ENVELOPPES

84. Si une courbe dépend d’une manière quelconque d’un seul paramètre variable, de telle sorte qu'en donnant à ce paramètre une suite de valeurs nous ayons une suite de courbes, toutes ces courbes sont langentes à une certaine courbe qu'on appelle l'enveloppe du système. Chaque courbe est coupée par la courbe consécutive en un certain nombre de points qui dépendent du paramètre, et le lieu de ces points est l'enveloppe. (Voir Sections coniques, n° 283 ..., où le problème des enveloppes a été traité dans le cas où la courbe variable est une ligne droite.) Analytiquement, l'équation de la courbe peut contenir un seul paramètre variable, ou bien elle peut en renfermer deux ou plusieurs liés par une ou plusieurs équations, de manière qu'il ne subsiste effeetivement qu'un seul paramètre réellement variable. Ces deux cas sont essentiellement équivalents; toutefois il est souvent avantageux de traiter le second d’une manière différente, en faisant usage de la méthode de multiplicateurs indéterminés que nous allons exposer. La forme sous laquelle le second eas se présente le plus fréquemment est celle où l'équation d'une courbe contient les coordonnées d’un point variable, astreint lui-même à se mouvoir sur une courbe déterminée; ou, en d’autres termes, c’est le cas où la courbe variable dépend d’un point paramétrique qui se meut sur une courbe paramétrique donnée. Par exemple, on a montré (Sections coniques, n° 321) que le problème consistant à former la polaire + réciproque d’une courbe donnée par rapport à x? + y? + 52

ENVELOPPES. 97 est le mème que celui où il s’agit de trouver l’enveloppe de ar+ Sy +ys, «, f, y devant vérifier l'équation de la courbe donnée. Ici l'équation de la droite variable contient les deux paramètres variables x : y, 8 : y, et ces deux rapports sont liés par l'équation de la courbe donnée.

8. Supposons d’abord que l'équation de la courbe, que nous représenterons par T = 0, ne contienne qu un seul paramètre variable ¢. Les courbes qui correspondent aux valeurs consécutives ¢, t-+ dt peuvent étre représentées par les équations T — 0, T, = 0. Ces équations, ou les équations équivalentes T — 0, T, — T = 0, déterminent par conséquent les coordonnées des points d’intersection des deux courbes consécutives. Nous avons

T,=T+4,Tdt+...

T,—T=d,Tdt+....

ou bien

li, dt étant un infiniment petit du premier ordre, les termes qui suivent le premier peuvent être négligés. Les équations deviennent alors T = 0, dT = 0; elles déterminent un svsteme de points qui dépendent du paramètre ¢; si donc nous éhminons ¢ entre ces équations, nous obtiendrons |’équation du lieu de tous les points d’intersection des courbes consécutives du système, c’est-à-dire l’équation de l'enveloppe. Un cas important à considérer est celui où l’équation est une fonction rationnelle de ¢; nous pouvons alors, sans nuire ala généralité, prendre pour T une fonction entière en même lemps que rationnelle par rapport à t, et le procédé qu’on vient d'indiquer pour trouver l'équation de l’enveloppe revient à former le discriminant de T considéré comme fonction de t et à l’égaler à zéro. Par exemple, si a, b, c, ... sont des fonctions quelconques des coordonnées, et si T est l'expression

AR) pas

alt + nbtr-1 +

S. — Courbes planes. 7

les équations de l'enveloppe pour les cas qui se rencontrent le plus souvent, à savoir n — 2, 3 et 4, sont RAR eRen (Alg. sup., n° 193, 195, 207)

(2) ac —b—0,

(3) a*d* + 4ac+ 4b*d—6abed 36e 0,

(4) Cac — 4 bd + 30?) — 27 (ace + 2 bed — ad*—b*e —c3)*=0.

Prenons la dernière de ces équations et supposons que nous voulions connaître son ordre en fonction des coordonnées et que nous sachions d'avance à quel degré elles figurent dans b, a, . . .; il sera alors utile de nous rappelerque, lorsque l'équation est développée, les termes contenant ct et c'bd peuvent se réduire, en sorte qu’il pourra arriver que l'ordre de l'enveloppe soit moindre que celui de l’un des deux termes qui constituent l'équation ci-dessus.

Si nous introduisons dans T les coordonnées d'un point quelconque et si nous résolvons l'équation résultante par rapport à ¢,

a+ nb +...=0, nous aurons évidemment n solutions; autrement dit, le système des courbes représenté par T est de telle nature que Von peut déterminer À d’entre elles de manière qu'elles passent par un point fixe; et, d'après ce qu’on vient de dire, ilest clair que, si le point fixe est sur l’enveloppe, deux de ces courbes coïncideront.

