H + 322 + 3270 + AH

cest-à-dire soient X et II la conique polaire et la droite polaire de (x’, y’, 5’) par rapport à la Hessienne, nous pourrons alors, à l’aide de la forme canonique, vérifier l'équation identique qui suit

3(Si— 2P)= H'U — HU’.

ll résulte de là que, si (z’, >”, 2’) est sur la courbe et si, par conséquent, U’ = 0, l'équation U = 0 peut être écrite sous la forme

Si— =P=o.

De cette forme découlent immédiatement les conséquences Sutvantes :

(a) Les droites P et II se coupent sur la cubique : c’està-dire le tangentiel du point (z’, 3”, 3',) ou le point où la tangente P rencontre de nouveau la cubique est l’intersection de P avec IT, polaire de (x’, y’, 3) par rapport à la Hessienne (n° 183).

(b) Les points de contact des tangentes menées de (x’, )’, 3’) ala cubique, qui sont, comme on le sait, les intersections de S avec U, sont aussi les intersections de S avec 2, conique polaire de (x’, y’, z!) par rapport à la Hessienne.

P41 — 0. La premiére équation représente une conique

passant par les intersections deS, E; la seconde est la polaire de (x', 9’, s') par rapport à la même conique : par conséquent, la cubique donnée peut être engendrée comme lieu des points de contact des tangentes menées d’un point (2’, y', 3!) à un système de coniques passant par quatre points fixes.

(d) Si S+ 42 représente deux droites, P+- OI passe évidemment par leur intersection ; cette intersection est donc un point de la cubique, et P+ OI est la tangente en ce point : done les quatre points de contact des tangentes à la cubique, issues de (2, y’, z'), forment un quadrangle dont les trois centres sont sur la cubique et sont les points cotangentiels de (2', y', 2')(voir n° 150).

(e) Si nous considérons les points d’intersection de li courbe et de sa Hessienne par une droite quelconque, par exemple 3 — 0, l'identité du présent numéro nous donne

ab—ba=3(a,b,—b,as),

c'est-à-dire que l'invariant P des deux cubiques binaires s'annule. On voit done encore que la Hessienne rencontre la courbe en ses points d'inflexion. En effet, puisque P est nul, l'éliminant des deux formes est Q = 0 (Algèbre supérieure. n° 200). Donc aux points d’intersection, u + 4e renferme un cube parfait.

236. Je me suis servi de cette identité (Philosophical Transactions, 1858, p. 535) pour former l'équation de h conique qui passe par cing points consécutifs d’une eubique. Puisque S est tangente à la cubique et que P est la tangente commune, l'équation d'une conique tangente à U en 2,75) est S— PL = 0, L=ar+ By +72 étant une droite arbitraire, Mais, au moyen de l'identité que nous avons établie, l'équation de la cubique peut se mettre sous la forme

u($— PL)=P(2—UL).

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 299 Donc les quatre points où S — PL rencontre de nouveau la cubique sont ses intersections avec Z — LIT; et, si cette dernière conique passe par (zx, y’, 2’), la première passera par trois points consécutifs de la courbe. Mais, si nous remplaçons x, y, 2 par x’, y’, 2’, nous aurons > = Il’ = H' et la condition -pour que 2 — IIL passe par (z’, y’, 3') est L=1. Maintenant, pour queS — LP passe par quatre points consécutifs, 2 — LIT doit avoir P pour tangente au point (x, y’, 2’). Mais la tangente à © — LIT (qui est la polaire de z'y'3' par rapport à cette fonction) est

aN — L'H — Li’

ou bien I — H’L (puisque L’=1; I'—H'), et, comme celle quantité doit être proportionnelle à P, nous avons

L = ) P + H Il.

