U, U, VO ON

représente trois courbes de l’urdre m -- n qui ont m?+ mn + n° points Cominuns (voir Algèbre supérieure, n° 257).

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 231 d'où nous déduisons

ax by cs

I—-¥— 3S Ysa s—7r—y La forme des équations montre que le problème est ramené à trouver les centres critiques de deux coniques et que les trois points cherchés sont les sommets du triangle autopolaire commun aux coniques,

an+by+cePt=0, 2'+ÿ+s—2ÿ5—25T —ary =o.

On remarquera que la derniére de ces courbes est la conique polaire de w par rapport à xy3; autrement dit, quand w est à l'infini, cette courbe est la conique qui est tangente, en leurs points milieux, aux côtés du triangle formé par les asymptotes. Deux centres critiques coïncideront avec le point de Contact quand ax?+ by?+c:—0o sera tangentc à cette conique; si donc on regarde v comme variable, le lieu des centres critiques doubles est la polaire conique de wu par rapport à zys. On voit facilement, par les règles ordinaires, que la condition de contact de ces deux romiaues est

(be -+ ca — ab}: 27ab?c? ou bien a 34.5

c'est l'équation tangentielle de l’enveloppe de la satellite de u quand deux centres critiques coincident. Elle correspond (Exemple, n° 90) à l'équation en coordonnées de

points 2. 74+ st = 0 (1)

194. Un point quelconque de Axys -- u29=0 peut étre déterminé comme l'intersection'de 3 =Qvavec9\ zy + u? = 0,

a eee oe

! . s e . e e id () Pour la discussion plusapprofondie de cette théorie, voir les Mémoires € e eM. Cayley « Sur un cas d’involution des cubiques et Sur la classifi-

wen des cubiques (Transactions of Cambridge Philosophical Society . ° » BRA).

COURBES DU TROISIEME ORDRE. 235 vons supposer que ce soit la pojaire harmonique qui passe a l'ufini. Le point d’inflexion devient alors un centre, et toute corde passant par ce point sera divisée en deux parties égales. Echangeons 3 et y entre eux dans l'équation du n° 193, puis posons 3 — 1; l'équation devient, dans ce cas,

Jj=a2t+3bz'y + 3cry+ dy;

cest l'équation d’une courbe à centre (n° 434). On reconnaît, comme dans le n° 496, qu'il y a cinq genres de courbes à centre, suivant la nature des facteurs du second membre de l'équation, et l’on établit ainsi l'extension donnée par M. Chasles a théorème de Newton, et qui consiste en ce que toute cubique peut être projetée suivant l'une des cing cubiques à centre.

198. Il y a cinq espèces essentiellement distinctes de cônes cubiques qui correspondent à ces cinq espèces de courbes. Un cône d’un ordre quelconque peut comprendre deux formes de nappes distinctes, à savoir: 1° une nappe composée de deux parties jumelles, ou qui rencontre une sphère concentrique suivant un couple de courbes fermées, telles que chaque point de l’une des courbes soit opposé à un point de l'autre courbe (un cône du second degré nous fournit un «temple d'une nappe de cette espèce), et 2° une nappe unique, c’est-à-dire qui rencontre une sphère concentrique suivant une courbe fermée, telle que chaque pointde la courbe soit opposé à un autre point de cette même courbe (un plan lun exemple d'un cône de ce genre). Le cône qui correspond à la parabole I du n° 196 est une surface composée d'une nappe double et d'une nappe simple; celui qui correspond à la forme If ne comporte au contraire qu’une nappe unique. [] est évident que les singularités du nœud, du point conjugué et du rebroussement se reproduisent dans Jes cénes Correspondants.

que les valeurs de x qui correspondent aux valeurs maxima de y, ou aux points où la tangente est parallèle à l'axe des x, sont fournies par l'équation

