CAUSTIQUES

à AB est donc donné; par conséquent, le lieu de L est une ellipse, dont A et B sont les foyers, à laquelle LR est normale et dont, par suite, la caustique est la développée.

2° Trouver la caustique par réfraction d’un cercle.

Décrivons un cercle passant par A (/fg.26),lepointiumineux, par R, et le point d'incidence, et de manière qu'il soit tangent

Fig. 26.

aOR; le point B est alors donné puisque OA x OB = OR . Le rapportRA: RBest, parlestrianglessemblables, égal aurapport donné OA : OR. LerapportRA : RMestégal àsinRBA : sin RBM. Mais RBA est égal à PRA, l'angle que le rayon incident fait avec la normale à la courbe, et RBM est égal à PRM, l'angle que le rayon réfracté fait avec la même normale; donc le rapport RA : RM est aussi donné. Mais

AM x RB + MB x AR= RM x AB;

i nous représentons par » et o’ les distances de M à A et B, ces distances seront liées par la relation

RB RA

RM? + RM? = AB:

Or une cartésienne est définie comme le lieu d’un point dont

les distances à deux foyers donnés sont liées par la relation

ms + np! = c; et l’on démontre, exactement de la même ma- S. — Courbes planes. 10

COURBES PARALLELES ET PODAIRES NEGATIVES. 147

ceptionnels que nous allons faire connaître ici, le résultat peut se décomposer en facteurs; par exemple, la courbe paralléle à un cercle et à une distance k de ce cercle se compose d'un couple de cercles dont les rayons sont a + k. Mais ordinairement une décomposition de ce genre n’est pas possible, et les deux tangentes situées à la distance + Xk d’une tangente quelconque de la courbe donnée seront toujours tangentes à la même courbe parallèle. Par conséquent, le nombre de tangentes qu'on peut mener à cette dernière parallèlement à une direction donnée est double du nombre des tangentes qu’on peut mener de la même matière à la courbe donnée, en d'autres termes n’= 2n. De même, à chaque tangente inflexionnelle de la courbe donnée correspondent deux tangentes de même espèce sur la courbe parallèle, c’est-à-dire que v= at. Pour trouver l’ordre de la courbe parallèle, il suffit de faire A = o dans son équation, ce qui n’affectera pas les termes du degré le plus élevé dans l’équation; mais on a démontré pour les coniques (Sections coniques, n° 372, Ex.9), el ceci est vrai en général, que le résultat obtenu en faisant k= o dans l'équation de la courbe parallèle se compose de la courbe originale comptée deux fois et des deux systèmes de n tangentes menées à la courbe par les points I, J. L'ordre cherché est donc 2(m + n). H n’y aura aucune difficulté à trouver les modifications quesubissent ces nombres quand la courbe originale est tangente à la droite de l'infini ou passe par les points I, J. Nous arrivons de cette manière

aux formules de M. Cayley :

m=2(m+n)—2(f+g), n'—=2n, —2t— — 6m +22, x—22—6(f+8), f—2(ra—g), g'=28g.

La courbe parallèle et la courbe originale ont les mêmes normales et la même développée; mais toute normale à la courbe parallèle est généralement normale en même temps en deux endroits qui correspondent aux valeurs + &.