D,E,F, — AC

Soit D,, E: un autre couple de tangentes passant par c, c’ ettelles que leur corde de contact passe par le point de conlat de F,; l’équation de la courbe pourra aussi se mettre

1) Voir pe Joxquimcs, Melanges de Geometrie pure, p. 223.

Mais, d’après le numéro précédent, 60’ est une moyenne har-

monique entre 6A et 6e; elle jouit donc aussi de la même propriété pour 68 et oy.

Sila courbe a un point double, on ne peut lui mener que

deux tangentes par ce point; mais le théoréme de ce numéro

- sera encore exact si nous remplaçons la corde D par la droite

qui joint le double point au point où la corde D rencontre de nouveau la courbe.

154. Nous allons encore indiquer une application du théorème, que toutes les cubiques qui passent par huit points fixes d’une cubique passent aussi par un neuvième point fixe. Sipar quatre points fixes d’une cubique on fait passer une conique, la corde qui réunit les deux autres points d'intersection de cette conique avec la cubique passera par un point fixe situé sur cette dernière courbe. Considérons une conique passant par les quatre points (x) et rencontrant la courbe aux deux autres points (3) et imaginons une seconde conique passant par les points (2) et par deux autres points ( 8’); la conique qui passe par a, 5 ct la droite qui rcunit les deux points $ constituent une cubique passant par les huit points x, 8, 8’; de nième, la conique qui passe par 2, 8’ et la droite qui joint les points 8 constituent une seconde cubique passant par les mémes points : donc le neuième point d’intersection avec la courbe doit être commun à cs deux systèmes, c'est-à-dire que les droites qui joignent les points 3, 3’ rencontrent la courbe au même point.

Dans l'édition précédente de cet Ouvrage, nous avions appelé ce point l'opposé du svstème des quatre points donnés ; aujourd'hui nous nous conformerons à la nomenclature de la remarquable théorie de résiduation donnée par M. Syl- ‘ester et que nous exposcrons bientôt; nous dirons en conséquence que le point en question est le corésiduel du ‘steme des quatre points.

S. — Courbes planes. 5

Ce point se construit facilement en prenant pour la conique passant par les quatre points un couple de lignes droites. Supposons que la droite qui joint les points 1, 2 et celle qui réunit les points 3, 4 rencontrent respectivement la cubique aux points 5, 6; la droite menée par 5, 6 coupera la courbe suivant le corésiduel cherché. Et comme le groupement des quatre points est arbitraire, il est bien clair que la construction peut se faire de trois maniéres différentes.

Par exemple, nous déduisons de ces propriétés que, par quatre points d’une cubique, on peut mener quatre coniques qui soient tangentes à la courbe en d'autres points; ce sont les coniques qui passent par les points de contact des quatre tangentes que l'on peut mener à la courbe par lé corésiduel.

155. Appliquons la règle qu’on vient de donner pour construire le corésiduel, dans le cas où l’on considère quatre points consécutifs de la courbe. La droite qui joint les points 1, 2 est alors une tangente, et le point 5, où elle coupe la courbe, est le tangentiel du point 1 : de mème la droite 3, 4 rencontre la courbe en un point 6 qui est consécutif au point 5; il en résulte que le corésiduel cherché est le point où la tangente au point tangentiel 5 rencontre de nouveau la courbe; autrement dit, c’est le tangentiel du tangentiel, ou bien, comme nous l'appellerons, le second tangentiel.

Si, par exemple, on demande de mener une conique qui passe par quatre points consécutifs, ou. suivant l’expression usitée, qui ait un contact quartiponctucl avec la courbe, et qui lui soit tangente en un autre point, ce point de contact sera, comme nous l'avons vu, un point de contact des tangentes menées à la courbe par le second tängentiel. L'un d'eux est le tangentiel du point (1) et la conique correspondante dégénère en deux droites; les trois autres points donnent les autres solutions du problème.

Si l'on demande encore de décrire une conique qui passe

par cinq points consécutifs de la courbe (ou qui ait un contact quintiponctuel avec la courbe), on résoudra le problème en construisant le sixième point où la conique coupe la cubique; ce sera le point où la droite qui réunit le point (1) à son second tangentiel rencontre de nouveau la courbe. Pour que ce point puisse coincider avec le point (1), il est nécessaire que la droite dont on vient de parler en dernier heu soit tangente en (1) à la courbe; ou, ce qui revient au même, 1l est nécessaire que le premier et le second tangentel coincident. Mais un point qui coincide avec son tangentel est un point d’inflexion : donc sur une cubique non singulière, il y a vingt-sept points où l’on peut mener une conique ayant avec la courbe un contact se-rtiponctuel; ce sont les points de contact des trois tangentes que l'on peut mener par chacun des neuf points d'inflexion.