Le cas où T dépend d’un point paramétrique peut se ramener au cas qu'on vient de considérer, si la courbe paramétrique est une droite, une conique ou une autre courbe unicursale; en effet (n° 44), les coordonnées du point paramétrique peuvent s'exprimer sous forme de fonctions rationnelles d'un paramètre.

ici, sont

Exempte 1. — Trouver l'enveloppe de at + btr + c = comme dans les autres exemples, nous supposons que a, b,. des fonctions quelconques des coordonnées,

es —

ENVELOPPRS. 09

Combinons l'équation donnée avec sa dérivée par rapport à t; nous avons

nat®-pP + pb=0, (n—p}btP+ nc =o, et, en éliminant ¢, nous obtenons nn aP ch—P + pP(n — p\n-p) bn = o.

Nous devons ici prendre le signe + quand n est impair et le signe — quand il est pair. |

Exempre 2. — Trouver l’enveloppe de a cost + b sin 0 = c. à étant le paramètre.

Nous avons ~ AT = — acos"—! 6 sin 6 + b sin#-16 cos0 = 0, d'où | + 1 1 n—2 n—2 n—2 tang) = aa , cos = — 2 — ) sin = —————— :

bn? Var + ga Vars or

Portons ces valeurs dans l'équation trigonométrique connue et effectuons les réductions, nous trouvons pour l'équation de l'enveloppe

2 —2. 2 a?" = b2-2 — cr,

En particulier (Sections coniques, n° 283), l'enveloppe de a cos0 + b sin8 =c est at b? = c?. Réciproquement, toute tangente à la courbe rm ym = cm peut s'exprimer sous la forme

2'm—1) 2(m—1) zcos ™ 0+ysin “™ 0—c

et les coordonnées du point de contact sont 2 2 r=:ccos"0, y = csin” 0.

On aurait pu présenter cet exemple comme un de ceux où une en-

veloppe dépend d'un point paramétrique situé sur une courbe unicursale. En effet, si nous posons cosô = 2, sin® = 8, les quantités a.

$ sont alors les coordonnées d’un point situé sur le cercle a? + 8% =1 et, comme le cercle est une courbe unicursale, ces coordonnées peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre.

Par exemple, si ¢ est égal à cos 0 + à sin 0, nous pouvons remplacer a ou cos® par A(e = 3) et fou sind par +, (« = DL Si nous prenons comme exemple l'équation az + 68 = c, elle devient

(a— bi) 8 act + (a+ bi) =0, et son enveloppe, déterminée comme on l'a dit plus haut, est | (a+ bil(a—bi)=c? ou at+bt=ct,

Si nous voulions éviter les imaginaires, nous pourrions poser

tang$0 = ¢ et (comme dans les Sections coniques, n° 283) exprimer cos® et sin® rationnellement en fonction de ¢.

ExepLe 3. — Supposons que la courbe soit a cos20 + bsin20 + ¢ cos0 + dsind +e =o.

Posons ¢ = cos@ + ésin0 : cette équation devient

a(e+ 4) —vi(e-à) +e(e+?)—ai(e—7) ae ng

ou bie in (a —bi) th +(e — di) +- 2e8 + (ce + di)t+(a+bi)=oa

Et en appliquant ici la formule donnée précédemment pour le discriminant d'une forme du quatrième degré dont les termes sont affectés des coefficients du bindme, nous aurons [at 2 —} (ct + dt) + Les = 27 [h(at+ bt)e + ae (et + aye

—ta(ct—d*)—} bed— er}, ou, en chassant les dénominateurs, [12(a? + 0?) — 3(e?+ d*) + {et} = [7a(a? + bt)e+g(e? + d'je —aza(c?—d')—5; bed 8e}

Ici encore il est utile de remarquer que le résultat développé ne contiendra aucun des termes ef, (ct +d?) e.

Exewpse 4. — Trouver l'enveloppe des cordes de courbure des + points d’une conique.

