DIAMÈTRES

497. Étant donnés n points sur une droite, un point de cette droite, tel que la somme algébrique de ses distances & ces points soit nulle, s'appelle le centre des moyennes dis— tances des points donnés. Soit y la distance du centre 4 ex point quelconque pris sur la droite; soient y,, y3, Ys ++ = celles"des autres points au point arbitraire, les distances mi centre aux points donnés seront y —yi, y—ya, +. et Ma condition qui résulte de la définition est

E(y—7)=0 oubien ny—2{(y;)=0.

Nous voyons ainsi que la distance d'un point queleoneg ue

DIAMETRES. 163 au centre est égale à la somme des distances du même point aux points donnés, divisée par le nombre de ces points; ou, en d’autres termes, qu'elle est égale à la moyenne distance du point choisi arbitrairement aux points donnés. Par exemple, s’il n’y a que deux points donnés, le centre des moyennes distances est le point milieu de la droite qui les

joint, et la distance d’un point quelconque de la droite à ce point est la demi-somme de ses distances aux deux points donnés. |

Les propriétés bien connues des diamètres des coniques ont été généralisées par Newton; il a énoncé cette généralisation sous la forme du théorème suivant, qui est vrai pour toutes les courbes algébriques : É‘tant donné un système de cordes parallèles d’une courbe du nîème degré, si l’on prend le centre des moyennes distances des n points où chacune des cordes rencontre la courbe, le lieu de ce centreest une ligne droite qui peut étre appelée le diamètre correspondant au système donné de cordes parallèles.

Pour démontrer ce théorème, nous procéderons de la même manière que dans le cas des sections coniques (Sections coniques, n° 141).

Supposons que nous ayons rapporté l'équation de la courbe aun système de coordonnées polaires en remplaçant x et y par ocos§ et psinQ(ou par mpet no, si les coordonnées sont obliques). L'origine sera le centre des moyennes dislances relatif à une corde faisant l’angle 8 avec l’axe des x, st cet angle est tel qu’il rende le coefficient de p#-1 égal à ro. Cherchons maintenant la condition pour qu’un autre point quelconque (z’, y’) soit le centre des moyennes dislances sur une corde parallèle à la précédente; nous aurons à examiner quelles relations il doit exister entre z’ et y’ pour que, en rapportant l'équation à de nouveaux axes ayant ce point pour origine, le nouveau coefficient de p#—1 soit nul pour la même valeur de 6. Or, si nous rapportons Péquation

164 CHAPITRE IV. E donnée U=o à des axes parallèles en remplaçant 2 et y par ++ 2’ et y+’, elle devient

u+a My a

+(e tar ere +...=0.

Les trois premiers termes seuls peuvent renfermer les variables à un degré aussi élevé que le ( n — 1)*"*; comme ils ne contiennent z', y’ qu’au premier degré, le lieu cherché doit être une droite.

Son équation est effectivement

eu durs Dr tet

Il est bien entendu que x et y ont été remplacés dans up et Un x par cosû et sin (ou par m et n, si les axes sont obliques).

128. Newton a remarqué aussi que, si une corde quelconque coupe la courbe et ses asymptotes, le même point sera le centre des moyennes distances pour les deux systèmes de points, et que par conséquent la somme algébrique des segments interceptés entre la courbe et ses asymptotes est égale à zéro. C’est une généralisation du théorème bien connu (Sections coniques, n° 107). L'exactitude de cette tion résulte de l'équation d’un diamètre formée dans le numéro précédent, et de la démonstration donnée antérieurement (n° 32) que les termes up, #,, sont les mêmes dans l'équa— tion de la courbe et dans celle de ses n asymptotes.

129. Nous pouvons de même chercher le lieu d'un pointæ tel que la somme des produits deux à deux des segment== mesurés suivant une direction donnée entre ce point et L=s courbe soit nulle. L'origine serait un de ces points si le coÆ—

DIAMÈTRES. 165 ficient de p"~? s’annulait pour la valeur donnée de 9; le lieu s’obtiendra comme dans le n° 127, en cherchant la relation qui doit exister entre x’ et y pour que le coefficient de p”~? | soit nul dans l'équation transformée. Mais, comme les termes du degré (rn — 2) en x et y ne renferment pas de puissance supérieure à la seconde en x’ et y’, le lieu sera une section conique, que nous appellerons la conique diamétrale.

