CONDITION DE CONTACT ENTRE DEUX COURBES
9. On a fait remarquer (n° 90) que le problème auquel conduit la recherche de l'équation de la courbe réciproque est le même que celui qui consiste à trouver la condition pour qu'une droite soit tangente à la courbe donnée; la solution de ces deux problèmes revient à trouver l'enveloppe deax + By +ys=0, où a, 8, y sont des paramètres qui satisfont à l'équation de la courbe. Plus généralement, le problème qui consiste à trouver la condition pour que deux courbes U, V soient tangentes est le même que celui où il s'agit de trouver l'enveloppe de l’une d'elles, les coordonnées élant regardées comme des paramètres variables qui vérifient aussi l'équation de l’autre. En effet, si les deux courbes sont langentes, les coordonnées du point de contact a, 8, y vérifient l'équation de chacune d’elles, et comme les tangentes sont aussi les mémes, il faut qu’en ce point les quotients différenuels de U soient respectivement proportionnels à ceux
CONTACT ENTRE DEUX COURBES. 117 tivementm — 1, m'— 1, m' —1,Vordrede yest m + 2m —3 et le nombre des intersections est m(m + am'— 3). C'est donc l'ordre auquel les coefficients de V figureront dans la condition de contact; de la méme maniére ceux de U y entreroot à l'ordre m'(m' + 4m — 3). En faisant m’ = 1 nous retrouvons un résultat déjà obtenu : la condition pour que ax + Br + Yz=0 soit tangente à une courbe contient 2, $, y au degré m(m—1)et les coefficients de la courbe au degré 2(m—1). Voir aussi Sections coniques, n° 372. Si U a un point double, nous avons déjà vu que les courbes U,, Uz, Us passent par ce point, et si ce point €stun point de rebroussement, elles y ont méme tangente; Les mêmes, déductions sont vraies pour y, et nous voyons que Lordre de la condition de contact, en fanction des coefficients de V, doit être diminué de deux unités pour chaque point double, et de trois pour chaque rebroussement de U. L'ordre en question est donc .
m(m + 2m'—3)—2é6—3x ou n+a2m(m'—1).
98. On aurait pu obtenir ces résultats d’une autre manière ainsiqu’il suit. Prenons une droite arbitraire ax + by +cz—0 elégalons à zéro le déterminant
a b c¢ v= U, U, U; Vi Va Vs
Cette équation représente le lieu d’un point tel que ses polaires par rapport à U et V se coupent sur la droite en question. Mais, en un point commun à U et V, les polaires sont les deux tangentes qui se coupent au point commun; il ny a donc évidemment que les deux cas suivants où un point ‘mmun à U et V puisse aussi se trouver sur vy: ou bien la droite choisie passe par une intersection de U, V, ou bien en
DEVELOPPEES. 119
lent peuvent être rendus descriptifs en substituant aux deux ponts circulaires à l'infini deux points I, J pris arbitrairementet en remplaçant les droites perpendiculaires entre elles, qui peuvent intervenir dans nos théorèmes, par des droites qu divisent I, J harmoniquement.
Un des cas d’enveloppe qui compte parmi les plus importants et parmi ceux qui aient été étudiés les premiers, c’est celui des développées des courbes. Nous avons défini la développée d'une courbe (Sections coniques, n° 248) comme le lieu des centres de courbure dela courbe; mais on peut aussi resarder la développée comme l'enveloppe de toutes les normales de la courbe. En effet, le cercle de courbure est le cercle qui passe par trois points consécutifs de la courbe, et son centre est l'intersection des perpendiculaires élevées par les milieux des côtés du triangle formé par ces points. Or les droites qui joignent le premier et le second point, le second et le troisième sont deux tangentes consécutives de la courbe, etles perpendiculaires dont on vient de parler sont deux normales consécutives ; le centre de courbure est doncle point d'intersection de deux normales consécutives, et le lieu de tous les centres de courbure doit être le même que l’enveloppe de toutes les normales.
gt yt
ExRMPLE 1. — Trouver la développée de mt pl.
La normale est ( Sections coniques, n° 180)
Si nous posons 2’ = a cose, y' = bsing, elle devient
ax by
— —— = c?; cos o Sin ® é
C'est une équation de la classe étudiée (n° 85, Ex. 2) et dont l’enveloppe est, par conséquent,
EXEMPLE 2. — La normale à la parabole est (Sections coniques, n° 213) P(Y—Y)+ ay" (&—r)=0, ou
273+(pt—2pr)y — pty =o.
C'est une équation de la classe étudiée (n° 85, Ex.1); y” étant le paramètre, son enveloppe est
2(p—2r$+25pyi= 0.
ExEMPLE 3. — Trouver la développée de la parabole semicu-
bique py? = rt.
L’équation de la normale est
3727 —y')+ apy'(x—2')=0.
Remplaçons y’ par sa valeur en x’ déduite de l’équation de la
courbe, et divisons par x’? ; si nous posons z'? = ¢, l'équation devient À 3t*+—2pt?—3p?yt—2pzr = 0, dont l'enveloppe est P(p—182) =(54pz + yt+ pr}.