3r'—anx—m'—o d'où æ—1t(n+4yn 3m);

si nous prenons le radical avec le signe négatif, nous obtenons la valeur de x qui correspond au point le plus élevé de l’ovale, et, comme elle est négative, nous voyons que ce point est situé dans la partie de l’ovale éloignée de la branche infinie etquel’ovale n’est pas, comme l’ellipse, symétrique par rapport à deux axes. Il est bien symétrique par rapport à l’axe des .r, mais pas par rapport à l'axe des y ; il s'élève plus rapidement d'un côté et s'incline en descendant plus doucement de l’autre. Plas # est grand pour une valeur donnée de m, c’est-à-dire plus est grande relativement la distance entre l'ovale et la branche infinie, plus l’ovale se rapproche de la forme ellipuque; il en diffère au contraire le plus quand il s’approche jusqu'à toucher la branche infinie, c'est-à-dire quand la courbe est crunodale. Dans ce cas, le point le plus élevé de la boucle correspond au point de trisection de son axe. Si nous donnons au radical la valeur positive, la valeur correspondante de x est Intermédiaire entre m etn, et la valeur correspondante de + est Imaginaire. La forme de l’équation montre que le point de contact de la droite à l'infini avec la courbe est situé sur la droite 2 — 0; c'est le contraire de ce qui a lieu pour la Parabole commune, y? = px, qui est tangente à la droite de l'infini sur la droite y = o. Les branches infinies de la cubique tendent donc à devenir parallèles à l'axe des y et non à l’axe des: et il doit y avoir, à distance finie de chaque côté du diamètre, un point d’inflexion où la courbe, de concave qu’elle lait, devient convexe vers l’axe des x; c’est à cause de cela qu'on lui a donné le nom de parabole divergente.

La forme de la courbe est donc celle que représentent lovale et la branche infinie tracée à droite dans la figure. Si

So CT met

distincts, (b) en un point réel et deux points imaginaires, (c) en un point réel et deux points coïncidents, (d) en trois points coincidents. Dans le cas des cubiques crunodales, acnodales ou cuspidales, nous aurons à distinguer dans la troisième espèce (c) si la droite de l'infini est à proprement parler une tangente ou bien si elle passe par un point double; et, quand il s’agira des cubiques crunodales et cuspidales, nous devrons aussi, dans le cas (d), distinguer si la droite de l'infini est tangente en un point d’inflexion, ou au point double, ou au pointde rebroussement. Enfin dans le cas d’une cubique biparlite ou crunodale, il estimportant de distinguer dans les cas (a) et(c) si les trois points où la droite de l'infini rencontre la courbe appartiennent tous à la branche infinie, ou bien si deux d’entre eux sont sur l’ovale ou sur la boucle, et le \roisiéme sur la branche infinie. Les différences qui résultent de la pour les figures de la courbe sont si grandes que les deux cas peuvent étre classés comme deux espéces distinctes. Voila les seules distinctions que nous ferons dans ce qui suit el qui formeront les bases de la classification des espèces. Les seules autres différences qui sembleraient avoir des droits à être mises sur le même rang sont celles qui ré- ‘ultent de ce que les points à l'infini de la courbe peuvent ètre des points ordinaires, ou que un ou trois d’entre eux Peuvent être des points d’inflexion. Mais, comme les changements que cela apporte dans la configuration des courbes Sont peu importants, et qu'il est désirable de n'avoir pas plus d’espéces qu’on ne peut facilement se rappeler, j'ai Préféré classer les courbes en tenant compte des différences mentionnées en dernier lieu, pour en faire, non pas des espèces différentes, mais des variétés différentes d’une même espèce. Il y a évidemment beaucoup d’arbitraire dans la manière de compter les variétés des cubiques, et le tout dépend du point de vue auquel on se place pour discuter ces Courbes.

