CE

COURBES PARALLELES ET PODAIRES NEGATIVES. 149

naires), il est évident que ax + By + y+ kya? + 82 est une tangente à la courbe parallèle ; il résulte immédiatement de là que, si nous avons l’équation tangentielle d’une courbe donnée, nous obtiendrons celle de la courbe parallèle en y remplacant y par y + kp, où p = ÿx?+ B?. L’équation tangentielle de la courbe parallèle à une courbe dont l'équation tangentielle est V = o sera donc

(dv av V+ ke a+ he dpt

Nous débarrasserons l'équation des radicaux en faisant passer dans un même membre toutes les puissances impaires de p et élevant au carré. Nous obtiendrons ainsi une équation dont l'ordre sera double de celui de l'équation tangentielle primitive : ce résultat s'accorde avec ce qu’on a démontré dans le numéro précédent.

Exempie 1. — Trouver l'équation tangentielle dla courbe paral-

L'équation tangentielle de l'ellipse est (Sections coniques, n° 169, Er. 1), a?1? + 52 32 — 173

par suite, celle de la courbe parallèle sera

azn? + 52 32 = (+ + ko)?

ou bien |

[Cat At) at + (bY — kt) BY — ya] = 4 At (at + BE) YP,

Exempre 2.— Former l’équation tangentielle de la courbe parallèle à la parabole y* = pr.

L'équation tangentielle correspondante est Ppt = 427.

Colle de la courbe parallèle sera donc

(p 3% — 42y)' = 4 kta? (at+ Bt).

COURBES PARALLELES ET PODAIRES NÉGATIVES. Hy

Ainsi l'équation donnée pour la courbe parallèle à une conique présente la forme considérée dans ce numéro, et il est facile de vérifier que la courbe parallèle à cette parallèle menée à la distance #’ se compose des deux parallèles à la conique aux distances # + k’, comme cela doit évidemment

être. Reprenons la courbe déjà considérée, a+ y = a’, dont l'équation tangentielle est (x? + 8?)y? = a?a?B?; cette dernière ayant justement la forme que nous considérons, nous trouvons que la courbe parallèle se décompose en fac-

teurs. L’équation tangentielle de cette courbe parallèle est en effet (a? +- fr) =las LAC + 8?)]*.

Si nous prenons pour u et v respectivement les fonctions les plus générales du premier et du second degré en «, 8, y, u?5? — 3 représentera une courbe de la quatrième classe qui a deux tangentes doubles, et qui par suite est du huitième ordre. Mais nous pouvons choisir ces fonctions de telle sorte que les tangentes doubles deviennent des tangentes stationnaires, et que la courbe puisse avoir une autre tangente double ou stationnaire; nous pouvons de cette manière former l'équation d’une courbe du troisième ou du quatrième ordre dont les parallèles se résolvent en facteurs. C’est à ce genre qu'appartient la réciproque d’une cartésienne, comme on le montrera plus tard.

120. Si nous avions employé des équations en coordonnées tilinéaires au lieu de nous servir de coordonnées rectangukires, nous aurions trouvé (Sections coniques, n° 61) que l'équation d'une parallèle à «x + By + yz, et à distance Constante de cette droite, est de la forme

az+8y+ys+m(xsinA + ysinB + ssinC)/S =o, S étant la quantité

a* 4. B* +- y?7— 28y cosA — ayacosB — 228 cosC,

COURBES PARALLELES ET PODAIRES NEGATIVES, 153

fondant sur cette analogie que M. Roberts a fait remarquer que les deux problémes géométriques conduisent tous deux au même problème d’Analyse, celui où 11 s’agit de trouver une enveloppe de la forme

Az+B8+C— 2? + 33,

el que, si nous avions l'équation de la courbe parallèle, nous en déduirions celle de la podaire négative, en y posant = r? + y? et en remplaçant x et y par 5 x et À y. Généralement, il faut le dire, la recherche de la courbe parallèle est la plus difficile des deux; mais cette méthode donne immédiatement la podaire négative de la ligne droite ou du cercle. En effet, la courbe parallèle à une droite est le couple de deux droites paralléles équidistantes, et la paralléle au cercle de rayon a se compose de deux cercles concentriques de rayons a + k. Ainsi, dans l’un et l’autre de ces cas, l'équation de la courbe parallèle peut s’écrire sans calcul, et la podaire négative s'en déduit en suivant la marche qu’on vient d'indiquer.

122. Étant donnée une courbe quelconque, si l’on prend sur chaque rayon vecteur OP, et à partir d'une origine arbitaire ou centre d’inversion O, une longueur OP’ égale à l'inverse de OP, le lieu du point P’ est dit la courbe inverse de la courbe donnée. De cette définition on conclut aisément que la podaire d’une courbe est l'inverse de sa polaire réciproque, et que la première podaire négative est la polaire réciproque de son inverse, la construction des courbes réciproques s’effectuant par rapport à un cercle décrit autour de l'origine ou centre d’inversion pris comme centre.

