POA” OB OC

deux tangentes réelles ct deux seulement, et celles pour lesquelles les tangentes peuvent être ou bien toutes réelles ou toutes imaginaires. Nous reprendrons cette remarque, en lui donnant plus de développement, dans la Section où il sera question de la classification des cubiques, et nou: y verrons que, dans le second cas, la cubique se compose de deux portionsdistinctes : pour l’une, les tangentes en chaque point seront toutes réelles; pour l’autre, elles seront toutes imaginaires.

168. 11 résulte du n° 167 que, si O, P sont deux points de la courbe, on peut par ces points mener une conique qui passe par les quatre points où chacune des Langentes issues du premier point rencontre la tangente correspondante issue du second. Le rapport anharmonique de quatre points a, b,c,d ne change pas quand on les écrit dans l’ordre bade, ou cdab, ou dcba ; donc, en prenant les rayons du second faisceau successivement dans chacun de ces quatre ordres, nous voyons que les seize points d’intersection du premier système de tangentcs avec le’ second sont silués sur quatre coniques qui passent chacune par O, P.

Supposons que la cubique soit circulaire, c'est-à-dire quelle contienne les points imaginaires | et J à l'infini; en les prenant pour les points O, P, nous voyons que les seie foyers d’une cubique circulaire sont situés sur quatre cercles. et que chacun de ces cercles contient quatre fovers (!).

169. Sc O est un point de la courbe, toute corde menée par ce point est divisée harmoniquement par la courbe et la conique polaire de O.

Nous avons vu (n° 18) que les points d'intersection de la

— —— ——— eee ——

(1) Ce theoréme à éte obtenu pour la première fois par le Df Hart, mab

d'une maniere diflérente. Il m'a été ensuite suggéré par le théorème du ot: rd

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 209 courbe et dela droite qui réunit deux points sont déterminés

par l'équation 23U! + lus +ant4 + BU =o.

Si (z’, y’, s') est sur la courbe, U’ — 0 et l'équation précédente devient divisible par u ; si, de plus, les points (x,y,:), (7, y’, 3’) sont liés par la relation A = o, l'équation du second degré qui reste est de la forme }? A’ + 2? U — 0, ses racines étant égales et de signe contraire, et nous voyons( Sections coniques, n° 91) que la droite qui joint les deux points est divisée harmoniquement par la courbe. Nous pouvons aussi démontrer ce mème théorème en prenant le point O pour origine et cherchant le lieu des moyennes harmoniques de tous les rayons vecteurs issus de Q. Nous procéderons exactement comme dans le n° 132, en faisant d’abord A — 0, et nous trouverons immédiatement |

2(Bz+Cyr)+Drt+Exy + Fy—o :

c'est l'équation de la conique polaire de l’origine.

On démontre (comme dans le n° 136) que la tangente à la conique polaire au point où une corde quelconque la rencontre passe par l'intersection des tangentes à la cubique aux points où cette courbe est coupée par la même corde et qu’elle est la conjuguée harmonique de la droite qui joint leur point dintersection au point O.

170, Examinons maintenant d’une manière plus particulière le cas où O est un point d’inflexion. Nous avons démontré (n° 74) que la conique polaire d’un point d’inflexion se décompose en deux droites dont l’une est la tangente en ce point. Cette même propriélé se déduirait aisément de l'équation qu’on vient de donner pour la conique polaire de l'origine. En effet, pour que l’origine soit un point d’inflexion qui ait l'axe des y pour tangente, nous devons avoir

S. — Courbes planes. 14

La polaire harmonique doit passer par les points de contact des tangentes qu’on peut mener à la courbe par O ; en effet, ORRR’ est divisé harmoniquement; si donc R coincide avec R’, il doit coincider avec R. Donc, par un point d’inflexion, one peut mener que trois tangentes, et leurs points de contact sont situés sur une ligne droite.

Sila courbe a un point double, on démontre exactement de la même manière qu'il doit se trouver sur la polaire harmonique.

Le premier théoréme de ce numéro peut étre énoncé sous une autre forme ainsi qu'il suit : Si trois points A’, B’, C’ sont situés sur une droite et si les droites qui les joignent à O rencontrent de nouveau la courbe en A”, B”, C”, ces points seront aussi sur une même droite et ces deux droites rencontreront la polaire harmonique au même point. Si nous supposous maintenant que A’, B’, C’ coincident, nous retombons sur ce théorème que la droite qui joint deux points d’inflexion doit passer par le troisième et que les tangentes à deux quelconques d’entre eux se rencontrent sur la polaire harmonique du troisième.