L'équation générale d’une conique passant par quatre points consécutifs est donc

;gp:— | py — 5—O6P ip Pi=o,

el — — 1? — x — OPH WV ll? —o passe par les deux points ott la précédente conique rencontre de nouveau la cubique; l'équation de la cubique est réduclible à la forme s — gp: — — Em).

n(s oP Pu)=P(= oPn— in ) 237. Puisque ces deux coniques ont P pour tangente com- Mune, il sera possible, en ajoutant les équations multipliées

par des constantes convenables, d’obtenir un résultat divisible par P, et le quotient représentera la droite qui joint les

x, 3’ dans les résultats, en remarquant que

dS' __ dP' ds! ___ du’

— —2— >) — —=2->- 5) dx’ dx! di’ dx

nous avons M’= an, et le résultat de la substitution de 2’, y, 3! à la place de x, y, 3 dans

M— Én e(n-pP)=0,

est u — QH’= 0; et, comme nous avons trouvé u = — ae - he nous avons § — — pr” et le problème est complètement

résolu.

239. Nous allons indiquer une autre forme générale à laquelle on peut ramener l’équation d’une cubique et qui est la suivante :

ais + by — 33 -- du = 0 où T+yÿ+s+u—o.

La conique polaire d’un point (x',>/, 2’, u') étant

ax! x* + by'y + c3 5 -+ du'uf = 0,

k conique polaire du point pour lequel z'=— 0, x/— 0 est un couple de droites passant par uw = 0, 3 = 0, on voit par là que les points xy, su;x3,vu;xu,y3 sontdes couples de points correspondants sur la Hessienne. La forme que nous venons d'écrire contient implicitement onze constantes et |’équation générale d’une cubique peut s’y ramener d’une infinité de manières. Les valeurs des invariants pour cette forme sont

S = — abcd, THOlCeia cd a? + dah? + a° bc?

— 2abcd(ab + ac + ad + be + cd + db).

Le discriminant se forme au moyen de trois équations

-~ mn mo

Si la courbe a un point de rebroussement, nous avons $= 0, T = o(n° 224), et toutes ces différentielles s’annulent conformément à la théorie. Si la courbe a deux points doubles, c’est-à-dire si la cubique se décompose en une conique et une droite, nous avons la suite d’égalités de rapports

dT dS dT dS dT dS dada db db dd

Ces équations, écrites tout au long, formeratent un système d'équations dont chacune est du huitième ordre par rapport aux coefficients; elles constituent le système de conditions

pour que l’équation générale du troisième degré soit résoluble en facteurs.

241. Il est une autre forme sous laquelle on peut écrire les conditions précédentes. Remarquons d’abord qu’un point double sur la courbe étant aussi point double sur sa Hessienne, les équations d’un pareil point satisferont aux équations obtenues en différentiant par rapport à x, y, z les équations et de la courbe et de la Hessienne. Dans le cas de la cubique, ces six équations différentielles sont toutes du second degré, et nous pouvons en éliminer linéairement les six quantités x’, y?, 52,33, 3a, ey de manière à obtenir le discriminant sous la forme du déterminant

a 6, cy m ay a, a, D cy by m +B,

a, bs € cy, c; m

Nous avons vu aussi (n° 226) que les conditions pour que la courbe ait trois points doubles s’expriment en prenant une quelconque des trois premières lignes horizontales, la ligne

correspondante dans les trois autres et en égalant à zéro le déterminant formé avec deux colonnes quelconques de ces lignes. De la même manière aussi, les conditions pour que la courbe ait deux points doubles s'expriment en prenant deux quelconques des trois premières lignes et les deux lignes qui leur correspondent dans les trois autres, et en égalant à zéro le déterminant formé avec quatre colonnes quelconques de ces lignes. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que, si U = PV, V représentant une conique et P une droite ax + 8y+yz, la Hessienne de U est de la forme XU + 4 P3, comme nous le démontrerons dans le numéro suivant. En conséquence, nous avons

aH ds da ae PRES di ,aU

D = SUB dH ,dU Ge ae + Sul;

nous en déduisons

ee dl tt Er ÉD US ce qui montre que les différentielles de H-et U relativemeit à x et y sont liées par une relation linéaire identique et qu, par conséquent, le déterminant formé des coefficients de quatre termes correspondants de ces équations s’annule.