On voit facilement que son équation est

dun, dun,

late oe TY dy 1 (3, du d? Aux lu, + 2 FY 0 dz + yx dy" = O,

où l'on a remplacé x et y par cos et sin dans wy 2,.... La distance d’un point quelconque à l’un des deux points de la conique étant y, et à la courbe y,, y2,..., nous avons par définition

=(y — NY — 2) = 0.

Le nombre des termes dans cette somme est égal au nombre des combinaisons de n objets deux à deux, et par suite à jn(n —1). Ce sera donc le coefficient de y?, quand nous efectuerons chacun de ces produits et quand nous ajouterons les résultats. Dans le même cas, le coefficient de y se composera de 5n(7 — 1) termes qui seront chacun de la forme — (y, + 2); et, comme il doit renfermer les n quanlités y,, Y:,-.. d'une manière symétrique, il doit être égal à—(n—1 Ep). Donc

10) —-pi)=in(r—1)—(n—1)yE(Ji)+E(i172)=0.

Cette équation du second degré détermine les distances d'un point quelconque à la conique diamétrale quand on connait ses distances à la courbe ; n(n — 1) fois le produit de ces deux distances est égal à Z(},}2), ou, en d’autres termes, leproduit des distances d’un point quelconque à la conique

166 CHAPITRE IY.

diamétrale est égal à la moyenne des produits deur à deux des distances de ce point à la courbe, puisqu'ilyan(n —1) produits de ce genre. La somme des distances du point à la conique diamétrale est égale à =3()’). La moyenne distance est donc la même pour les deux courbes, puisqu'il y a deux distances dans un cas et n dans l’autre; et les deux courbes ontle même diamètre.

130. On voit sans difficulté qu'une courbe du n° degré peut avoir d'autres diamètres curvilignes dont les degrés peuvent s'élever jusqu'au (7 — 1)". Ainsi le lieu d’un point tel que les produits trois à trois de ses distances à la courbe soit nul s’obtiendra en égalant à zéro le coefficient de pr71 dans l'équation transformée; et comme ce coefficient ne conlient pas de puissances des variables plus élevées que la troisième, le lieu sera du troisième degré. Nous verrions de la même manière que

202) — Yay 73) =in(n—1)(n—a)yr—}(n—1)(n—a) VP E(y) +(r—2)yE ns) DN as), et nous en concluons facilement que la courbe et sa cubique diamétrale auront la même moyenne distance, le même moyen produit des distances deux à deux et trois à trois. Il en sera de même pour les diamètres d'ordre plus élevé. Les considérations que nous allons développer mettront mieux en lumière les questions qui se rattachent à ces diamètres curvilignes.

131. Après les notions que nous venons de donner sur les diamètres, nous devons dire quelques mots des centres. Si tous les termes de degré n —1 manquaient dans ’équationm d'une courbe, la somme algébrique de tous les rayons vecteur issus de l'origine serait nulle, et l’on pourrait, dans un cer — tain sens, dire que l’origine est un centre.

Cependant le nom de centre ne s’applique ordinairement que dans le cas où chaque valeur du rayon vecteur est accompagnée d’une valeur égale et de signe contraire. Si, dans ce cas, l'équation est rapportée à des coordonnées polaires, elle devra être une fonction de p? seulement. Si donc la courbe est de degré pair, son équation en z et y, rapportée au centre,

ne pourra contenir aucune impuissance impaire des variables, et devra être de la forme

Ug + Ug ++... O0,

sila courbe est de degré impair, son équation polaire divisée par p devra être réductible à une fonction de p?; l'équation

en x, y ne pourra contenir aucune des puissances paires des variables et devra être de la forme

U + Us + Ut... = oO.

Cette forme nous montre que, si une courbe de degré impair a un centre, ce point doit être un point d’inflexion. Il est bien évident aussi que c’est seulement dans des cas exceplonnels qu’une courbe de degré supérieur au second aura un centre, puisqu'il n’est généralement pas possible, par une transformation de coordonnées, de faire disparaître de l’équation assez de termes pour la ramener à l’une ou l’autre des formes que nous venons de donner ci-dessus.

132. Nous passons maintenant à un théorème important, énoncé pour la première fois par Cotes dans son Harmonia mensurarum : St, sur chaque rayon vecteur issu dun Point fixe O, on prend un point R tel que

ñn I I I

le lieu du point R sera une ligne droite.

