ENVELOPPES

rapport dB : da des accroissements infiniment petits des paramètres. Mais, si la courbe appartient au système simple, le système de points sera indépendant du rapport en question; les coordonnées des points d'intersection vérifieront les

équations U — o, a = 0, 7 =o et conséquemment |’équa-

tion U + di + da d3 = o, quelle que soit la valeur du rap-

Z port d3 : da. Et nous voyons ainsi qu’une courbe de la série simple est rencontrée par chaque courbe consécutive de la sre double en un seul et même système de points et que le lieu de ces points est l'enveloppe. Dans le cas où il existe un paramètre unique, l'enveloppe est le lieu d’une suite de points situés sur chaque courbe du système, et on peut lui donner le nom d’enveloppe générale. Dans le cas où l'équalion contient deux paramètres, l'enveloppe est le lieu d’une série de points qui ne sont plus situés sur chacune des courbes du système, mais seulement sur les courbes du système unique où les paramètres satisfont à l'équation 9(2, 8) = 0; on peut l'appeler une enveloppe particulière. Une théorie semblable s'applique au cas d’un nombre quelconque de para-

mètres : il y a toujours un seul système résultant de courbes.

89 (a). M. Cayley a donné l'explication d’une difficulté que l'on rencontre dans la théorie des enveloppes telle que nous l'avons exposée au n° 84.

Dans ce numéro, nous avons considéré une enveloppe comme le lieu des intersections d’une courbe variable avec les courbes consécutives du système. Mais chaque courbe a en commun avec la courbe consécutive un certain nombre de langentes communes, qui dépend de son paramètre, et l’enveloppe de ces droites constitue aussi l'enveloppe ; autrement

dit, chaque tangente commune à la courbe et à celle qui

lui est consécutive est une tangente à l'enveloppe en un point commun à ces deux mêmes courbes. Or, si la courbe variable est de l’ordre m et de la classe n, le nombre des points communs est égal à m* et celui des tangentes communes à 7? ; et cependant les points et tangentes communs doivent se correspondre entre eux deux à deux. L'explication de cette particularité dépend des singularités de la courbe variable. Supposons qu'elle ait en général à points doubles, x points de rebroussement, + tangentes doubles et + points d’inflexion; on voit facilement alors que la courbe rencontre la courbe consécutive en deux points infiniment voisins de chaque point double, en trois points infiniment voisins de chaque point de rebroussement (ce qui donne ainsi 25 + 3x points d'intersection) et en outre en m?— 25 — 3x points; réciproquement, la courbe considérée et la courbe consécutive ont en commun deux tangentes contigués à chaque tangente double, trois tangentes contiguës à chaque tangente stationnaire (soit ainsi 25 + 3:tangentes communes) et de plus elles ont encore nî— 27— 31 tangentes communes; mais nous avons

(voir n° 89)

m?—28—3x=n*?—at—31=m+n.

Chacun des m°?— 2 — 3x points est (non pas un point de contact mais) un point d’intersection ordinaire des deux courbes, mais il a dans son voisinage immédiat une des n?— 27— 31 tangentes communes aux deux courbes; et l'enveloppe est simultanément ainsi le lieu des mn? — 28 —3x (ou m+n) points, et l'enveloppe des n*—at—3e (ou m +n) tangentes.

Nous pouvons ajouter que l'enveloppe complète de la courbe variable se compose de l'enveloppe proprement dite, ainsi qu’on vient de l'expliquer, et en outre : 1° du lieu des points doubles compté deux fois; 2° du lieu des points de

COURBES RECIPROQUES. 109 rebroussement compté trois fois; 3° de l’enveloppe des tangentes doubles comptée deux fois et 4° de l’enveloppe des tangentes stationnaires comptée trois fois.

Dans tout ce qui précède, les nombres m, n, 6, t, x, t, se rapportent à la courbe qui correspond à la valeur générale du paramètre variable; pour des valeurs particulières de ce paramètre, la courbe variable peut acquérir ou perdre des singularités ponctuelles ou tangentielles; les différents nombres subissent alors des changements en conséquence.