DÉVELOPPÉES
Remplacons L, M, N par leurs valeurs données ci-dessus, nous aurons
(n —1)*(bL?— 2hLM + aM!) = — 3*(abe +-2fgh — af? — bg? — ch?) = — HB’,
et l'expression qui fournit le rayon de courbure devient
R + (n — IVG + Mr 2H
Pour tout point dont les coordonnées satisfont à l'équation H =o, le rayon de courbure devient infini et le centre de Courbure est à une distance infinie. Cette particularité se produira quand trois points consécutifs de la courbe seront situés sur une ligne droite; en effet, le cercle qu'ils déterminent devient alors une droite et son centre se trouve à une distance infinie. Au moyen de cette valeur du rayon de courbure, nous pourrions donc, indépendamment du n° 74, arriver à cette conclusion que les intersections de U et de H sont des points d’inflexion. D’après l'équation précédente, pour que deux courbes soient osculatrices, il faut que, en outre de la condition de contact ordinaire, elles vérifient les deux relations L = 6L’, M = 6M’ et par conséquent que l’on ait
| SIT (n—1)? (n’—1)?
Le double signe qui figure dans la valeur du rayon de courbure est analogue a celui qu’on trouve dans la valeur de la perpendiculaire à une droite (Sections coniques, n° 34), et nous convenons de prendre le signe + quand le rayon de courbure (et par suite la concavité de la courbe) est dans une direction, nous devrons prendre le signe — pour la direction ‘pposée. Comme toute fonction algébrique change de signe ‘ passant par zéro, nous voyons qu'en un point d’inflexion le rayon de courbure change de signe et qu'en passant par
128 CHAPITRE Hl.
donnent bien les quantités 97, p} exprimées chacune en fonction de p, et par suite on a théoriquement l'équation de h développée sous la forme 9, = # (pi), mais l'élimination ne peut réellement s'effectuer.
Il est cependant facile de trouver l'équation de la réciproque de la développée par rapport à un cercle décrit autour du pôle comme centre. Prenons, pour plus de commodité, le rayon du cercle = a; soit p, le rayon vecteur de la courbe réciproque, et w, son inclinaison sur une droite perpendiculaire à celle à partir de laquelle w est mesuré : nous avons alors p, = p sin mw, et par suite
a es a ‘3 cos "mu sin mw
De plus (d'après le n° 95), wg = (m + 1) w; par conséquent la relation entre g, et w:, ou l'équation de la réciproque de la développée, est Oy 4g mw
si =
3 COS —— *- sii PR nié m+i
On verra facilement que le lieu de l'extrémité de la soustangente polaire (Sections coniques, n° 192) d'une courbe quelconque est la réciproque de la développée de la courbe réciproque. Ainsi ce lieu est une ligne droite pour les coniques focales, puisque la développée de la réciproque
“se réduit à un point.
105. Si l'on nous donne l'équation tangentielle d'une courbe w= 0, nous pourrons obtenir directement les coor données tangentielles de la normale et l'équation tangentielle de la développée. En effet, si (2/, f', y’) sont les coordonnées tangentielles d'une tangente,
lg dul dul Cran ae ta?
DÉYELOPPÉES. 129 est l'équation du point de contact; et si » = o est l’équation tangentielle d’un couple de points IJ, alors
dv’ dv’ dv" © az! + Bag TT Gy =°
est l'équation du pôle de la tangente donnée par rapport alJ; en d’autres termes, c’est l’équation du conjugué harmonique par rapport à ces points du point où la droite IJ est rencontrée par la tangente donnée. Si I, J sont les points circulatres à l'infini, la seconde équation représente le point à l'infini sur la normale, et les deux équations, considérées ensemble, déterminent les coordonnées tangentielles de la normale. Si entre ces relations et l'équation de la courbe nous éiminons 2’, 8’, 7’, nous aurons l’équation de la développée. Dans le système de coordonnées’ tangentielles qui correspond aux coordonnées rectangulaires ordinaires, l'équation qui représente les points circulaires I, J est a? + 8? = o (voir Sections coniques, n° 383), et la seconde équation
de’ gd de’ a Pag TT ay
est la condition bien connue de perpendicularité ax’ + 83’ — 0.