On peut sans difficulté, au moyen de raisonnements analogues à ceux qu’on a employés dans d’autres cas similaires, déduire les caractéristiques de la courbe inverse d'une courbe donnée, puis celles de la podaire négative: il nous suffira de

PROPRIETES METRIQUES DES COURBES.

123. Dans ce Chapitre, nous allons faire connaitre quelques-unes des propriétés métriques les plus importantes des courbes. Pour étudier ces propriétés, les coordonnées dont l'emploi présente le plus d'avantages sont les coordonnées cartésiennes rectangulaires. Par exemple, nous avons déjà vu, dans le n° 35, qu’en remplaçant x et y par o cosf el ssin4 nous obtiendrons les longueurs des segments interceptés par la courbe sur une droite quelconque issue de l'origine; il en est de même pour une droite généralement quelconque, puisque, par une transformation de coordonnées, nous pouvons amener un point quelconque à devenir l'origine. |

Le théorème énoncé (Sections coniques, n° 148) peut se généraliser comme il suit: Sz, par un point O, on mène deux cordes qui rencontrent respectivement une courbe du nième degré, aux points Ry, Ra, ... Ray Si, Sa, + Sn le rapport des produits UR OS US seraconstant, quelle que soit la position du point O, pourvu que les directions des droites OR, OS soient constantes (').

La démonstration est la même que celle qu’on a déjà donnée dans le cas des coniques. L’¢quation en coordonnées polaires (n° 26) nous montre que le produit de tous les seg-

(‘) Ce théorème a été énoncé pour la première fois par Newton dans son Enumeratio linearum tertii ordinis.

PROPRIRTES METRIQUES DES COURBES. 16:

dont la seule racine réelle est

Ac.Ba.Cb=—Ab.Bc.Ca.

Donc, st une courbe du troisième degré a trois points d’inflexion réels, ils doivent être situés sur une même droite. I] en résulte aussi qu’une courbe du troisième degré ne peut avoir que trois points d'inflexion réels; car le même raisonnement montrerait que tous les points d'inflexion réels doivent se trouver sur une même droite et une droite ne peut rencontrer la courbe qu’en trois points.

Le même raisonnement prouve que, si une courbe de degré impair na trois points réels, et que siles tangentes en ces points rencon-

trent la courbe en n points, ces trois points sont situés su: une même ligne droite.

Eremple 4. — Prenons une courbe du quatrième degré ayant trois tangentes doubles, nous avons

Ac. Ac. Ba. Ba,.Cé. Cb, = Ab. Ab,;. Bc. Ba. Ca. Ca, ’

hous en déduisons Ac.Ac:.Ba.Ba;.Cb.Cb, = +A6b.Ab,.Bc.Bc:.Ca.Cai.

Ici, à cause du double signe, nous pouvons seulement conclure de telle relation que, st une courbe du quatrième degré a trois langentes doubles, la conique menée par cinq des points de conlact passera bien par le sixième point, ou bien par le point qui forme avec le sixiéme une division harmonique sur le côté où se trouve ce dernier point. Il existe d’après cela deux genres distincts de groupes de trois tangentes doubles, suivant que l’une ou l'autre de ces relations géométriques se trouve vérifiée.

126. Il existe quelques cas particuliers pour lesquels le théorème de Carnot demande à être modifié. Supposons, en premier lieu, que l’un des angles (A) du polygone soit à l'infini, c'est-à-dire que deux côtés adjacents soient parallèles : nous aurons finalement (A) ='(A) et l'équation

subsistera toujours.

S. — Courbes planes. vi

Admettons, en second lieu, que l’un des angles (A) soit situé sur la courbe; l’un des à termes de chacun des produits (A) et (A) s’annule alors; mais, comme le rapport des deux seg- AR sinRR'A

ments 7A est égal aT RRA’ 2OUS pouvons remplacer le rapport des côtés qui deviennent nuls par le rapport des sinus des angles que les côtés du polygone qui aboutissent en A font avec la tangente en A, et le théorème devient ainsi (A)'(B)(G)... (A) (BY(C)

sina sin #

(AY et (A) ne contiennent plus chacun que (n — 1) facteurs, el a et 2’ sont les angles que font avec la‘tangente en A les côtés sur lesquels sont mesurés les segments qui constituent les produits (A) et (A). Nous pouvons ainsi déduire de ce qui précède que, si un polygone quelconque est inscrit dans une conique, le produit continu des sinus des angles que chaque côté forme avec la tangente à son extrémité droite est égal au produit semblable des sinus des angles que chaque côté fait avec la tangente à son autre extrémité.