre qu'en effet ces deux nombres sont égaux.

L'équation (10) trouvée ci-dessus démontre que la déficience ou le genre (n° 44) est le même pour une courbe et sa réciproque. Dans un prochain Chapitre nous ferons voir que cette proposition est vraie pour toutes les courbes dérivées les unes des autres, de telle manière qu’à un point de l'une il ne corresponde qu'un seul point ou une seule tangente de l’autre.

Si (avec M. Cayley) nous posons

nous pourrons tout exprimer au moyen de (m, n, a) et nous

aurons k—=12— 3n,

Dans le Chapitre suivant, nous apprendrons ce que signifie l'équation (11).