Exempte.— Former l’équation de la développée d’une conique â centre donnée par son équation tangentielle (voir Sections coniques, n° 169) aa? + 6282 = 1.
Ici les deux équations qui déterminent les coordonnées de la normale sont a? + 6233' =1 et ax + 83° = 0; nous en déduisons
Remplaçons 2’ et 8’ par leurs valeurs dans ata’? + 623't — 1; nous obtenons l'équation tangentielle de la développée qui est
at 63
$. — Courbes planes. 9
DEVELOPPEES. 131 lle représente une courbe du sixième degré ayant les points XZ, YZ our points de rebroussement, Z étant leur tangente commune; elle
en outre quatre autres points de rebroussement aux intersections e abZ? + 4XY et de aX?— bY1.
Exempze 2. — Supposons que la conique passe par un des points I, J, ce que nous pouvons exprimer en disant qu'elle est semicirculaire.
Nous aurons alors b = 0; xz est sur la courbe et x est la tangente. L'équation de la quasi-normale devient alors
a03Z+ 401Y +4X=0; l'enveloppe est de la troisième classe seulement ; son équation est 64 Y3 + 27a? XZ? = 0;
cestune cubique quia YZ pour point de rebroussement et XY pour point d’inflexion.
Si la courbe passe à la fois par I et J, en faisant a et b égaux chacun à zéro, nous voyons que l’équation de la quasi-normale se réduit à 02X + Y =o; la droite passe donc par un point fixe, qui est l'intersection de X, Y, les deux tangentes en I, J.
Exempte 3. — Admettons que la conique soit tangente à la droite IJ.
Les droites de référence les plus commodes sont cette droite et
les deux autres tangentes qui passent par! et J, et l’équation de cette conique est
z+ yi+ 31— ays —2357 — ary =0 3(27+27Y—3)=(xz — 7}.
l'équation de la tangente est alors 2T7+2Y —3—20(7—-7y)+01: = 0, nous avons pour le point de contact x—y=0s, 27+2y — 3 = Ota.
l'équation de la quasi-normale est alors
z—y—O(ar+y)=3[6 —50(1+ 6)]
ou 0532—0(27 +27 +3)+a(r—y)=0o.
DEVELOPPEES. 133
L'équation devient divisible par (hy + gz3} et l'enveloppe a une équation de la forme z?(hy + gz) = M5. On remarquera que hy + gs est la tangente à la conique au point I et que c'est une tangente d'inflexion de l'enveloppe.
107. En général, comme l’a fait remarquer M. Cayley, si Lx + My + Nz est la tangente en un point x'y/z/, et si ady, « By sont les coordonnées de I, J, l'équation de la quasinormale est
(La +MB'+Ny)|zx 7 a!
a BY
zr» 3 +(La+MB+Ny)|z y! 2' | =0
En effet, les deux déterminants, que nous appellerons pour le moment A, A’, représentent individuellement les droites qu joignent z'y/7/ à I et J, et, comme la tangente passe par leur intersection, nous devons avoir une identité de la forme Lz + My + Nz = AA — BA’. En remplaçant dans cette identité xyz successivement par «/3/}/, aBy, nous trouverons pour A et B des quantités proportionnelles à Læ+M$'+Ny et La + M3 + Ny; par conséquent, l’équation de la conjuguée harmonique de la tangente par rapport à A, A’ est de laforme écrite ci-dessus.
108. Examinons plus particulièrement le cas où l’un des points a, 8, y est sur la courbe et, pour simplifier, supposons que ses coordonnées soient (1, 0, 0). Cela revient à dire que nous supposons que ce point est yz et que nous prenons la droite z pour tangente en ce point; nous allons démontrer que l’équation de l'enveloppe contient z comme facteur, Nous pouvons également, sans porter atteinte à la
généralité de nos raisonnements, supposer que le second point soit xy ou que ses coordonnées soient 0, 0, 1. Faisons 8 = 0, y =0, a! =o, f/— o dans l'équation précédent; elle devient
N(ys' —sy')+ L(xy’ —y'x)=0.