172. Si, par un point d’inflexion O on mène trois droites rencontrant la courbe en A,, Ag; By, Ba; Cy, Ca, toute courbe du troisième degré menée par les sept points 0,A,, Ao, By, B:, C1, C2 aura le point O pour point d'inflexion. En effet, supposons que les trois droites rencontrent k polaire harmonique aux points A, B, C; ces points seront aussi communs au lieu des moyennes harmoniques du point 0 par rapport à toutes les courbes qui passeront par ces sept Points; donc ce lieu, qui en général serait une conique, doit, Puisque trois de ses points sont'sur une même droite, être cette même droite pour toutes les courbes dont il s'agit; et mr conséquent (n° 170) le point O doit être un point d’in- Îlexion.

a6 , CHAPITRE VY.

de la cubique ('). Elle est de la troisième classe, comme now le voyons, en cherchant combien il peut passer de ces droit, par un point arbitraire P. Tout point M, dont la coniqæ polaire passe par P, doit se trouver sur la droite polaire € P (n° 64) et, pour que la conique polaire se décompose e deux droites, M doit être situé sur la Hessienne. Il y a évidemment alors trois points M, tels que leur conique polaire se réduise à un couple de droites dont l'une passe par P. Il n'existe pas de tangente double ou stationnaire, et la courbe est par conséquent du sixième ordre.

Toute droite du système joint des points correspondants sur la Hessienne (n° 176); donc la Cayleyenne peut à volonté être considérée comme l'enveloppe des droites en lesquelles se décomposent les coniques polaires des points de la Hessienne ou comme l'enveloppe des droites qui joignent les points correspondants de la Hessienne. Cependant, dans le cas de courbes de degré plus élevé, l'enveloppe des droites qui joignent les points correspondants A, B (n° 70) est distincte de l'enveloppe des droites suivant les quelles se décomposent les coniques polaires.

La Cayleyenne peut aussi être considérée (n° 176) comme l'enveloppe des droites qui sont coupées involutivement pat le système des coniques polaires. Nous avons montré (Sections coniques, n° 388 @) comment on peut écrire immédittement l'équation de l'enveloppe envisagée à ce point de it, et nous avons établi que l'équation de la courbe est de M troisième classe.

178. Examinons maintenant quels sontles quatre poles pit rapport à la cubique de la tangente à la Hessienne enun point quelconque A. Les quatre pôles en question sont les

(*) Elle était représentée, par M. Cayley lui-même, par la lettre P et aff pelée par lui la pippienne. 1

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 219 connaissions la tangente en l’un de ces points A, la cubique serait complètement déterminée. Or la proposition que nous venons d'établir montre que cette tangente peut être l’une quelconque des trois tangentes (n° 171) qu'on peut mener de À à la courbe.

180. Les tangentes à la Hessienne aux points correspondants A,B se coupent sur cette même courbe. — Supposons que la conique polaire de A soit BL, BN et que celle

Fig. 28.

de B soit AR, AN; L, M,N, R sont alors les quatre pôles de k droite AB et la conique polaire de tout point de AB passtra par ces quatre points. Si donc cette conique polaire se décompose en deux droites, celles-ci ne peuvent être que LR et MN; nous voyons que D est un point situé sur la Hes- Sienne et qu’il correspond au point C où AB rencontre de Nouveau cette dernière courbe. Mais la tangente en B à la Hessienne est la polaire de À par rapport à la cubique, tt elle doit aussi (n°60) être sa polaire par rapport à la Conique polaire de A(BL,BN); donc, d’après les propriétés

harmoniques du quadrilatére, cette tangente est la droite BD:

De même, pour trouver le point de contact d’une tangente donnée quelconque avec la Cayleyenne, la règle à laquelle nous sommes arrivés consiste à prendre ce que nous avons appelé le point complémentaire sur la tangente donnée et à le joindre au point correspondant sur la Hessienne ; la droite conjuguée de cette droite rencontre la tangente donnée au point cherché. Mais nous pouvons déduire de là une règle encore plus simple : en effet, les deux droites dont on vient de parler constituent une conique polaire et toute conique polaire divise harmoniquement la droite qui joint deux points correspondants ; la règle revient donc à prendre les trois points où la tangente rencontre la Hessienne et qui se composent de deux points correspondants et d'un point complémentaire, et à déterminer le conjugué harmonique du point complémenlaire par rapport aux deux points correspondants.

182. Appliquons les règles précédentes au cas où A est un pont d’inflexion et où le point correspondant B est le point suivant lequel la tangente d’inflexion rencontre la polaire harmonique. La conique polairede Best alors un couple de droites passant par A et la conique polaire de A se compose de la langente d’inflexion et de la polaire harmonique. Pour trouver les points où ces quatre droites sont tangentes à la Cayleyenne, nous prenons le point où la droite AB rencontre de nouveau l Hessienne: c’est le point B, puisque AB est tangente à la Hessienne; et la droite menée par B et conjuguée à AB, sur laquelle se trouvent les quatre points de contact, est la polire harmonique. Ainsi le point de contact de la tangente d'inflexion avec la Cayleyenne est donc le point où cette droite rencontre la polaire harmonique; autrement dit [n° 179) la Cayleyenne et la Hessienne sont tangentes entre elles et ont pour tangentes communes les neuf tangentes d’inflexion. La Cayleyenne, en sa qualité de courbe non singuhére de la troisième classe, a neuf rebroussements, et la con-

appellerons la conique polaire de la droite donnée. L’équation de la polaire d’un point quelconque (2’, y’, 2’) peut s'écrire

ar't+ by'*+cs*+afy's'+2¢g5'2'+2hz'y'=0,

et le problème qui consiste à trouver l’enveloppe de cette droite vérifiant la condition az’ + 67+ y3'= 0 est le même (n° 96) que celui où il s’agit de former la condition pour qu'une droite soit tangente à une conique. L’équatiun de l'enveloppe cherchée est donc

Aa?+ B8?+ Cy?+ aF By + 2Gy2+ 2Ha8=—o.