S. — Courbes planes. 16

listincts, (b) en un point réel et deux points imaginaires, c) en un point réel et deux points coincidents, (d) en trois ints coincidents. Dans le cas des cubiques crunodales, acidales ou cuspidales, nous aurons à distinguer dans la troiième espèce (c) si la droite de l'infini est à proprement xrler une tangente ou bien sielle passe par un point double: 1,quand il s’agira des cubiques crunodales etcuspidales, nous levrons aussi, dans le cas (d), distinguer si la droite de l'infini st tangente en un point d'inflexion, ou au point double, ou au wintde rebroussement. Enfin dans le cas d’une cubique biparlite ou crunodale, il estimportant de distinguer dans les cas (a) #(c) si les trois points où la droite de l'infini rencontre la courbe appartiennent tous à la branche infinie, ou bien si d'eux d’entre eux sont sur l’ovale ou sur la boucle, et le toisième sur la branche infinie. Les différences qui résultent de à pour les figures de la courbe sont si grandes que les deux cas peuvent être classés comme deux espèces distinctes. Voilà les seules distinctions que nous ferons dans ce qui suit el qui formeront Jes bases de la classification des espèces. Les seules autres différences qui sembleraient avoir des droits à être mises sur le même rang sont celles qui réultent de ce que les points à l'infini de la courbe peuvent ttre des points ordinaires, ou que un ou trois d’entre eux peuvent être des points d’inflexion. Mais, comme les changements que cela apporte dans la configuration des courbes “nt peu importants, et qu'il est désirable de n'avoir ps plus d'espèces qu'on ne peut facilement se rappeler, j'ai Préféré classer les courbes en tenant compte des différences mentionnées en dernier lieu, pour en faire, non pas des espèces différentes, mais des variétés différentes d’une même espèce. Il y a évidemment beaucoup d’arbitraire dans la manière de compter les variétés des cubiques, et le tout dépend du point de vue auquel on se place pour discuter ces . Courbes,

S. -- Courbes planes. 16

hyperboliques doivent être regardées comme formant une courbe continue; la partie où une branche est tangente à une asymptote à son extrémité positive constitue la continuation de la partie où l’autre branche est tangente à la même asympote à son extrémité négative.

204. Considérons à présent la projection de la portion innie de la courbe (n° 196) qui doit être rencontrée par une droite quelconque en un ou en trois points réels. Supposons, en premier lieu, que la droite projetée à l'infini ne rencontre l courbe qu’en un seul point; les branches de cette courbe projetée, au lieu de se développer indéfiniment, se rapprocheront jusqu’à devenir tangentes a-une asymptote finie, comme

le représente la partie de gauche de la figure. La courbe que, Pour abréger, nous désignerons dans la suite sous le nom de serpentine doit évidemment avoir trois points d’inflexion. En ellet, elle est convexe vers l’asymptote à son infini positif (puisque toute courbe est convexe vers sa tangente de éhaque edté du point de contact); elle doit changer sa convexité en Concavité pour couper une seconde fois l’asymptote; après l'avoir coupée, elle doit se replier à nouveau, car autrement elle s’éloignerait d’une manière continue de l’asymptote; enfin elle doit encore une fois s’infléchir pour devenir convexe ers l'asymptote à son infini négatif. Les points de la courbe représentée dans la figure forment une série continue; en

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. "245 a seconde, que nous appellerons une hyperbole infléchie, rencontre une asymptole et par conséquent a un point d’inflexion; et la dernière, que nous appellerons une hyperbole “doublement infléchie, coupe ses deux asymptotes et présente par conséquent deux points d’inflexion (‘). Aucune de ces hvperboles, considérées deux à deux, ne forme de couple hiperbolique, mais, prises toutes les trois ensemble, elles conslituent une suite continue. Ainsi, dans la fig. 32, si nous commençons par la branche descendante de l'hyperbole doublement infléchie, la courbe, après son passage par l'infini négatif sur l’asymptote verticale, est continuée à partir de l'infini positif de la même asymptote par la branche verticale de l'hyperbole infléchie jusqu’à ce que, après être passée à l’inini sur l’autre asymptote, elle revienne le long de l’hyperbole simple, puis de là à l’hyperbole doublement infléchie.

Si Pun des points à l'infini ést un point d’inflexion, l’hyperbole à une inflexion devient une hyperbole simple, ou bien la branche doublement infléchie devient hyperbole à une seule inflexion. Si les inflexions sont toutes les trois à l'infini, la courbe se compose de trois hyperboles simples.

