Les principes que nous venons d'exposer nous per
points communs. Si l’on nous donne huit points d'une cubique ou hait relations linéaires entre les coefficients de l'équation générale, nous pouvons éliminer tous les coefficients sauf un, de manière à mettre l'équation sous la forme U + kV = o. De mème, si l'on nous donne sept points ou sept relations linéaires, la forme générale de l'équation pourra se. ramener aU+kV+ UW =o, U,V, W étant trois cubiques qui Satisfont aux sept conditions données, et les deux con- Stantes A, 2, qui restent à notre disposition, nous permettent de vénfier deux autres conditions. De même aussi, si l’on ne nous donne que six points, la forme générale de l’équation sera U + AV + [ZW + mS = o. Nous pouvons prendre pour U, V,... des systèmes de trois droites passant chacune par deux des points donnés. Par exemple, si les six points sont a, b, c, d,e, f et si ab =o représente l'équation de la
droite qui joint a et b, une des formes de l'équation cherchée sera
ab.cd.ef + k.ac.be.df + l.ad.bf.ce + m.ae.bd.cf = 0.
Comme cette équation renferme trois indéterminées, toute autre cubique qui passera par les six points (par exemple, af.bc.de) devra pouvoir s'exprimer sous la forme précédente, etl'équation ci-dessus ne gagnerait rien en généralité si nous Vajoutions un terme tel que n.af.bc.de, puisqu'il doit lui-même être égal à la somme des quatre termes qui précèdent, multi- Plés chacun par un facteur.
Dans les Sections coniques, n° 259, nous avons déduit la Propriété anharmonique des points d’une conique de l’équaton ab.cd = k.ac.bd; nous pouvons de mème nous servir de l'équation que nous venons d'écrire pour en déduire la propnété suivante, qui est l’extension aux courbes du troisième degré du théorème anharmonique : Si l’on joint six points d'une cubique à un septième point de la courbe et st Von fupe ce faisceau par une transversale aux points
COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 203 abaissées de son sommet sur les côtés d’un quadrilatère quelconque dont les sommets sont situés chacun sur un rayon du faisceau ; nous pouvons trouver par le même moyen le lieu du sommet commun à deux faisceaux, dont le rapport anharmonique est le même et dont les rayons passent par des ponts fixes parmi lesquels deux sont communs aux deux Risceaux. En effet, si ab = 0 représente l’équation de la droite qui joint les points a et b, nous obtenons une équation de la forme ao.bp cn.dp
ab.po cd.op
ao.bp.cd = ab.ab.co.dp.
Si o el p sont les points circulaires à l'infini, cette relation nous donne (Sections coniques. n° 358) le lieu du sommet commun à deux triangles dont les bases sont données, et dont les angles aux sommets sont égaux; nous voyons que Cest une courbe du troisième degré qui passe par ces points circulaires.
Si l'on nous donnait la différence des angles aux sommets, telle condition (Sections coniques, n° 358) équivaudrait au rapport de deux fonctions anharmoniques et nous conduirait dune équation de la forme
ao. bp co.dp =k ap.bo cp.do
(ete équation représente une courbe du quatrième degré, qua pour points doubles les deux points circulaires à l'infini.
Section II. — Pôles et polaires.
163. Nous allons maintenant récapituler et appliquer aux cubiques les théorèmes relatifs aux pôles et aux polaires que hous avons établis précédemment. Tout point O (x, y’, 3’) a,
par rapport à une cubique, une droite polaire et une conique polair: dont les équations sont respectivement
,dU © +s —— —=0
dU! dU! dU’ 7 dU ds
} sos =O dz' ~ dy’ ds! ’
+. {au de 7° dy
L’équation de la conique polaire peut aussi être ordonnée suivant les puissances de .r, r, 3 et devient alors
a'i+ b'yi+c'3?+2af'ys+a2g's0+ ah'xy = 0;
a’, b',c’, ... représentent ici les dérivées dans lesquelles on à introduit les variables accentuées.
La conique polaire est le lieu des pôles de toutes les droites qu on peut mener par O; par rapport à une cubique non singulière, chaque droite a ainsi quatre pôles qui sont les intersections des coniques polaires de deux points quelconques de ses points. La conique polaire passe par les points de contact des six tangentes qu’on peut en général mener par le point O. Dans le cas d'une cubique nodale, la conique polaire passe par le point double et rencontre seulement la courbe en quatre autres points ; chaque droite n’a que trois pôles, puisque les deux coniques polaires ( qui passent chacune par le point double) ne se conpent qu'en trois autres points. Dans le cas d'une cubique cuspidale, la conique polaire passe par le pointde rebroussement, est tangente à la tangente cuspidale et rencontre seulement la courbe en trots autres points; toute droite n'a que deux pôles. Si la cubique se décompose en une conique ct une droite, la conique polaire d'un point O passe par leurs points d'intersection et une ligne droite n'a que deux pôles. La conique polaire passeaussi par l'intersection de la conique et de la polaire de O par rapport à cette derniére. En cffet, on voit facilement qu'en effectuant sur LS l'opération A ou gr À + VAL + 3’ a le résul'at sera L/S + LAS.N
dr * dy ds
la cubique se réduit à trois lignes droites ws == 0, chaque co
COURBES DU TROISIEME ORDRE. 200 nique polaire passe par les sommets du triangle qu’elles forment etune droite quelconque n’a plus qu’un pôle. Dans ce cas, les équations de la droite polaire et de la conique polaire sont respechvement
ay s + ys'r + sr y =o, ays + 5x + s'xry = 0,
ou
L'équation que nous venons de former nous fournit immédatement une construction géométrique de la droite polire; on sait en effet (Sections coniques, n° 60) que, si-le pont (x, y’, 5’) est représenté par le point O sur la figure a-contre, la droite LMN (fig. 27) sera précisément celle dont on vient d'écrire l'équation.
Fig. 27.
TS C f a AS as oO / N ee or 0 LT # 7 \ 7 PN - 7 | N | A F B La tangente à la conique polaire en un sommet zy est ° e VA Vv ° (Sections coniques, n° 12) =i + = 05 0n la construit en joignant le sommet xy au point où la droite polaire rencontre le côté opposé 3.
166. Si une droite issue d’un point O rencontre la cubique aux points À, B, C, le point P où elle coupe la droite polaire est déterminé, puisque (n° 132) nous avons
