Nous formerons d’abord l'équation de la Hessienne

es dérivées secondes de la cubique sont, en négligeant le acteur 6 qui leur est commun à toutes,

Q@=a@r+a,y+a;5, f=—mr+ by + 0:53, b=b2+ by +b33, goar--my + c;3,

C=Or+Cy+es, h= ax+b;y+ ms.

En formant H = abc + 2 fgh — af?— bg?— ch?, Hestune -ubique dont les coefficients sont respectivement

= ab,c,— am'+2maa;— b,a?— c;ai,

= ba,c,— bm'+ 2mb,b, — a,b? — c,6?,

= ca,b,— cm amce,c, — a,c? — byc?;

= abc, — 2amb,+ ab,c, — ba? -+- m'a, — b,c, a,-i- 2a,a3b, — c,ai, =acb,— 2ame, + abc, - ca}+- m'a; -- bic;a; + 2a,a3c, — bai, = bac, — 2bma; + ba,c, -- ab? —- m? b, —- cya, b, +2b,b,a; — c, 62, = bea, — 2bmc, 4- ba,c,--- cb? -+ mb; — c,a,b; + 2b,b;c, — a; b?, 1= caby-— 2cma, + cab, — ac? --- mc, —- ay bye, + 20,C,a, — bc?, = cha; — acmb, + ca, b, — bc? + mic, — aybyc, + 2¢€,¢,6, — act, n= abc —(ab,c,+ bc, a; + ca, b;)

—2mMm —a2m(b;c;+ Ca + abs) + 3(a bic, + abc).

Par z,, 2,, x, et les coefficients en question par @,,,, @33,, @y,45 ---- La pre. Miére notation a l’avantage d'être très compacte; dans la seconde, au conlraire, chaque coefficient indique le terme auquel il appartient. Dans les formales auxquelles nous aurons beaucoup affaire, l’usage des suffixes convient Moins qu'une notation dans laquelle chaque coefficient est représenté par Wa seul caractérc; mais, comme I’équation générale de la cubique est em- Ployée seulement dans les articles qui suivent immédiatement, j’ai pensé que le second avantage était celui auquel il convenait de moins s’attacher. La ROtation employée dans le texte concorde avec la notation allemande, en remplaçant &,,, &,, 433 par a, b, c respectivement. D'après le mème prin- ‘pe les coefficients de z*, y”, 2? pourraient s’écrire a,, b;, c; et l’étaient Mtasi dans la premiére édition. Je ne mets pas de suffixes dans le cas de ces rois coefficients, non seulement pour abréger, mais aussi pour diminuer

risques de confondre l’un d’eux avcc l’un quelconque des six autres coef-

ts.

.Comme cas particulier du précédent, la Hessienne de

e+ y +s+6mxryz—=0o est — Ma + + s)+(i1+ami)xys —o.

219. Nous pouvons aussi former l'équation de la Cayleyenne. Ce contravariant exprime la condition pour que la droite ar + By + ys soit divisée en involution par le système de coniques U,, U2, Us, où

U,=a z'+biy'+c;s+amys — 2a,5r + 2a, ry, U,= a,2*+ b y'+ c;5+ab,ys+ amsr + 2b,zxy, U,= az? + by’ +e 3 + 2C2Y3-+20C15T + 2mMmx7.

La méthode pour former ce contravariant a été donnée (Sections coniques, n° 388 a) et le résultat y est exprimé en fonction des coefficients des trois coniques. En appliquant celte formule au cas actuel, nous trouvons

P = Az?+ BB+ Cÿ+3A,28 + 3A,2ty + 3B, Ba + 3B, 8*y + 3C, y?2 + 3C,y78 + 6M ady, A= bem — be,c, — cb, bs — mb;c,; + b,c? + ¢, b2, B = cam — ca, @; —- ac;c, — mac; + a,c? -- c,a?, C = abm — ab, b, — ba,a,— mb, a,+ ba? + a,b}, 3A,= — bea,— cmb, + bc? +- 2ca,b; + 2m*c,— 3mbyc, + C,a,b,+ bicic;— 2a,c!, 3A,= — bea,— bmc, + cb? + 2ba,c, + 2m*b,;— 3me,b,+ bya,c,+ b,c, b;— 24,82, 3B,= — cab,— cma, + ac?+ aca;3b, + am*c,— 3mayC, + C, a,b, a,¢,c,— abc, 3B; = — cab, — ame, + ca? + 2ab;c, + 2mta;— 3mc,a,+ asbic; + acsa3— 2a,b!, 3C, = — abc, — bma;+ ab? + 2ba,c, + 2m*b,— 3ma,b, + bia;c,+a;b;b;— 2¢, 63,

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 273 ,.—= — abc, — amb, + bai + 2ab,c, | + am’?a,— 3ma,b, + a,b,c, + a,a,b; — 2¢, a}, = abe —(ab,e,+ bce,a,+ ca,b,) — 4m’ + 4m(b,c,+ caa + a,6;) — 3( a,b,c, + abc).