Les cubiques qui ont trois branches hyperboliques ont été appelées par Newton hyperboles redondantes, parce qu’elles Possèdent une branche infinie de plus que les sections coniques; celles qui n’ont qu'une seule branche infinie, comme dans le numéro précédent, ont reçu le nom d’hyperboles défectives ; et celles qui sont tangentes à la droite de l'infini et (li ont en outre une asymptote à distance finie, sont nommées hyperboles paraboliques.

206. Nous énumérons maintenant les espéces suivantes de tubiques bipartites :

() Newton les nomme : la première, hyperbole inscrite, la troisième | hyperbole circonscrite, et la seconde hyperbole ambigène.

imaginaires et nous avons un ovale (a) avec une serpentine, ou (b) avec une branche conchoïdale (voir n° 204).

Fig. 34.

4° La droite de l'infini est tangente à l’ovale qui prend la forme parabolique et est accompagné (a) d'une serpentine, (b) d'une branche conchoïdale.

5° La ligne de l'infini est tangente à l’autre partie de la courbe. L’ovale reste alors une figure fermée, tandis que l’autre

partie se développe suivant la forme parabolique. Si (a) le Point restant est un point ordinaire à l'infini, une branche Coupe l’asymptote et a deux inflexions, tandis que l’autre branche n'en a qu’une. Si (b), au contraire, c'est un point d'inflexion, les branches sont toutes deux du même côté de l'asymptote et chacune d'elles n’a qu'un point d’inflexion.

6° La droite de l'infini rencontre la courbe en trois points Qui coïncident. C’est le cas que nous avons indiqué (n° 199).

la constante, la bourse puisse se fermer ; nous avons alors un point double en un des centres critiques; d’autres changements dans la valeur de cette constante nous donneraient un ovale séparé, dégénérant finalement en un point conjugué situé sur l’autre centre critique. | De la même manière, nous avons les quatre mêmes espèces de cubiques acnodales auxquelles il faut adjoindre une cinquième forme pour laquelle le point conjuguéest à l'infini. Les figures données pour le cas des cubiques bipartites suffisent pour représenter cette classe, si nous supposons que l’ovale dégénère en un point conjugué. Celles qui correspondent au cas où le point conjugué est à l'infini ne diffèrent pas notablement de celles où la droite de l'infini rencontre la courbe en un point réel et en deux points imaginaires.

208. Les cubiques .crunodales nous donnent les espèces Suvantes.

1° La droite de l'infini coupe la boucle en deux points réels. Nous avons alors deux hyperboles simples et une hyperble infléchie (figure gauche). On remarquera, en suivani la

| | Fig. 37. J L NOR

| courbe dans ses passages à l'infini, qu’elle est unicursale. Cette

espêce donne naissance à deux variétés selon que le point 11 reste est un point ordinaire ou un point d’inflexion.

Dans le dernier cas, toutes les hyperboles sont simples.

2° Il y a trois points réels à l’infini, et aucun d’eux n'est situé sur la boucle. La courbe se compose d’une hyperbole inscrite, d’une hyperbole mixte et d’une hyperbole circonscrite ; cette dernière forme une boucle à l’intérieur du triangle asymptotique. On distingue deux variétés suivant qu'il y a un point d’inflexion à l’infini, ou qu'il n’en existe pas.

3° La droite de l'infini rencontre la courbe en deux points imaginaires. Deux variétés comme plus haut.

Fig. 38.

ts.”

4° La droite de l'infini est tangente à la boucle et 5° cette droite est tangente à la partie de la courbe qui s’étend vers

NK Le

l'infini. Les figures se comprennent delles-mémes ; comme

dans le cas précédent, il existe encore ici deux variétés : la

CUURRES DU TROISIÈME ORDRE. 291 courbe est située tout entière d'un même côté de l’asymptote quand il y a un point d’inflexion à l'infini.

I] existe un point double à l'infini et par conséquent deux asymptotes parallèles; le point restant à l'infini peut être

Fig. 40.