ENVELOPPES. 101 L'équation de la corde est (Sections coniques, n° 244, Ex. 1)

zx Y a (C0S2—"T Sina = cosaz;

son enveloppe est donc a? oy? 3 x? y2\3

EXEMPLE 3. — Trouver Véquation de la courbe parallèle à une conique, c'est-à-dire de la courbe obtenue en portant sur chaque normale à la conique, et à partir de cette courbe, une longueur constante égale à r. |

On a déjà résolu ce problème (Sections coniques, n° 372, Ex. 2) en considérant la courbe parallèle comme le lieu du centre d'un cercle de rayon constant tangent à la conique donnée, Mais il est facile de voir que la courbe en question peut aussi être considérée comme l'enveloppe d'un cercle de rayon constant dont le centre se meut sur la conique donnée; autrement dit, nous aurons à chercher l'enveloppe de

quand le point paramétrique est situé sur la conique; et comme cette derniére courbe est unicursale, le probléme se raméne au cas qu’on a déjà discuté. Supposons que I’équation de la conique soit

FH etremplacons z par a cos6, 8 par 6 sin6; l'équation a+ 82—aar —28y+zxt+yi—ri=o devient (—bt)cos 29 — { arcos0 — { by sin§ +-2(z?+ y?) + at +b3— rt = 0.

Cette forme se trouve comprise dans le cas traité dans le dernier exemple; en procédant d’une manière analogue, nous obtiendrions un résultat dont le développement est identique avec celui qui a été donné dans les Sections coniques, n° 372.

86. Il convient d'étudier plus attentivement le cas où T est une fonction algébrique par rapport à ¢, et où cette expres-

ENVELOPPES. 103 Ti, Ty2, Ta, étant les trois quotients différentiels du second ordre de T considéré comme une forme binaire rendue homogéne par l’introduction d’une seconde variable. Si entre ces équations nous éliminons maintenant x et y quientrent au premier degré dans chacune d'elles, l’équation résultante en { sera du degré 3(7n — 2). Si nous écrivons T sous la forme x U + y V + 3 W, les quantités U, V, W ne contenant que ¢ et des constantes, nous avons évidemment le déterminant

Ui. Var Wa .

Uy. Vis Wis | =09, Use Vaz Wes

qu nous donnera les valeurs de ¢ correspondant aux 3(n— 2) points de rebroussement.

Le probléme qui a pour objet de trouver le nombre de points doubles de l'enveloppe est le même que celui où il s'agit de déterminer l’ordre du système de conditions pour que T ait deux couples distincts de racines égales (A {g. sup., n°264) et le problème où l’on cherche le nombre de tangentes doubles revient à celui où il faut trouver l’ordre du système de conditions pour que T représente la même droite pour des valeurs différentes de ¢; en d’autres termes, il s’agit de déterminer de combien de manières nous pourrons trouver an couple de valeurs ¢, ¢” qui nous donnent l'égalité de rapports

U': WW =U": Vs Ww’.

Mais nous n’avons pas besoin de traiter ces problémes dirctement, puisque les équations de Plücker (n° 82) nous fournissent déjà plus de conditions qu’il n’en faut pour déterminer 6 et +. Si donc nous écrivons dans ces équations que 2(n— 1) et n sont l’ordre et la classe de la courbe en question el si nous y faisons 4 = 0, nous trouvons

ENVELOPPES. 109 de sorte que le résultat cherché peut s’obtenir en éliminant a, 8,7, À, pentre ces trois dernières équations et celles qu'on a données tout d’abord. C’est la méthode dite des multiplicateurs indéterminés à laquelle on a fait allusion

88. Le cas où U est homogène par rapport à À + 1 paramètres liés par A — 1 autres équations homogènes présente une certaine importance. Il se ramène en réalité au cas précédent, puisque les A + 1 paramètres peuvent être remplacés par les rapports que l’un quelconque d’entre eux forme avec les A autres. Mais il est plus symétrique de garder toutes les A + 1 équations que fournit la méthode des muluplicateurs indéterminés; en vertu du théorème des équations homogènes, ces équations sont liées par une relation qui les rend réellement équivalentes à k équatons seulement. Suppôsons, par exemple, que U soit une lonction homogène des coordonnées a, 8, y d'un point paramétrique qui se meut sur la courbe paramétrique V — 0; outre les deux équations primitives, la méthode des multiplcateurs indéterminés nous donne |

dU ,dvV | dU ,dV. dU,4V di” dB '"æŒ 1

Mais ces trois derniéres équations n’équivalent réellement qu'à deux, puisqu’en les multipliant respectivement par 2,3, y nous aurons mU + À nr V =o, et cette relation résulte implicitement des équations U =o, V = o. Nous avons ainsi quatre équations ; en raison de leur homogénéité, hous pouvons éliminer entre elles les quatre quantités 1 3, , À et obtenir de cette manière l'équation de l’enveloppe.

Exeypre. Trouver l'enveloppe de

U—(Aa)n+(B3)}r+(Cy)" =0o, ,