ExEMPLE 4. — Trouver la développée de la parabole cubique
py =r.
L’équation de la normale est
32'2(y—y') + pt(r—z')=o0 ou 3r5—3pyr?+ pir'—pir=o. Or l'enveloppe de
al’ -+-10dt? + Set + f=o0 est (aft — 12d%e)? + 128(2e? — 3d/)( ae? — adef — 9d*) = o.
Dans le cas actuel l'enveloppe cherchte est donc 8 ., 123/2 \(4L 3 2434) — 3p? (x? — ist) + a5 (Sp? — 229) — 3 ptry — tae) = 0. ExEMPLE 3. — Trouver la développée de la cissoide (r?--93)r = ay?,
Cette courbe cst unicursale; si nous écrivons l'équation sous la
DEVELOPPEES. 12!
forme (a — x) y2? = 23, nous voyons de suite qu’elle est vérifiée par les
valeurs 7 = —T — — * Tire = 6(1 + 02) Nous trouvons facilement que l'équation de la tangente au point en question est 2037 —30r+a— x = o.
L'équation de la normale est donc 2073 +(1430%)y = a(n)
ou bien 20%x + 3603y — 2014 + by — a — 0.
En formant le discriminant, nous voyons aisément qu’il conjient en facteur (2 + £a)? + y?; le facteur qui reste donne l'équation de la développée proprement dite, qui est
+hap+iliaxz o.
2 2 2 Exewece 6. — Trouver la développée de x* + y? = at.
Pour un point quelconque de cette courbe, nous pouvons poser (voir n° 85, Ex. 2)
r'=a cosy, 7” = asinie.
latangente en ce point sera
et la normale TCOSS—7Y Sins = ACOS25%, ou bien (T+ y)(cos>—sino)+(r—y’)(cose + sing) = 2a(cost®—sin?e), ou encore
—— — + @ le Ae ee 4
sin(e+ ©) cos(g+5)
dont l'enveloppe est, comme on l'a vu (n° 85, Ex. 2),
2 3 2 (r-—y)i+(xz- 7) = 203,
DEVELOPPEES. 123 Les valeurs que l’on vient d’obtenir pour les coordonnées dupoint d’intersection de deux normales consécutives auraient pu se trouver en considérant ce même point comme le centre de courbure.
Prenons l’équation d’un cercle quelconque
En la différentiant deux fois, nous avons
dy dy\?
t—a)+(y—B) B= 0, 1+ (22) +0 —p) FX =o Mais si le re est osculateur a la courbe en un point, les
quantités dz r, 7 ont en ce point la même valeur pour les
deux courbes. Nous pouvons donc, dans ces équations, remplacer les coefficients différentiels par les valeurs de p et 4 déduites de l’équation de la courbe ; nous arriverons ainsi à des équations identiques aux équations (1) el (2), qu'on a déjà déduites d’autres considérations.
101. Dans la pratique, y n’est pas donné explicitement en fonction de x, mais ces deux quantités sont liées par une équation U = 0; il sera donc commode de remplacer les expressions contenant p et g par d’autres qui renferment les coefficients différentiels de U. Posons, comme plus haut,
dU aU , ®U eu CU
Gu dy = za — A, dy? — ’ dady ="
dx?
Les coefficients de x et y dans l'équation de la tangente
“ant respectivement égaux à L et M, l'équation de la normale est
Nous en déduisons, en différentiant,
(d+ 5 4 Ja) (a+ 2 )(8 —J)—M +L 3 =o
Mais l’équation de la courbe nous donne L + M x = 0 et,
dy:
en remplacant = Par sa valeur, nous avons
(2) (Lb—MA)j(a—r)—(La — Ma)(8—7y)+ L?+ M?=0.
Résolvons maintenant les équations (1) et (2); al vient
__=LO+MN gy —MO+M) aM? — 2h LM + 6L?’ JY = aM?—ahLM + bL?
par suite,
R= TF AL OL’
102. Si l'on introduit ici l’unité linéaire z, on peut faire prendre à cette expression une forme plus symétrique, de manière à donner à l’équation la forme trilinéairé. En effet, en vertu du théorème des fonctions homogènes,
(n—1)\L=ar+hy+gs, (a —1)M= zx + by + fs, (a —1)N=gzr-rfy + cs; on en déduit (n—1)(bL—hM)=(ab— h')x + (bg — fh)s, (n--1)(@€M—AL)=(ab—h*)y + (af —gh)sz.
Multiplions la première équation par L, Ja seconde par M et
additionnons-les membre à membre; il vient
(a —1)(6L?— 2hLM + aM?) = (ab —h*)(xL + 9M)+ s[(bg — fh) L+(af— gh)M);
mais, comme l'équation de la courbe donne rL++M+s5N=0, le second membre de l'égalité précédente devient égal à — s[(fh — bg)L +(gh — af)M + (ab — ht)N).
rey