6° sur la partie qui s'étend à l'infini, ou 7° sur la boucle. Dans le premier cas. le point d'inflexion est en dehors des asym- Ptotes parallèles ; dans le dernier, il est-à leur intérieur. S'il se trouvait aussi un point d’inflexion à l'infini, les deux branches, dans le premier cas, seraient situées d’un même côté de ’asymptote. |

8° La droite de l'infini est tangente à la courbe en un point d’inflexion et nous avons la parabole divergente du n° 199.

Fig. 41.

9” La droite de l'infini est tangente à la courbe en un point double; nous avons alors la courbe représentée ci-dessus, et

i ppelée le crident.

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 293 relative à la nature des points à l’infini. Il reste à dire quelques mots des classifications antérieures des cubiques. La première est due à Newton, Enumeratio linearum tertii ordinis ; elle est en substance la même que celle que nous venons de donner; remarquons toutefois que les courbes que nous avons comptées comme variélés sont pour lui des espèces distinctes; de méme aussi, quand une branche hyperbolique est tangente 4 deux asymptotes, nous ne recherchons pas, parmi les - angles. opposés par le sommet qu’elles forment, quel est celui où est située la branche, tandis que Newton disüngue les cas où cette branche se trouve dans l'angle coupé par la troisième asymptote ou dans l’angle opposé. Les cas où trois asymptotes se rencontrent en un point sont traités comme des espèces différentes. En ayant égard à ces distinctions, le nombre des espèces monte à soixante-dix-huit. Nous avons pris la division quintuple comme caractère disunctif primordial, et celle qui dépend des branches infinies ne vient pour nous qu'en second lieu; Newton a adopté la marche inverse.

Voici comment Newton procède pour réduire l’équation générale : un des axes étant choisi parallèle à l’asymptote réelle, le coefficient de y? s’annule par exemple, et l'équation de la courbe est de la forme

Y'(az+b)+yUr+gz+h)+pa+qa+rt+s—=o.

Le lieu des points milieux de cordes parallèles à l’asymptote €st évidemment

2axy +2by +fx+gr+h=o,

et, si nous supposons que nous ayons fait une transformation de coordonnées, par suite de laquelle les axes deviennent les asymptotes de cette hyperbole, les termes b, f, g s annuleront évidemment, et l’on voit que cette même transforma-

211. Nous avons déjà parlé de la discussion des cubiques faite par Plücker dans son System der Analytischen Geometrie. Dans cette discussion, la nature des points à l'infini est le fondement primordial de la classification. Si l’on commence par le cas de trois asymptotes réelles, où l'équation est de la forme zyz = ku?y, on distingue d’abord les cas où les asymptotes se rencontrent en un point, ou forment un triangle. On examine ensuite toutes les positions possibles de la droite satellite y; on cherche, par exemple, si elle coupe le triangle, si elle passe par un sommet ou rencontre tous les côtés prolongés, si deux centres critiques coincident (n° 192) et ainsi de suite. On dit que toutes les courbes qui peuvent être représentées par l'équation ci-dessus pour une position donnée des droites z, y, 3, » forment un £roupe, et, en donnant toutes les valeurs possibles à 4, on

Fig. 43.

distingue les différentes espèces renfermées dans le même Soupe. On comprendra plus facilement ces considérations

213. On trouvera les paramètres des points dont les langentes passent par un point donné en portant les coordonnées de ce point dans l'équation 24? 7 — 30? y + s — 0; et, comme le coefficient de 8 est nul dans la cubique résultante, la somme des inverses des racines est nulle ou, en d'autres termes, trois points dont les tangentes se rencontrent

. i la relation el!

en un même point sont liés par la relation statæ—0.

Deméme on sait quela condition pourque 26%r— 362} +:—0 soit tangente à une courbe de la p“"° classe est une relation du p'*™* ordre entre les coefficients 205, 382,1; or une relation de ce genre ne contient évidemment pas le terme À : il en résulte donc que les 3p points, où les tangentes sont tangentes 4 une courbe de la p'*™* classe, sont liés

par la relation y (5) — o. Voici quelques exercices qui mon-

trent comment on applique cette méthode a des exemples.