POLES ET POLAIRES. 169 Mais si nous remplagons RR, par OR, — OR,... nous voyons que cette équation revient a

n OR OR, OR,

134. On peut reconnaître de la même manière que la conique polaire A U! = 0 est le lieu d’un point tel que

RR, RR, RR) — 0 D (ono:

CI I I I )=o > (oa - om) (on — on;

el ainsi de suite pour les courbes polaires d’ordre supérieur. Supposons que OR représente un rayon vecteur de la courbe et Or un rayon de la courbe polaire. La courbe polaire du k®™* ordre jouit des propriétés exprimées par les équations sui-

vantes : | I I __ I tT ad GR =. 57 1.2 I CD 2 CO n(n—1) MOR,.OR, A(K—1) 4g Or,.07?’ 1.2.3 I n(n —1)(n — 2) ZyOR,.OR,.OR, __ 1.2.3 : I 7 AE =) — 2) D Or .0rs. Or:

ou bien

133. Si le point O est à l'infini, les rapports des dislances OR,, OR:, ... peuvent être regardés comme égaux entre eux, et les dénominateurs de toutes les fractions

RR, RR, OR,’ OR,’ peuvent étre considérés comme égaux. La propriété de la

droite polaire Ÿ Sn =o se réduit, quand O est à l'infini,

à S(RR')— 0; autrement dit, la somme de tous les segments compris entre la polaire et la courbe sur les cordes parallèles qui se rencontrent en O est nulle. Nous voyons ainsi que la droite polaire d’un point à Vinfint est le diamètre du système de cordes parallèles dirigées vers ce point infiniment éloigné.

Il en est de même pour la conique polaire. Quand O estirfiniment éloigné, l'équation SR on) =o se réduit à 3(RR,.RR,)= 0 ou bien à S(OR — OR, (OR — OR;)=0; c'est l'équation (n° 129) qui détermine la conique diamétrale. Et de même, en général, le diamètre curviligne d'un ordre quelconque est identique avec la courbe polaire du même ordre d'un point situé à distance infinie sur le systèmede cordes parallèles auxquelles correspond la courbe diamétrale donnée.

136. Mac Laurin a fait connaître un théorème qui est la généralisation de celui de Newton (n° 128). Supposons que par un point O on mène une droite rencontrant la courbe enn pointsetque l'on construise les tangentes en ces points; si une autre droiteissuede O coupe la courbeenRy, Ry,..+ et le système des n tangentes en ri, la,.+:, ON aura

t 1 Yon = Yar

Tlest évident que deux points déterminent la droite polaire x par conséquent, si deux droites menées par O rencontrent deux courbes aux mêmes pointsR,,R3,...,S1, S2,.…la polaire deO, parrapport aux deux courbes, devra être la même droites puisque deux de ses points RetS sont les mêmes pour toutes les deux. Ceci sera également vrai si les deux droites OR, os se confondent, c’est-i-diré que, si deux courbes de degré # sont tangentes en n points situés sur une droite, la polaire

POLES ET POLAIRES. . 171 d’un point quelconque de cette droite sera la même pour les deux courbes, el par conséquent, si un rayon vecteur mené par ce point rencontre les deux courbes, nous

devrons avoir 1 1 D OR — D Or

137. Nous savons que le centre d’une conique peut être considéré comme le pôle par rapport à la courbe de la droite de l'infini. Pour les courbes d’ordre supérieur, toute ligne droite a (7 — 1)? pôles (n° 61), et par conséquent il n’existe pas, pour une courbe d'ordre supérieur au second, de point unique qui corresponde au centre d’une conique. La chose est toute différente si nous considérons des courbes de classe supérieure. Les recherches précédentes sont évidemment applicables aussi aux courbes exprimées à l’aide de coordonnées tangentielles ; et de cette manière, toute droite a un pôle, une courbe polaire de seconde, troisième ..., classe el finalement une courbe polaire de la (n — 1)*™° classe, bouchée par les n tangentes aux points où la ligne droite rencontre la courbe. Si donc l'équation d'une courbe est exprimée en coordonnées tangentielles, et si nous cherchons le pôle de la droite de l'infini, nous trouverons un point unique. |

