H(HU)=— 8S'U + 2TH

il en résulte que To exprime la condition pour que la seconde Hessienne soit la courbe primitive. Si S = 0, c’estidire (n° 220) si l'équation est réductible à la somme de trois cubes, la Hessienne coïncide avec sa propre Hessienne et se compose de trois droites, comme nous le montrerons dans le numéro suivant.

226. La Hessienne rencontre une courbe en ses points d'nflexion, c’est-à-dire aux endroits où trois points conséœufs de la courbe sont en ligne droite; si donc une courbe Nest pas une courbe propre, mais un système comprenant une ligne droite comme partie intégrante, tout point de cette droite est un point de la Hessienne et, par conséquent, quand la courbe se compose de trois droites, ces lignes contituent la Hessienne. Ceci peut se vérifier en formant la Hessienne de xyz = 0. Ainsi, le système de conditions pour que l'équation générale représente trois lignes droites s’obtient en exprimant que les coefficients dans l'équation de la Hessienne (n° 248 ), sont proportionnels aux coefficients correspondants dans |’équation de la cubique. Ce sont c ay ag D bs ey res m

C a, a; bb,” by OC eg m

C'est un système de quarante-cing équations, qui paraissent équivalentes à neuf, mais qui en réalité ne sont équivalentes qu'à trois équations indépendantes. En effet (Sections coniques, n° 78) trois conditions seulement sont nécessaires Pour qu'une équation du troisième degré contenant neuf con-

{oPvape = " nl

nous pouvons déterminer a, b,c, m par des équations du premier degré. C’est de cette manière qu’on peut effectuer la réduction de l'équation d'une cubique non singulière à la forme canonique.

Exercice 1. -- Calculer les invariants de la cubique

axr(y*-- 3%)-- by(s*§—2?)-- cs(z2--7?)= 0.

228. Parmi les quatre tangentes qu'on peut mener à la cubique par un point de cette courbe, deux coincident seulement lorsque la courbe a un point double, puisqu'une cubique n’a pas de tangentes doubles. [équation des quatre langentes est (n° 78) A? = 4 A'U et, si l’on prend

U=nm+yp+ 33+ 6myse, 1=i[z (x? +amys) + y'(¥?+ 2msxr) -+ 5'(5?+amry)], V=3[xr(.0'2? + amy's') + y(y'? +2ams' xc’) +5(3%+ ame’ y’)].

En faisant so dans A?= 4A'U, nous obtenons une équation du quatrième degré qui détermine les quatre points où les tangentes rencontrent la droite 3; cette équation est

(zx? + y'yt+ams'ry) = 402+ La (atom 3) y(y't-+ ama!) où bien tp’? +8my"s")z" + 4(y'?-—ms' x’) ac y--6(2' y' + amis?) 2757 + 4(2%— my's') ry) +(y'? + 8ms'z')y'= 0.

D'après ce qu'on a dit, il est clair que le discriminant de cette quartique doit contenir comme facteur le discriminant de la cubique. Si maintenant nous nous rappelons que

r+ y+ ss Gmr' rs = 0,

Nous trouvons pour les invariants s et ¢ de la quartique

COURBES DU TROISIEME ORDRE. 289 forme m, mw, muw?, en désignant par w une des racines cubiques imaginaires de l’unité et le rapport commun des racines est w. C’est ce qu’on appelle la section équi-anhar-monique.

230. A l’aide de la forme canonique, nous pouvons former, comme dans le n° 225, les invariants S et T de AU + 6uH, ou de

(. — 6pm?)(2? + pt + 35) + G[m + w(t +2m)]zys, et nous trouvons sans difficulté

SAU+6pH)=S A+ TI p—24 St put 4ST hy? — (TE 488) n° T(AU+6pH)= TA — g6S’À5 — 60 ST À° n° -— 20T1)3u3 + 240S1T tp?

— 48(ST? + 96S!)2u5 — 8(52S5T + Thu,

elsi, au moyen de ces valeurs, nous formons le discriminantR où T? +. 64S3, nous obtenons

ROAU + GuH)=R(ùt + 2482? 2? + ST au — 48S1 p+).