Exencice 1.— Trouver le lieu de l'intersection des tangentes dont la corde de contact passe par un point fixe d'une cubique cuspidale. Ceci revient à éliminer a et 8 entre les trois équations

ave—3xy+s=0, 28%r—38y-z—0, a+B+y—0o, dans lesquelles y est connu. Nous trouvons aisément Y(2Yz +37} +2rz = 0,

fquation d’une conique.

Exercice 2. — Si un polygone d'un nombre pair de côtés est in- ‘crit dans une cubique et si tous les côtés, sauf un, passent par des points fixes situés sur la courbe, le dernier côté passera aussi Par un ponit fire de la courbe. | |

Représentons les paramètres des sommets par @j, a2, ..., et ceux

points fixes par 01, by, .... Nous prenons, pour plus de simplicité,

* cas du quadrilatère, mais la démonstration est générale. Nous ‘None alors les équations '

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 261 l'origine et le rebroussement à l'infini. Dans la parabole cubique, l’origine est un centre et tous les diamètres de la courbe coïncident avec l’axe des y ; en effet, si nous menons

une droite quelconque y = mx + n, la somme des valeurs de x est égale à zéro.

La cissoide de Dioclès fait partie de la classe des cubiques cuspidales ; cette courbe a été imaginée par le géomètre de ce nom pour résoudre le problème qui consiste à trouver

Fig. 44.

deux moyennes proportionnelles. On peut la définir comme le lieu d’un point M’, où le rayon vecteur du cercle AM est

Coupé par une ordonnée telle que AP’ = PB. Nous aurons ainsi

AM’ = RM et par suite p= AR — AM = 27 sécw — 2r cosw=2r tangw sinw, ou, en coordonnées rectangulaires, a(z?+ y*)=ary?, ou (2r—a2)y=r'.

9 e e e L'origine est donc un point de rebroussement et 2r — x

une asymptote qui rencontre la courbe en un point d’inflexion Sllué à une distance infinie.

Newton a donné la construction élégante qui suit pour

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 263 qu’elle ait la forme (x? + y?)z= x*. Ici z est la tangente au point réel d’inflexion que la courbe doit avoir; x est la droite qui joint le point d’inflexion au point double et x? + y? sont les tangentes au point double; le signe supérieur se rapporte au cas de la cubique acnodale, le signe inférieur au cas de la cubique crunodale. On peut alors prendre pour coordonnées d’un point quelconque de la courbe des quanutés proportionnelles à (1 + 62),9(1 +94?), 1. Si nous substituons ces valeurs dans l’équation d’une droite arbitraire Ax + py + v5 = 0, nous avons, pour déterminer les paramètres des points où cette droite coupe la cubique,

(À + v) + pO 0? + pO? =o; et ces paramètres sont liés par la relation 00" +- 670" + 670'=— + 1.

Si la droite est tangente en un point d’inflexion, 4’ = 4" = 0” et, par conséquent, 0? = + 5. Donc une cubique acnodale a trots points d’inflexion réels; une cubique crunodale a un seul point dinflexion réel et les deux autres sont imaginaires.

On trouve que l'équation de la droite qui joint deux points

est (6? + 00/+ 0 1) r— (6+ 0’) y= E(1 + 67) (1 HO") 5;

donc l'équation d’une tangente est (307+ 1)2v— 20v=+(1= 67)? 5.

Nous voyons par là que, si quatre tangentes se rencontrent en un méme point, la somme des paramétres correspondants est nulle; ct que si deux des points nous sont donnés, nous pouvons immédiatement former l'équation quadratique qui détermine les paramètres des deux autres.