156. Le théorème (n° 29) énoncé pour l'intersection de deux cubiques a été généralisé dans le n° 33. Le théorème que renferme ce dernier article s'applique au cas de la cubique en posant p = 3; il s'énonce comme il suit : Toute Courbe de degré n qui passe par 3n — x points fires d’une cubique passe par un autre point fixe sur cette cudique. IL faut remarquer que pour n=1 ou n= 20n ne Peut décrire qu’une seule courbe de degré n qui passe par 3n—1 points de la cubique, et le théorème ne nous apprend Tien; quand 7 est plus grand que 2, on peut décrire plus d'une de ces courbes et elles passent toutes par un autre Point fixe de la courbe, ainsi qu'on l’a établi. Et, comme on l'a exposé dans le n° 33, si l’on cherchait à décrire une courbe du n™ ordre par 37 points pris arbitrairement sur une cubique, n étant plus grand que 2, la courbe qu’on formerait asi ne serait pas une courbe proprement dite de cet ordre,

mas un système composé de la cubique elle-même et d’une Courbe d'ordre n — 3. | |

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 197 dits corésiduels, quand ils sont tous deux les résiduels d’un mème système a. Par exemple, dans le n° 154, nous avons supposé que par quatre points 2 d’une cubique on avait mené des coniques coupant à nouveau la courbe en des couples de points 8, 2’, ...; l’un quelconque de ces couples de points est un résiduel de 2, et deux quelconques d’entre eux sont corésiduels. De même, si la droite menée par le couple ? rencontre de nouveau la courbe en un point &, ce point est résiduel du groupe 8 aussi bien que les quatre points originaux ; ce point + est donc, comme nous l’avons déjà nommé, corésiduel avec les quatre points +. Il est évident que deux systèmes corésiduels de points doivent être tous deux posi- | ufs on tous deux négatifs.

Le théorème du n° 156 peut s'énoncer comme il suit : Deux Points qui sont corésiduels doivent coincider. En effet, nous avons vu que si par 3 p — 1 points « nous décrivons une courbe U,, rencontrant la cubique au point résiduel §, et si par les mémes points 2 nous décrivons une seconde courbe du p*"* ordre rencontrant de nouveau la cubique en un point 9’, les deux points corésiduels 8, 8’ auxquels on arrive par les deux opérations sont un seul et méme point.

159. Sc deux systèmes 8, 3’ sont corésiduels, un système quelconque 2', quiest un résiduel de Cun, sera aussi un résiduel de l'autre. Supposons que par un système quelconque x on ait décrit deux courbes U,, Uy qui rencontrent à nouveau la courbe suivant les systèmes 8, 8'; ces deux systemes sont par définition corésiduels ; et ce que nous énoncons maintenant c’est que, si par 3’ on mène une courbe queltonque U, qui coupe à nouveau la cubique suivant un sysme de points @’, les points 3 et + constitueront aussi l’inlersection complète d'une courbe avec la cubique. En effet, les systèmes x et 3 considérés ensemble constituent l’intersection d'une courbe U, avec la cubique, et 2 et 8’ forment l’in-

COURBES DU TROISIEME ORDRE. 199 nous pourrions employer un nombre pair quelconque de ces étapes. Ainsi, par les 3 p + 1 points P décrivons une courbe Ups: le résiduel est le système négatif N de 3 7 — 1 points. Par N menons une courbe U,.,, et nous obtenons un résiduel P’ de 3s + 1 points. De la même manière, de P’ nous pouvons obtenir un résiduel de 3¢ — 1 points, et ainsi de suite. A cette étape, ou bien à l’une des suivantes, où nous avons un svstème négatif de 34 — 1 points, si nous faisons passer par ces points une courbe U;, nous pouvons obtenir un résiduel formé d’un point unique. Le théorème de M. Sylvester consiste en ce que ce point est le méme dans tous les cas, quel que soit le procédé de résiduation par lequel on y sera arrivé. En effet, le système N est résiduel de P; P’ est résiduel de N et corésiduel de P; N'est résiduel de P’, corésiduel de N et par suite aussi résiduel de P, et ainsi de suite. Tout système positif dans la série est résiduel à tout système négatif et corésiduel à tout système positif. Donc le point auquel nous arrivons finalement est corésiduel au système original positif et doit être identique avec le point corésiduel du même systemeobtenu par un autre procédé. Par exemple, si par quatre points nous décrivons une cubique qui coupe la courbe en Cinq autres points; si par ces cing points nous menons une autre cubique qui donne un résiduel de quatre autres points, par ces quatre points une quartique donnant un résiduel de huit points, et finalement par ces huit derniers une cubique coupant la courbe en un autre point, ce point est le même que celui qu’on aurait déduit des quatre points primitifs par le procédé du n° 154. Et de même, en partant d’un système négatif quelconque de 3 g—1 points N, nous pouvons, après un nombre impair d'opérations intermédiaires, arriver à un Point unique qui sera le résiduel du système primitif et, comme tel, indépendant du mode particulier de résiduation.