Supposons maintenant que 2’, y’, 2’ soient exprimés en fonction d’un paramétre ¢ etque le point (x, 8,7) corresponded la valeur ¢ = 0; nous devrons avoir ¢ comme facteur dans l'expression de y’ et ¢? dans celle de =’ pour que l'équation de la tangente puisse se réduire à s — 0. En général, comme la tangente est la droite qui joint le point (z’, y’, 3’) au point consécutif (x' + dz’, y + dy’, 3! + dz’), son équation est
a(y'de! — s'dy")+ y(z'dx' —a'dz!) + 3(x'dy'—y'da!)=o.
L, M, N sont les coefficients de x, y, z dans cette équation et ¢ est facteur dans M et #? dans L. Si done on ordonne l'équation de la quasi-normale suivant les puissances erois~ santes de ¢, on trouvera qu'il n’y a pas de terme indépendant de ¢ et que s est facteur à la fois dans les coefficients de # et ¢?. Mais le discriminant d’une fonction À + Be + Ce? +... est de la forme A +B? (Algèbre supérieure, n° 107) et, par conséquent, un facteur qui figure en même temps dans À et B sera aussi facteur dans le discriminant. Si donc nous faisons B = o dans ce dernier, l'expression restante sera de la forme A (A + (34); nous voyons ainsi que l'enveloppe auras pour tangente d'inflexion (voir n° 99, Hx. 4).
109. On a fait remarquer (Sections coniques, n° 385) que la relation de perpendicularité peut être généralisée en rem plaçant les points I, J par une conique fixe et en regardant deux droites comme perpendiculaires quand chacune passe par le pôle de l'autre relativement à la conique. Dans celte nouvelle acception, l'élément qui correspond à la normale
DEVELOPPEES. 135
est la droite qui joint un point quelconque de la courbe au pôle de sa tangente par rapport à la conique fixe; ou, en d'autres termes, la droite qui unit le point en question au point correspondant de la polaire réciproque par rapport a la conique fixe.
Ainsi la courbe et sa réciproque ont les mémes normales. Par exemple, si nous prenons pour laconique fixe x? + y? + 3?, lescoordonnées du pôle d’une tangente quelconque à la courbe sont L, M, N et l'équation de la droite qui correspond à la normale est
z(Mz'—Ny')+y(Nz'—Lz')+3:(Ly —-Mz)=0o;
sila courbe était une conique, cette équation serait du second degré en 2’, y, 2 et l'enveloppe se déterminerait comme dans l’Exemple 4 (n° 106).
110. Les remarques qui suivent constituent un préliminaire utile à la recherche des caractéristiques de la développée d'une courbe. La normaleen un point situé à l’infini sur une courbe coincide avec la droite de l’infinielle-même. Nous avons déjà fait remarquer (n° 103) que nous pouvons généraliser la conception d’une normale en substituant aux deux points circulaires de l'infini deux points J, J à distance finie, que si la tangente en un point quelconque P rencontre IJ en M, et si M’ est le conjugué harmonique de M par rapport à I, J, la droite PM’ peut être regardée comme la normale. De cette construction il résulte immédiatement que, sile point P est situé sur la droite IJ, PM’ coïncidera avec cette droite. Le cas où le point P coincide avec I ou J fait loutefois exception; les points M et M'se correspondent alors el la normale coincide avec la tangente (voir Sections coniques, n° 382, note). Donc, si la courbe passe par l’un des points circulaires à Vinfini, la normale en ce point coincidera avec la tangente.
414. Nous allons maintenant déterminer la classe de la développée d’une courbe donnée, ou, en d'autres termes, le nombre de normales (tangentes à la développée} qu'on peut mener d'un point quelconque à cette courbe. D'après la loi de continuité, le nombre de normales sera le même quel que soit le point par lequel elles passent. Il suffit donc d'étudier le cas où le point est à l'infini. Mais le nombre de normales, distinetes de la droite de l'infini elle-même, qu'on peut mener parallèlement à une droite donnée, est égal au nombre des langentes qu'on peut mener parallèlement à la droite donnée, c’est-à-dire à la classe de la courbe. Et nous avons vu dans le numéro précédent que les m normales qui correspondent aux m points de la courbe situés à l'infini coincident avec la droite de l'infini et, par suite, passent aussi par le point en question. Donc le nombre de normales qu’on peut mener à la courbe par un point quelconque est égal à la somme de l’ordre et de la classe de la courbe, ou, ce qui est la même chose, à la somme des ordres de la courbe et de sa Si la droite à l'infini est une tangente à la courbe, le nombre des tangentes à distance finie qu'on peut mener par un point à l'infini est évidemment d'une unité moindre que dans le cas général, et par suite le nombre des normales est. aussi moindre d’une unité. Ainsi, on peut en général d'un point donné mener quatre normales à une Sms peut en mener que trois à une parabole.