Dans cette relation le facteur qui multiplie R est le cube de la fonction du quatrième degré en } et u formée au n° 227: nous aurions pu le prévoir, car, si la cubique U n’a pas de point double, les seules cubiques à points doubles qu'on peut mener par les points d’inflexion sont les quatre systèmes de lignes droites. Les valeurs que nous venons de donner pour lesS et T de AU + 6uH sont des covariants de cette fonction du quatrième degré en ) et u; elles diffèrent seulement par les facteurs numériques 4 el 2 respectivement de la Hessienne et du covariant appelé J (A/gèbre supérieure, n° 209); et les coefficients de U ct H dans la valeur de H(AU + 6pH) ne diffèrent que par des coefficients numériques des dérivées par rapport à À et u de la forme du quatrième degré.

Tous les covariants cubiques peuvent s'exprimer, sous la

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. a8-

ir laquelle il opére et, dans cette méthode symbolique, l'ordre 2 la fonction sur laquelle on opère est un multiple de celui e la forme donnée.

Il est facile de voir que l'équation de tout covariant ubique de 2° + y3 + 53 + bmzxys —0o est de la forme (x3 +-)3 +2) + Br): = 0; et cette expression est, comme ious l’avons vu, réductible à la forme XU + pH = 0; cepenlant, pour exprimer les covariants d'ordre plus élevé, 11 est nécessaire d’avoir un troisième covariant fondamental. Celui que nous choisissons peut se définir comme il suit : considérons la polaire conique d'un point ax? + ... et la polaire conique du même point par rapport à la Hessienne a’ x? +...; il existe alors (Sect. coniques, n°378) une conique covariante de ces deux courbes qui est donnée par l'expression

(B'C+ B'C— a FF’)a? +... =0,

‘tla condition pour que cette conique passe par le point primuf fournit un covariant de lacubique. PuisqueB, C,... conüennent chacun les variables au second degré, le covariant est du sixième degré par rapport à ces variables; et, comme B,C, ... sont du second degré et B’, (’ du sixième, par rapport aux coefficients, il est du huitième ordre, par rapport a ces coefficients. La valeur effective de ce covariant pour l'équation générale n'a pas été calculée; mais, si nous uous servons des valeurs de A, B, ... données dans le huméro précédent, nous trouvons que, pour la forme canonique, ce covariant est 40; @ est égal à

3m*(1+-2 mr + y3+ 53)? m(1—20m'— 8m) +y+39)ry5 —3m?(1— 20m? + 8m').r* 42 5? — (148m)? (y 59+-27+53.27 73) ou m3 (2 + m?)U? m1 + on) UN + 3m? HH? — (1 + 8m) (7838 + 5378 + xt)

llexiste deux autres covariants du même ordre que @ par rap-

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 28) D'après la théorie des équations, si J est égal à

nous avons J? = p'q + 18pqr — 257? — 40? — 4rp*.

Mais p, g, r sont immédiatement exprimables en fonction de U, H, 6; en les remplaçant par leurs valeurs dans l’équation qu’on vient d'écrire, on a

J} — 463 + TUÜ'e:

+ 8(— 4S Ut -+ 2 STUSH — 52 S'U?H? — 18 TUH® + 108SH') — 16S USH — 11 S'TU* H?-— 4T*U?H? + 54STU'H:

— 432S* UH® — a7 THE.

L'identité que nous venons de donner peut être mise sous la forme

48(8 + AU?)(6 + 2p U?)— J* + Hé,

Cetteexpression montre que le système 8 (8 + ÀU2)(8 + LU?) est tangent à H, c'est-à-dire que H est tangente à chacune des courbes représentées par les trois facteurs, ou bien passe par leurs intersections deux à deux. Mais 96, Uet H n’ont pas de point qui leur soit commun à toutes les trois : donc H est tangente à @. La courbe J qui passe par les points de contact se compose des polaires harmoniques des neuf points d’inflexion. Nous donnons encore un exemple ou deux, pour montrer qu’il et possible d'exprimer les autres covariants en fonction

de U, H, 6.

Exercice 1. — Former l'équation des neuf tangentes d'inflexion. Nous avons fait voir (n° 217) que les tangentes d'inflexion sont C—(1+- 8m?) 73, U—(1+8m3)y3, UÙ —(1 + 8 m3) 33. Faisons le produit de ces trois facteurs, nous aurons Ci 8 m3) (23 +y3+ 25)U?

