COURBES RECIPROQUES

90. Supposons qu'il s’agisse de chercher l’enveloppe d’une droite « x + By + y 3 = 0, sachant que a, $, y sont liés par une relation Yo. En d’autres termes, supposons qu’on donne l'équation tangentielle x = o d’une courbe ou son équation en coordonnées de droites, et qu'on demande de passer à l'équation en coordonnées de points. Nous avons ici les deux équations 2 — 0,ar+By+yz=0, et la méthode du n° 88 nous montre que le résultat s’obtiendra en éliminant 1,7, entre les équations données combinées avec les

équations dE dE dE qa RE =o a thy, T5

La solution du problème réciproque, étant donnée l’équation ponctuelle S = o, passer à l'équation tangentielle, dépend d'une élimination exactement semblable; il faut en effet éliminer x, y, 5, } entre

S=0,ar+B8y+ys=0 el

dS dS dS — = — 4-,38= — +) ; de +ha=—0, dvi 0 a tht+o

Ce système d'équations découlerait lui-même tout naturelle-

COURBES RECIPROQUES. . 111 Soit proposé, par exemple, de trouver la réciproque de

2+ y4- 3 + 6mryz—o.

Eliminons z, il vient (az + By)? + 6mayy (az + By)— 7 (x + ¥?)=0 ou bien | (v—y, 8 + amay*, aB? + amBy*, B?— yz, y} —=o (').

Quand on a divisé le discriminant par y‘, le quotient donne

+ BF y — (a + 3am?) (By? + pra + 238?) — 24 maby (2? + B? + y) — (24m + 48m‘) 278777 = o.

On peut trouver exactement de la même manière les réciproques des courbes du troisiéme ou du quatriéme degré rprésentées par leurs équations générales; les résultats en sront donnés tout au long dans les Chapitres suivants.

92. Un des avantages principaux que présente la méthode précédente pour former l’équation de la réciproque, c’est quelle nous permet d'écrire immédiatement l'équation de tete réciproque sous la forme symbolique indiquée (A lgébre supérieure, Chap. XIV). Si nous ramenons une forme ter- , Maire à une forme binaire en éliminant 3 au moyen de l'équation az + By +Yyz—o, nous avons immédiatement les règles suivantes pour exprimer les différentielles de la forme binaire prises par rapport à x et y,

ee =———

(‘) Nous employons la notation (a, 6, c,...Yx, y)" pour la forme binaire étrite avec les coefficients du binôme, soit az* + nbx"-1y + ...; nous ré- *rvons la notation (a, b, c, ... Xx, y) pour le cas où la forme est écrite ans les coefficients du binôme (Alg. sup., n° 104).

COURBES RECIPROQUES. 113 courbe de la sixiéme classe, enveloppe des droites divisées har-

moniquement par la courbe et pour lesquelles, par conséquent, linvariant T s’annule.

93. Nous avons déja donné (n° 78) une méthode qui permet de former l’équation des tangentes menées à la courbe par un point (x, y/, 2’); mais le problème se trouve résolu effectivement quand nous possédons l'équation de la réciproque ou, en d’autres termes, quand nous avons la condition pour que la droite ax + By + ys = 0 soit tangente à la courbe. En effet, nous n'avons qu’à remplacer dans cette condition a, 8, y respectivement par ys’ — 3y, 227 '— x3, xy' — yx', et nous aurons la condition pour que la droite qui unit les points (7,y, 3'),(2, y, 2) soit tangente à la courbe; cette condition doit évidemment être satisfaite quand (zx, y, 3) est un point d'une tangente quelconque issue de (z’, y”, 3')(voir Sections coniques, n° 294).

Réciproquement, l'équation du système de tangentes, trouvée par le procédé indiqué au n° 63, s'obtient aisément sous forme d’une fonction homogéne de( ys' — y's), (32 —x'3) et de (xy’ — yz’) égalée à zéro; en remplaçant ces quantités par a, 8, y, nous aurons l'équation de la courbe réciproque.

94. Nous avons immédiatement ainsi un théorème qui correspond à celui du n° 92, à savoir que, lorsque nous avons l'équation tangentielle d’une courbe, nous pouvons écrire de suite l'équation symbolique du lieu d’un point tel que le système de tangentes menées de ce point à la courbe satisfasse à une relation donnée d’invariance. En posant z =o dans l'équation du système de tangentes, nous obtenons l'équation du système des droites parallèles issues du point xy qui vénfient la même relation d’invariance. Mais, d’après la

S. — Courbes planes. 8

CONTACT ENTRE DEUX COURBES. 119 = 90° — mw et la perpendiculaire abaissée sur la tangente est égale à 9 sin ou à p cosmw. L’angle compris entre la perpendiculaire et le rayon vecteur est égal 4 mw; celui que forment la perpendiculaire et la droite à partir de laquelle w est mesuré est (m + 1)w. Mais le rayon vecteur de la courbe réciproque est l'inverse de la perpendiculaire abaissée sur la tangente ; d’après cela il est facile de voir que l'équation de la courbe réciproque sera aussi de la forme p" = a™cosmw,

le nouvel m étant égal à — ———. Cette famille de courbes

renferme plusieurs espéces importantes; par exemple, le

cercle (m == 1), la ligne droite (m — —1), la lemniscate ordinaire (mz = 2), hyperbole équilatére (m — — 2), la cardioide (72 —+}, la parabole (m= —{)....