De même, si la courbe passe pen dés pointy ON nous avons vu (n° 110) que la normale en ce point ne coincide pas avec la droite de l'infini; par conséquent, chaque fois que la courbe passe par un point circulaire, le nombre des normales est d’une unité moindre que dans le cas général. Par exemple, dans le cas du cercle qui passe par les deux points I, J, le nombre des normales menées par un diminué de deux, et il est effectivement de deux au d'être de quatre. De même, si m et n sont le degré et la
NN
DEVELOPPEES. 137 classe d’une courbe qui passe f fois par un point circulaire et est g fois tangente à la droite de l'infini, la classe de la développée sera
Nous aurions pu obtenir également ces résultats en remarquant que si, dans l'équation de la normale M(a— zx) = L(8—y), nous supposons «, 8 donnés et x, y variables, nous aurons l'équation d’une courbe du m'"° degré, dont l'intersection avec la courbe donnée détermine les points dont les normales passent par a, 8. Si la courbe n’a pas de points multiples, le nombre des intersections sera évidemment m? ou m<+ n, et il n'est pas difficile de montrer que, dans le cas général où il y a à points doubles et x points de rebroussement, l'ordre est m? = 20 — 3x, c'est-à-dire m + n.
112. Nous allons examiner quel sera le degré de la développée, et ici encore il suffira de chercher le nombre de points suivant lesquels la droite à l'infini coupe cette courbe. Si deux normales conséeutives de la courbe primitive sont paralléles, les tangentes correspondantes coïncideront ; donc les points à l'infini sur la développée proviendront en général des points d’inflexion de la courbe donnée. A ces points il faudra ajouter ceux qui proviennent de points à l'infini sur l courbe donnée, points qui (n° 411) donneront aussi naissance à des-points à l'infini sur la développée. Nous disons de plus que ces derniers seront des points de rebroussement de la développée et qu'ils auront pour tangente la droite à l'infini. Soient M un point quelconque de la droite IJ et M’ son conjugué harmonique; nous avons vu que la droite qui correspond à la normale en M est la droite IJ; mais si les points consécutifs de la courbe qui précédent et suivent M sont L et.N, leurs normales seront LM’, NM’. Donc M’ est un point par lequel passent trois tangentes consécutives de la
développée : c’est donc un point de rebroussement ayant IJ pour tangente. Mais, comme la tangente en un point de rebroussement rencontre la courbe en trois points consécutifs, les m points à l'infini de la courbe donnée font naître le même nombre de rebroussements sur la développée et donnent 3m intersections de cette courbe par la droite de l'infini. Si à ces derniers nous ajoutons ceux que nous avons déjà obtenus, nous trouverons que le degré de la développée est égal à i+ 3m, c’est-à-dire au nombre que nous avons appelé a (n° 83).
Si la courbe passe par l’un ou l’autre des points I, J, nous avons vu que ces derniers ne donnent pas de points à l'infini sur la développée, et par conséquent le degré se trouvera diminué de trois unités, Si la droite IJ est tangente à la courbe, les normales aux deux points consécutifs où elle rencontre la courbe coïncideront avec IJ ; nous aurons ainsi deux tangentes successives de l'enveloppe qui coincident, c’est-à-dire un point d'inflexion sur l'enveloppe et dont IJ est la tangente, Comme cette singularité remplace deux des rebroussements que nous obtenons quand IJ rencontre-la courbe suivant des points distincts les uns des autres, le degré de la développée diminue de trois unités, et si nous employons les lettres fet g en leur donnant le même sens que dans le dernier numéro, nous avons pour le degré de la développée
Les valeurs qu'on vient de donner montrent que le degré et la classe de la développée d’une courbe sont les mêmes que ceux de sa réciproque, comme le n° 409 pouvait nous le faire
prévoir.