Examinons quelles sont les propriétés métriques du pôle d'une droite exprimée en coordonnées tangentielles, et, en particulier, du pôle de la droite de l'infini. Nous prenons le ÿstème du n° 19 où les coordonnées d’une droite sont pro- Portionnelles aux perpendiculaires abaissées sur cette ligne de trois points fixes; on voit alors sans difficulté que J: m représente le rapport des sinus des angles suivant lesquels l'angle compris entre les deux droites (2, 8, 7), (a', B’, 7) est divisé par la droite la + ma, 18 + mB’, lY+ my. L’équalion qui correspond à A =o détermine le rapport des sinus

points I,J; admettonsque IJ compte g fois parmi les tangentes menées de I ou J à la courbe. Les tangentes I se composeront alors de la droite I comptée g foiset de n—g autres tangentes; il ensera de même pour les tangentesJ. Les seuls foyers qui ne soient pas à l'infini seront évidemment les intersections des (n—g) tangentes I avec les (n — g) tangentes J; il existe | (n—g)? foyers à distance finie, dont n — g seulement sont réels, comme plus haut. Le nombre total des n? foyers se | compose de ces (n—g)?* foyers, du point I qui compte g (n—g) fois [il est en effet l'intersection de chacune des (n — g) tangentes I avec chacune des tangentes J qui coincident avec IJ], du point J compté g (n— g) fais, et enfin des g? intersections des tangentes I, confondues avec | IJ, avec les g tangentes J qui coincident avec cette même droite. Dans ce dernier cas, nous devons considérer toule tangente I, telle que IA, comme rencontrant la 1angentel correspondante JA au point de contact A; mais son point d’intersection avec une autre tangente J, telle que JB, sen indéterminé. Par exemple, si la droite de l'infini est tangenle à la courbe en g points réels, il y aura encore 7 foyers réels, à savoir n — g foyers à distance finie et les g points de contact de IJ avec la courbe (‘). En particulier, la parahole (n= 2, g= 1) a un seul foyer à distance finie; l’autre foyer réel est situé à distance infinie sur la direction de I’ Supposons que le point I soit sur la courbe; si nous sup posons la courbe réelle, le point J est aussi sur la courbe, eh si I est un point singulier, J présentera le même genre de singularité. Bornons pour le moment notre examen au casoi ces points sont tous deux des points ordinaires; les n— # tangentes I se composent de la tangente en I comptée deux — foiset des n — g — 2 autres tangentes ; il en est de même pout

(1) M. Cayley pense qu'il vaut mieux considérer qu'il n’y a que (n—# foyers, et conséquemment que les seuls foyers réels sont les (n — g) foyer *

es tangentes J. Les (n — g)? foyers se trouvent alors contitués comme il suit : l’intersection réelle des tangentes en I tJ, qui compte pour quatre points; les (nr — g — 2) intersections imaginaires de la tangente en I avec les (n —g —2) tangentes J, qui chacune comptent pour deux; les (n— g—2) intersections imaginaires de la tangente en J avec les (n— g — 2)tangentes I, chacune comptant aussi pourdeux; et enfin les (n — g — 2)? intersections des deux systèmes de (n—g—2)tangentes. Parmices derniers points, on voit, comme plus haut, que nr — g — 2 et seulement (rn — g — 2) sont réels et l'intersection des tangentes en I et en J prend la place de deux des n — g foyers réels. Si donc nous n'avons égard qu'aux foyers réels, nous dirons que ce point est un foyer double; nous employons cette locution parce qu’elle est commode; nous venons néanmoins de voir que ce point aurait di être appelé foyer quadruple, si nous avions tenu compte des foyers imaginaires aussi bien que des foyers réels. Ainsi, dans le cas du cercle, le seul foyer est le centre; nous devrons le regarder comme un foyer quadruple, si nous considérons qu'il tient la place des quatre foyers qu’une conique possède en général; nous pourrons cependant le traiter comme un foyer double, si nous avons seulement égard aux deux foyers réels.

D'ane manière analogue, si chacun des points J, J est un point multiple d'ordre f sur la courbe, on voit, en suivant ia même marche, qu'il y a f? foyers qui comptent chacun pour quatre et dont f sont réels; 2f (n — g — 2f) foyers imaginares qui comptent chacun pour deux, et (n—g—2f}? loyers simples, parmi lesquels n — g — 2f sont réels. En considérant à la fois les foyers réels et‘imaginaires, nous dinons qu'il y a f? foyers quadruples, 2f(Rr—g—2/f) doubles, et (7 — g — 2f)? simples; mais, en n’ayant égard qu'aux foyers réels, nous pouvons dire qu’il y a f foyers doubles, (7 — g— 2) foyers simples et g foyers à l'infini.