S. — Courbes planes. 1g

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 291 OP+uQ)=(T + 536S1T)X6 + 288 (5S? T? — 19285) Ady + 540( 3ST? — 320S'T)A* p? + 540(T* — 4488°T?) 13 n° —19440(7 S*T?—64S5T) A? p* — 11664(3ST*— 32S8'T* + 2048S87)A nu — 5832 (T5 + 40S*T? + 2560S°T) ps, X0.P +p Q)=[SAP+T 3 p+-72S?A2 2+ 108ST ut +27 (T?— 16S*)p*}3 R?.

De méme que dans le n° 230, les fonctions du quatriéme et du sixième degré en À et » qui figurent dans les valeurs de S et T sont les covariants de la fonction du quatrième degré dont le cube entre dans la valeur de R.

On a aussi

HQP+~Q)—[T 2+ 144 SX p?+-324ST Ap?+ 108(T?— 16S?) u3]P —(4SX + 3TA2 p+ 1448702 yn + 108ST p° )Q

les quantités qui multiplient P et Q respectivement étant les dérivées, par rapport à x et À, de la même fonction du quatrième degré.

234. Nous pouvons former de la même manière le P et le Q de AU + 6H, et nous trouvons

PAU + 6p) = PA + QMy— 19SPAu*+ 4(SQ — TP)’, QU + 6pH)=QaAs + 60SP + yu — 30 TP Xp? — 10 TQ ps + 120(2S1Q — STP put -+ 24[STQ — (T?+ 24S*)P]p5; maintenant nous représentons par set ¢ le S et le T de AU +6uH, donnés dans le n’ 230, ces valeurs différent

seulement par les facteurs 3(T?-++ 64S*) et (T? + 645) > respectivement de

(48S*P + TQ) 5 as > + (3TP— 4SQ)

(48S*P + TQ) À + (3TP — (SQ) =

si nous formons.encore le P et le Q de (AP + 2Q), les résultats sont P(A P+ 2Q)—A?(8S*U — TH) +182 u(STU+8S'H) + ghp*[(T? — 32S?) U + 12 STH] —54w[4S*TU —(T?+ 328*)H] QAP + 2Q)=A5[16S*TU + (T? + 1925*)H) + 30)'p[S(T?— 64S*) U + 168° TH] + 1523 pt[T(T? — 820S*) U + 48ST?H] —a7024p3[ 16ST? U—T(T?—64S")H] —1620)p'[ ST? U + 4S*(T*— 64S") H] —3a4 pu [(T +24 T?S?-+-5 128*)U—6ST(T?+ 1288) et si maintenant nous désignons par set ¢ le S et le T de \P-+ pQ, que nous avons calculés n° 223, ces valeurs différent seulement par des facteurs de

ds ds et dt dt (48S?U + 18TH) D + (TU — 24SH) qa

A ces formules on peut ajouter la réciproque de XU + 6uH. qui est (+ 24S 22 ut +872 p?— 488% us) F — ahe(i3 + aT wt) Pt af ut(t— 4S ut) PQ — 82p?Q* et celle de XP + uQ, qui est 4[Sa* + Thu + 7257)? pt + 108ST Ap? + 27 (T° — 168?) ut je [TX + 2168 TX pt + 108 (T? — 64S?) iu? + 3888 TS! ut JH! — [16812 + 23ST du + 18T? tp + 216S(T?+ 32S)pt]UH + [648723 a+ 1448? Td2p? 4- 1088 Tu + as T (T2168) yu JU.

239. Nous allons maintenant indiquer ici une identité fort utile. Supposons que, dans une cubique, nous remplacion<r. vy 5, par cbr", +, 5 + As’, et que nous éerivinns le résultat sous la forme

autrement dit, supposons que S et P représentent la conique polaire et la droite polaire de (z’, y’, 3’) par rapport a U; ce qui donne, pour la forme canonique

S=(2*+amys)zr'+(y*+ amsr)y'+(s?+ amzry)z’, P= (z'*+amy's')a+(y*+ams'z')y +(3%+amx'y")s;

supposons de méme que le résultat d’une substitution semblable dans H soit écrit sous la forme °