(*) Quelques exemples particuliers montrent qu'on doit modifier ces formules quand I ou J est un point multiple où deux ou plusieurs tangentes coincident. Ainsi, si l'un d'eux est un rebroussement, la diminution du degré est 4 et non 6.
DEVELOPPRES. 139
113. Il n’y aura pas, en général, de points d’inflexion sur la
développée, car, s’il existait un point de ce genre, les deux tangentes consécutives à la développée (normales à la courbe) coincideraient; or il est évident, à l’inspection de la figure, que deux normales consécutives ne peuvent coincider que st les tangentes correspondantes coïncident avec leurs normales et coïncident entre elles; ceci ne pourrait arriver que dans le cas exceptionnel où la courbe primitive aurait une tangente d’inflexion passant par I ou J.
Si cependant la courbe est tangente à IJ, nous avons vu (n° 112) qu'il y a un point d’inflexion à l'infini et, si la courbe passe par I ou J (n° 108), que la développée a une tangente d'inflexion qui passe par le même point. Nous avons de cette manière un nombre suffisant de conditions pour déterminer toutes les caractéristiques de la développée, à savoir :
Nous en déduisons, par les formules de Plücker, x = 32—3(m+n)—S5(f+g), a=3a—8(f+Qg),
el nous pouvons de la même manière écrire le nombre des points doubles de la développée et de ses tangentes doubles ; ces tangentes doubles sont, cela est bien évident, des normales doubles de la courbe primitive.
Le genre (n° 44) de la développée est le même que celui de la courbe primitive, comme on peut le vérifier en se servant de l'expression de ce genre: 4{a — 2(m + n)]+ 1. (En général, le genre de deux courbes est le même si l’on fait dériver Pune de l’autre de telle manière qu’à un point de l’une d'elles corresponde un seul point sur l’autre.)
114. On peut aussi chercher directement combien la développée possède de points de rebroussement. Nous obtiendrons un point de rebroussement sur la développée, quand trois de
ses tangentes consécutives (c’est-à-dire, des normales à la courbe) se couperont en un même point; ou, en d’autres termes, quand quatre points consécutifs de la courbe primitive seront situés sur un même cercle. S'il en est ainsi, le rayon de courbure restera constant quand nous passerons au point infiniment voisin. Si donc nous différentions l'expression donnée (n° 102), nous aurons
LM eet dy)= 3H[(aL.-+AM)d +(hL + 6M) dy).
Éliminons dx et dy au moyen del'équation Ldx +Mdy—0, nous obtiendrons
(LE we) (Moe -1$) =3H[(a~ 5) LM + A (M — 14)}
H est de l’ordre 3(m— 2), L et M sont chacun de l'ordre m—1 et a, b, h de l'ordre m — 2; cette équation représente donc une courbe de l’ordre 6m — 10, dont les points d'intersection avec la courbe donnée sont les points où le cercle osculateur a avec cette courbe un contact du troisième ordre (!). ù
Si la courbe n'a pas de points multiples, ces m(6m —10) points, joints aux m points à l'infini, donnent naissance à (6m —9) points de rebroussement sur la développée; ce nombre est d’accord avec les formules précédentes.
Nous pourrions de la même manière rechercher les caractéristiques de la développée, en considérant cette courbe dans le sens plus général que l'on a indiqué dans le n° 109, et nous trouverions que les formules que nous avons déjà obtenues
(*) Dans la suite de cet Ouvrage, nous étudierons d'une manière plus complète la question des coniques qui ont avec la courbe un contact d'ordre supérieur au second, et nous donnerons une formule pour calculer l'aberration de courbure ou la quantité dont la courbe s'écarte de la forme cir culaire.
CAUSTIQUES. | 141 sont encore applicables ; f sera alors le nombre des contacts
de la courbe avec la conique fixe; il n’y aura pas de singularité correspondant à g.