En particulier, la Cayleyennede .r° + 33 + 33 + 6mxysest

m(a + B+ y3)+(1 — 4m?) By = 0.

220. Si, dans le contravariant qu’on vient de trouver, nous mplaçons a, 8, y par des symboles de différentiation par pport à x, y, 3, respectivement et qu’ensuite nous opérions r la cubique donnée U, le résultat sera un invariant (A/èbre supérieure, n° 139).

Cet invariant, que nous représenterons par S, est du qua- 1ème degré par rapport aux coefficients ; il est égal à

S = abcm — ( bca,a; + cab,b,+ abc,c,) -— m(ab,c,+ 6c,a;-+ ca, 6; ) +(ab,ci+ ac, b3+ ba,c? + be,a? + cha + ca; b?) — m+ am"(b,c;+ C,a,+ a:b;) — 3m(a,b,c,+ a;b,c,)-- (b2c? + cia? + a3 b?) + (Ca: 05 + a,b, b,c, + b,¢,c,4,).

revient au même de dire que |’équation de la Cayleyenne eut s'écrire

d d d d d d 3 3 «3 2R 2., 2., ___ GET dot Cae te Bag “da + Va,

+ fra 7 + Page + +28 a + a fy ia) S=o.

Nous avons indiqué (Algèbre supérieure, n° 162) la méthode symbolique par laquelle Aronhold a primitiyement obnu celinvariantS ; sa notation symbolique est(123)(234)(341) Ata); celle de son évectant, la Cayleyenne, est (123)(x23)(x3:) 41), Pour la forme canonique, S est #2 — m', et, comme S ‘st nul quand m = 0, c'est-à-dire quand |’équation est de la

S. — Courbes planes. 13

COURBES DU TROISIEME ORDRE. 279 b, b8c? + ac,cib? + be,ciai+ ba,a}c? + ca,a} b} + cb, bai) a,b,c} + aa;c, 63 + bb,c,ai + bb, a,c} + cc,a,b% + cc, b3a3) + 24m (b,c, + C,Q+ @36;) — 36m? (a2 bse, + a, 5, C2) *( B,C, C Qq + Cy Q,43b,+ a,b, b,c,)— 24m? (bic? + c2a2+ a? b?) (A, b,C, + Ab, C,)(O, 0, + C2, + A963) +8( bic} + C3 a3 + a} bi) 11 b3c? + a? b2c?)— 6b,¢,c,a, a, 6, 402 c,a,+ bicia;b;+-cjaja;6,+-ciai b,c, + a} b? bc, + at bic, a,).

Pour la forme canonique cet invariant se réduit à 1— 20m — 8m.

Sa forme symbolique est (123) (124) (235) (316) (456)?.

Nous pouvons de Vinvariant T déduire un évectant

dont nous n’avons pas besoin d’écrire les coefficients tout au long. Pour la forme canonique, ce contravariant, que nous représenterons par Q, est égal a

Q—=(1 -- tom?) (23 -+ B3-+- ¥3) — (30m? -+ 24m!) aBy — o.

Tout invariant de la cubique peut s’exprimer en fonction rationnelle de S et de T. Ceci peut se démontrer de la même Manière qu'on l’a fait pour le théorème correspondant relatif à une quartique binaire (A/gébre supérieure, n° 245); il y a

aucoup de ressemblance entre la théorie d’une quartique binaire et celle d'une cubique ternaire.

222. Nous avons exposé aux n™ 91 et 188 la méthode à ‘uivre pour former l'équation de Ja réciproque d’une cubique. Nous donnons le résultat, en écrivant seulement tout au long les termes dont la forme est réellement distincte. Les autres toefficients peuvent se déduire de ceux-là par une permutation ‘ymétrique de lettres :

COURRES DU TROISIÈME ORDBE. 281

équation du troisième degré pour déterminer le rapport À: 2, c'est-à-dire qu'il ya, comme on l’a déjà établi, trois cubiques qui ont pour Hessienne une cubique donnée.

Comme cas particulier de ce qui précède, la seconde Hessienne est