Il n'y a aucune difficulté à appliquer cette méthode à des

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 265 biques unicursales ('). Nous pouvons partir des expressions les plus générales des coordonnées en fonction d’un paramètre À : p:

za =3b Xu+3c ut + d pi,

yaa! } +38 Mu + 3c! Ap? + d'u,

3 =a")? + 38" dtu + 3c" Aut + d'u,

et écrire immédiatement l'équation de la cubique résultante sous forme d’un déterminant (comme dans le n° 44). Mais, d’autre part, il y a en général trois fonctions linéaires de

z, y, 3 dont les expressions en fonction de À et p» sont des cubes parfaits. Eu effet, si dans l'expression

Lz+My +Ns= (x + fu)

nous remplacons x, y, 3 par leurs expressions en À! pu, si nous égalons les coefficients de À°, À?u,..., et si nous éliminons

linéairement L, M, N entre les relations ainsi obtenues, nous trouvons

Aatrement dit, nous avons pour déterminer a; 8 une équation du troisième degré que nous pouvons écrire

Aa + 3Ba8 + 3Ca8° + DB: — 0, € A, 3B, 3C, D sont les déterminants du système

a bed\j a’ b' c' d' | .

a’ b" co” a’ ||

(') Pour plus de détails sur la méthode indiquée ici, voir Icaz, Math. danal., t. VI, p. 663, et Haase, Math. Annal.,t. tl, p. 526:

1 la condition en question peut ètre écrite aussi sous la forme Ap pp! + BO a? + pu + tu") + CV"? a! + Md" + ww u?) + D272” — O, fans laquelle A, B,... ont la même signification que dans lenuméro précédent. En d’autres termes, si les À ; u des trois points sont déterminés par l'équation

A’ + 3B'Xu + 3C'au + D'u—0,

k condition pour que ces trois points soient en ligne droite est (AD! — A'D)— 3 (BC'— B'C)— 0.

Nous obtenons le À: x d'un point d’inflexion en posant v= — 2", p= pp” — y" dans l'équation précédente, et nous retombons ainsi sur la cubique

Ap? + 3Bip? + 3C tu -+ DA — 0.

Nous pourrions arriver à la même cubique sous une forme un peu différente. L’équation générale, sous forme de détermnant, de la droite qui joint deux points, montre que, pour une cubique unicursale dont les coordonnées x, y, 3 nous sont données en fonction d’un paramètre, l’équation de la langente en un point quelconque est

ZT Ÿ 3

TL Va Sh O.

Ta Ja Sa Les indices représentent ici le symbole d’une différentiation des expressions de x, y, 3 par rapport à À ou p. On trouvera

de même que la condition pour que trois points consécutifs solent sur une même droite est

Tu Jar Sn

Ainsi, dans le cas de la cubique que nous considérons, les À : » des points d’inflexion sont fournis par l’équation

a@ah+byp bi+cp ci+du a'i+b'u BdA+c'p c'i+d'u a"\i+b"un b"i+cu c'1i+d'u

et l’on peut voir (Algébre supérieure, n° 169) qu'elle est identique avec la cubique dont on a déjà parlé.

216 c. Il y aura un point double sur la courbe quand le même point correspondra à deux valeurs différentes du râpport À : . Soient X: p’ etd”: »” deux valeurs quicorrespondent au même point; quel que soit l’autre point À” : »” que nous prenions sur la courbe, la condition du numéro précédent (que ce point soit sur une même droite avec les deux points qui coïncident au point double) devra être vérifiée. Si donc nous égalons à zéro les parties de cette relation qui sont respectivement multipliées par À” et x”, nous aurons

Au” + Bu" + dp!) + Cd" = 0, Bu" + CG'u" + 2"n') + DAD" =o. D'après la théorie des équations, si les deux valeurs de ):

qui correspondent au point double sont données par une équation du second degré, cette équation devra ètre

ue" — Au(l'u” + X72") 4- 24/0" = o.

Si donc nous éliminons p’, u”,... entre ces trois équations. nous obtiendrons l'équation du second degré

| 7 — ju pF | A B | O, B C D

qui déterminera les valeurs du paramètre du point double. En d'autres termes (voir .{{gèbre supérieure, n° 1951, cette