Si chicun des points I et J est un point d'inflexion ou de rebroussement, la tangente en I ou J figure trois fois parmi les tangentes I ou J, et l'on peut mener de chacun de ces points n — g —3 autres tangentes. Les (n — g)* foyers se composent, comme on l'a vu plus haut, d'un foyer comptant pour neuf, de (n—g —3) + (n— g—3) autres foyers qui comptent chacun pour trois et de (n — g — 3)? foyers simples. Parmi ces derniers, n — g — 3 sont réels, et le seul autre foyer réel est le point d’intersection des tangentes en | et J, qu’on appelle généralement un foyer triple parce qu'il compte pour trois dans le nombre des foyers rééls; on devrait néanmoins le regarder comme un foyer d'un ordre de multiplicité égal à neuf, si l'on tenait compte de tous les foyers tant réels qu'imaginaires. I] n'y a aucune difficulté à étendre la théorie aux cas où I et J sont des points multiples d'ordre supérieur, dans lesquels plusieurs tangentes coincident, ou bien encore quand ils se trouvent en des points où la tangente présente avec la courbe un contact d’ordre supérieur au second; ou bien enfin quand ces points sont des points ordinaires ou singuliers ayant IJ pour tangente com-

mune.

139. Étant donnés deux foyers réels A, A’ d’une courbt, les droites AI, AJ; A'T, A’J se rencontrent en deux poinls imaginaires B, B' qui sont aussi des foyers de la courbe; etla relation qui existe entre ces deux couples de points consiste en ce que les droites AA’, BB se partagent mutuellement en deux parties égales et sont perpendiculaires l’une à l'autre en un point O tel que OA (= OA!) est égal 4¢OB (= ¢OB'), points A, A’ et B, B’ ont été nommés anti-points. tion se rencontre fréquemment-en Géométrie plane : conique a deux couples de foyers qui sont anti-points des autres ; tout cercle mené par A, A! coupe e un cercle quelconque qui passe par B, B'. Nous devons

FOYERS. ° In7 jue, si nous connaissons les x foyers réels, nous pourrons ormer avec eux £n(r — 1) couples de droites; chacun de ces couples de droites donnera naissance à un couple d’antipoints, et nous obtiendrons ainsi les n? — n foyers restants.

140. On détermine les coordonnées desfoyers d’une courbe en formant l’équation des tangentes que l’on peut mener à la courbe par le point I. Cette équation sera de la forme P+ iQ=o0, l'équation correspondante pour J sera P—i Q=o, et les intersections des deux systèmes de tangentes seront données par les équations P = 0, Q = o. Sinous représentons par U,, U, les dérivées premières de U par rapport à x et)’, parU,,, Us, Uae les dérivées secondes, ..., l’équation du sysème des tangentes qui passent par(1, 7, 0) s’obtient (n° 78) en formant le discriminant de

VU + A7—1(U, + EU, ) + 4)7-7(U,, + 2t¢U,,.—U,,)+ oe. —O.

Si, par exemple, la courbe est une conique, le discriminant en question est

[U? — U2 — aU (U,, — Ux) ] + 27 U,U,— 20, ],

ell'on trouvera les foyers en égalant séparément à zéro les parties réelles et imaginaires. En combinant ces deux équations, nous formerons les équations des deux droites (les ates) sur lesquelles sont situés les foyers:

U,,( U3 — U?) — (U:: — U,,)U, Ur = 0.

Les mêmes équations déterminent les foyers d’une cubique qui passe par les points I, J; d’une courbe du quatrième degré qui a ces deux points pour points doubles ...; car on voit facilement que, dans l’un quelconque de ces cas, tous les lermes, autres que ceux qu’on vient d’écrire ci-dessus, disparaissent de l'équation dont il faut former le discriminant.

S. — Courbes planes. 12

la droite fixe pour axe des x, on voit facilement que l’équation de cette courbe est

(a—c+e—...)tangd—b—d+f—....