‘ A,B,C, ... ont ici la même signification que dans les Sections coniques, c'est-à-dire qu'ils sont respectivemeut égaux a be — f2, ca — g?,... : ce sont donc des fonctions du second degré des coordonnées x, 7’, 3. Hl est clair que la conique polaire d'une droite pourrait aussi être définie comme le lieu des points dont les coniques polaires sont tangentes à une droite donnée.

Si, pour trouver cette enveloppe, nous avions appliqué la méthode du n° 88, nous aurions vu que la solution dépend des équations

av+hy+gs =da, ha'+by'+fs'= 18, gr'+fy +cs =).

Mais ces équations sont celles qui déterminent le pôle de k droite donnée par rapport à 2’U,+)/U2+3'U;. La conique polaire d’une droite est donc aussi le lieu des pôles de cette droite par rapport aux coniques polaires de tous les Points de la droite. On aurait pu trouver ce résultat à l’aide de considérations géométriques.

185. Puisque la droite polaire d'un point quelconque d'une droite est la même que Ja polaire de ce même point Par rapport aux trois tangentes aux points où la droite coupe

quon peut mener d’un point quelconque ala conique polaire d'une ligne droite sont les polaires des deux points.ou la conique polaire du point coupe la droite : donc la conique polaire d’un point rencontre une droite en des points réels ou imaginaires, suivant que le point est en dehors ou en dedans de la conique polaire de la droite; on dit qu’un point esten dehors d’une conique quand de ce point on peut mener à cetle conique des tangentes réelles. Nous avons déjà fait remarquer que, si un point est sur la conique polaire d’une droite, sa conique polaire est tangente à la droite.

En particulier, on sait que la conique polaire d’un point double se compose du couple de tangentes à ce point double ; la conique polaire de toute droite par rapport à une cubique à point double réel sera donc tellement placée que le nœud se trouvera en dehors d'elle; si la cubique est acnodale, le point conjugué sera en dedans de la conique en question. Si enfin Ja cubique est cuspidale, la conique polaire d’une droite quelconque passera par le point de rebroussement.

187. Il découle des définitions qui précèdent et du n° 135 que si la droite donnée est à l'infini, sa conique polaire peut-être définie, soit comme l'enveloppe des diamè- Les de la cubique, soit comme le lieu des centres des coniques diamétrales de la cubique, soit enfin comme le lieu des points dont la conique polaire est une parabole. On obtient son équation en faisant a : - o et $ == o dans les formules du n° 184; cette équation est C-= o ou bien ab — h? = 0, c’està-dire

dz? dy?

drdy Le n° 483 nous fait voir que cette équation est l’équation de ellipse tangente aux trois côtés du triangle formé par ‘5 asvmptotes et en leurs points milicux.

NS, — Courbes planes. 15

COURBES DU TROISIEME ORDRE. 227 puissent représenter la même droite, nous devons avoir

U, U. Us

Vv, Vv; Vs Ou bien

UV: — U,V, — O0; UV: — U,V; —-O, U,V,— U,V; =0.

La première forme sous laquelle les équations ont été écrites montre clairement que les trois équations équivalent à deux Seulement, et que les courbes du quatrième degré, représentées par les équations mises sous la seconde forme, ont des Points communs. Mais tous leurs points d’intersection ne leur sont pas communs; car les valeurs qui rendent égaux à zéro le numérateur et le dénominateur de l’une quelconque de ces trois fractions satisfont à deux des équations résultantes, mais ne vérifient pas la troisième. Si, des seize points ©ommuns aux quartiques représentées par les deux premières équations, nous retranchons les quatre points communs à U,, V:, il reste douze points communs aux trois quartiques et

Ce sont les points cherchés (!).

190. Comme le discriminant d’une cubique est du dou- Zième degré par rapport aux coefficients (n° 69), il y a, en Sénéral, douze valeurs de À pour lesquelles le discriminant de UG - AV sera nul. En effet si, dans l'expression générale du discriminant, nous remplaçons chaque coefficient a, ... par @ +ha’,..., nous avons évidemment une équation du douziéme degré pour déterminer À (Sections coniques, n° 230);

(') De mème, en général, si U,, U,, U, sont des fonctions du degré m par rapport aux coordonnées et V,, Va V, des fonctions du degré n, le système d'équations