Quelle que soit la droite fixe ou l'angle, le lieu passera par les foyers de la courbe. Ce résultat peut sembler paradoxal, puisqu'il en résulte que la somme des angles compris entre une droite quelconque et les tangentes issues d'un foyer peut être rendue égale à une quantité donnée quelconque. La raison en est que les tangentes de deux de ces angles sont égales à + i, que la tangente de leur différence

. ro) .

se présente sous la forme 5” et qu’elle peut être une quantité

quelconque. En effet, si tango — 1,0 peut être regardé comme un angle infini, puisqu'il jouit de la propriété que sino = cos — oo et tang(y + «)= tangg; et la différence de deux infinis est indéterminée.

Nous avons vu (n° 110) qu’une tangente menée par un des points I, J coincide avec la normale; il s'ensuit que tout loyer d’une courbe est aussi un foyer de sa développée et de sa développante.

142. Si l’on exprime l'équation de la courbe au moyen des coordonnées tangentielles (n°19, et Sections coniques, n° 403) dans lesquelles les variables sont les perpendiculaires abaisstes de trois points fixes sur une droite quelconque, on peut déduire de cette équalion une importante propriété des perpendiculaires abaissées des foyers sur une tangente quelconque. Soient x, 6, y, 9, ... les n foyers el soient w, w’ les points I, J; puisque les droites aw, aw’, ... doivent être des langentes à la courbe, l'équation tangentielle doit être de la lorme ayo... = wwe, où ¢ est une fonction du n — aim ordre par rapport aux coordonnées de droite. Pour les courbes de la seconde classe, cette équation conduit immédiatement

FOYERS. 181 d'terminé par la tang2nte variable sur une droite menée par D parallèlement à AB.

Pour les courbes de la quatrième classe, l'équation est 299 = k?9, > étant la section conique qui est tangente, comme le montre l'équation, aux huit tangentes focales qui ne passent pas par I, J. Mais siles foyers de cette conique sont e, &, l'équation peut être écrite sous la forme a3yô— k?et + (1: l'interprétation géométrique en est évidente. Cette équation comprend aussi la forme af}ô = /' ou = w?w'?, qui représente une courbe sur laquelle les foyers a, 8, y, 6 sont des foyers doubles; la forme «8 = w?w’?, où I, J sont des points d’inflexion, etc. On voit ainsi, d’une manière générale, que l’équation tangentielle d'une courbe de la n'"° classe fournit une relation du premier degré qui lie le produit des n perpendiculaires focales, des n — 2 autres perpendiculaires, desr — 4 autres perpendiculaires, etc. , et ainsi de suite jusqu'à

ce que nous arrivions 4 une perpendiculaire unique ou a un terme constant.

143. Les relations qui existent entre les perpendiculaires abaissées des foyers sur la tangente peuvent conduire à d’autres relations où figurent les angles compris entre les rayons focaux et la tangente. En effet, si AP est la perpendiculaire « abaissée Sur la tangente en un point quelconque R de la courbe, et si d> est l’angle compris entre deux tangentes consécutives, nousavons da — RP do. De la mème manière, dB —RP'do,.... Si donc nous différentions l'équation qui lie les perpendiculaires, nous pourrons remplacer chaque dz par le segment Correspondant RP déterminé sur la tangente par le pied de la Perpendiculaire focale et le point de contact. Ainsi, de l’équaion aÿv — k?d nous déduisons

Rd dy Bao, RP, RP! RP" RP" rg Ty Te Or CO AP BP CP Dr

nons la discussion plus approfondie de ce sujet jusqu’à ce que nous en soyons arrivés 4 nous occuper plus spécialement des courbes dont nous venons de parler.

Une relation qui lie entre elles les distances focales nous permet d’établir une autre relation entre les angles que les rayons focaux font avec la tangente. En effet, nous pouvons démontrer, comme dans le n° 95, que chaque distance focale 3 donne une expression telle que de = cos4ds, où 4 est l'angle compris entre le rayon focal et la tangente. Ainsi de la relaion p + mp — d nous déduisons cos0 + mcosQ’=o0,....

De la valeur donnée pour da, ... dans le numéro précédent, nous pouvons conclure R da = p dp, ..., où R est le rayon de courbure. Ainsi, par exemple, si nous savons que la + mB-+-... est une quantité constante, nous pouvons en conclure que lp? + mp'?,... est aussi constant.

145. Représentons par N le nombre de conditions (n° 27) nécessaires pour déterminer une courbe du n'*™° ordre; si nous savons que la courbe est circulaire, c’est-à-dire qu’elle passe par les points I, J, et si on nous donne N — 3 autres points de cette courbe, le lieu du foyer double (ou l’intersection des tangentes en I, J) est un cercle. En effet, par N points on ne peut faire passer qu’une seule courbe du n* ordre; si donc, en plus des conditions ci-dessus, on nous donne un point consécutif à I, c’est-à-dire si l’on nous donne FI (la tangente en I), la courbe sera complètement déterminée, et par conséquent FJ, la tangente en J, sera aussi déterminée. Le point F est donc l'intersection des rayons Correspondants de deux faisceaux homographiques (Sections Coniques, n° 331), c'est-à-dire de deux faisceaux tels qu’à une droite de l’un il correspond une droite de l’autre et une seule, Le lieu de F est donc une conique qui passe par les Sommets I, J des faisceaux; par conséquent c’est un cercle. La conique se décompose en la droite IJ et en une autre droite,

or v - € ten EES ore OTHE ~~"

FOYERS. 185 bole qui est tangente aux quatre autres, le foyer de la parabole étant le foyer du système. Nous avons ainsi le théorème de Miquel (Sections coniques, n° 268) : les fovers des'cinq paraboles qui touchent quatre quelconques de cinq droites données sont situés sur un même cercle (!).

ee eee eee

(") Cette démonstration du théorème de Miquel est due à M. Clifford. Pour les déductions tirées du même principe, voir le Messenger of Mathe matics, tome V, p. 137.

188 CHAPITRE Ve

l'une ni sur l'autre des droites A, B qui rencontrent déjà

chacune la cubique en trois points, il devra être situé sur C. Puisque la cubique donnée passe par les intersections des

cubiques ABC = 0, DEF = 0, son nes ee —

écrite sous la forme DEF — # ABC —0. -

440: Suppodons quo lex droites A,B lee en aden coneluons alors, comme cas particulier du théorème précé: dent, que si ane ligne droite A =— o coupella EE points a, a’, a’, pra -pemubenten sccm

l'équation de la courbe peut s'écrire DEF — kA?C = Le point e, où la tangente en un point q 1 contre la courbe, s'appelle le tangentiel du droite C, sur laquelle se trouvent les tangentiels des points a, porte le nom de droite satellite de la droite A. | montrerons plus tard comment on peut former I de C, ax + By +s =0, quand on connait l’éq La droite A aura une satellite réelle, quand m contrerait la courbe en un point réel et deux po naires, au lieu de la couper en trois points réels. tions des tangentes aux points imaginaires seron P + iQ = 0; leur produit sera réel et Véquati pourra être mise sous la forme D(P! + Q*)—= 7

droite A soit à li infini; RS se elle rencontre la courbe sont alors les trois chaque asymptote rencontre la courbe en un seul | tance finie; ceci nous montre que ces trois points s sur une méme droite C, qui est la satellite de l'infini. Dans ce cas, l'équation est réductible DEF = £C, et nous avons ainsi ce théorème : Le prox

Gi, @2; la propriété qu’ils possèdent est la suivante : étant donnés deux couples de points de même genre, si nous formons un quadrilatère en joignant chaque point d’un couple avec chacun des points de l’autre couple, les deux nouveaux sommets du quadrilatère sont des points de la courbe (qui sont eux-mêmes des points correspondants du même genre respectivement que les deux couples originaux). Il est évident qu'il y a trois genres de points correspondants qui sont : le genre @,@z OU a3@;, le genre a, a; ou a,a,, et le genre a; a, ou a,a3. Et de plus, si nous partons du couple a,, a, pour obtenir le systéme entier de points correspondants du méme genre, nous n’avons qu'à prendre sur la courbe un point vanable K et, en le joignant aux points a,, a, respectivement, ces droites couperont de nouveau la courbe en un couple de ponts correspondants du même genre que a; a3. Nous pouvons indiquer en passant que l'enveloppe de la droite qui joint deux points correspondants du même genre est une courbe de la troisième classe. Cette théorie est due pour la plus grande pargie à Mac Laurin (voir De linearum geometricarum proprietatibus generalibus Tractatus)('); on peut donc l'appeler à juste titre la théorie de Mac Laurin pour les Points correspondants d’une cubique.

152. Considérons toujours le cas où C n'est pas une tangente à la courbe; soient D,, E,, F, des tangentes menées respectivement par les points c, c’, c’. Nous avons vu que l'équation de la courbe peut s’écrire sous la forme