242. La Hessienne de l'expression PU, dans laquelle P rtprésente la droite 4x + By +7s et U une fonction de degré quelconque, petit se former de différentes manières. Les dérivées secondes de PU sont Pa+24l, Pb+26M, Po-+-ayN, Pf+BN-+YM, Pet yL+aN,Ph-aMfhi dans ces expressions, L, M, N représentent, comm ment, les dérivées premières, eta, b,... les dérivées secondes

COURBE DU TROISIEME ORDRE. 301 de U. Servons-nous de ces valeurs pour former |’équation de la Hessienne et réduisons le résultat au moven du théorème sur les fonctions homogènes

(a —1)L = ar + hy + g3; nous obtenons pour la Hessienne de PU | n° (n—1)* P n—!

ici F est la quantité (be — f?)a? + ... (n° 484) qui, géomériquement, représente le heu des points dont les coniques polaires sont tangentes a la droite donnée.

Plus généralement, nous trouverons de la même manière que la Hessienne de UV est |

a+ ri) sup, (ntn'—i)*,, ni UH' + are 7 V Th = reve cuves

Comme dans les Sections coniques, n° 370, 8 et 8 représentent respectivement ici (bc—f?)a'+...et(b'c—f'ja+.…., et W est le covariant

(be! + b'c— aff!) LL! +

UVW.

La forme que nous venons d’écrire montre que les intersections de U, V sont des points doubles sur la Hessienne et que les tangentes en ces points sont respectivement les tan-

gentes à U et V (!).

() Pour la théorie générale des formes cubiques ternaires, voir les Mé- Moires d’Aronuotp, Journal de Crelle, t. 39, p. 140 (1850) et t. 55, P- 97 (1858); le troisième et le septième Mémoire sur les formes de M. Caytey, Philosophical Transactions, 1856 et 1861, et le Mémoire de CLesscu et Gonnax, Mathematische Annalen, t.1, p. 56 (1869), t. VI, p. 436 (1873). Voir aussi GUNDELFINGER, Math. Annal., t. IV, p. 144 (1873).

Dans chacun des quatre derniers cas, la courbe est unicursale.

Toute quartique peut être considérée comme comprise dans l'une ou l’autre de ces classes. Il existe toutefois des formes spéciales, provenant de la coincidence de points doubles ou de points de rebroussement qui méritent qu'on les considère à part.

1° Deux nœuds peuvent coïncider, en donnant naissance à la singularité appelée nœud de tangence ou point tacnodal; c'est par le fait un contact ordinaire (biponctuel) de deux branches de la courbe (voir n° 38, IIL). Il faut remarquer que la tangente commune compte deux fois comme tangente double de la courbe; ainsi, en supposant qu'il n’y ait pas (en outre du point tacnodal) de nœud ou de point de rebroussement, la courbe appartient à la classe IV et ses caractéristiques sont celles que nous avons indiquées ci-dessus ; mais 6 = 2 indique qu'il ÿ a un point tacnodal, ett = 8 que les tangentes doubles se composent de la tangente au point tacnodal comptée deux lois et de six autres tangentes doubles.

2° Un nœud et un rebroussement peuvent coïncider, en donnant naissance à la.singularité nommée, d'après cela, rebroussement nodal et que nous avons appelée un rebroussement ramphoidal (n° 58).

Remarquons que la tangente compte une fois comme tangente double et une fois comme tangente stationnaire. Si donc nous supposons qu'il n’y ait pas d’autre nœud ou d'autre point de rebroussement, la courbe appartiendra à la classe V et ses caractéristiques sont données ci-dessus ; mais ¢=1,x — 1 montrent qu'il existe un rebroussement nodal ; += 4 comprend la tangente au point de rebroussement et trois autres tangentes doubles; t = 10 donne la tangente au rebroussement et neuf autres tangentes stationnaires.

3° Trois nœuds peuvent coïnçider si on les considère Comme points consécutifs d’une courbe de courbure finie;

COURBES DU QUATRIEME ORDRE. 305 lormant un point triple particulier qui ne différe pas d’unc maniére visible d’un point ordinaire de la courbe. Cette dernière appartient à la classe IX, dont les caractéristiques ont été données plus haut; 6 = 1, x = 2 se rapportent ici au point triple en question.

244. Pour mieux montrer la distinction entre les différents genres de points doubles que nous avons énumérés, supposons que l’origine soit un point double pour lequel les deux tangentes coincident avec la droite y = 0; l'équation de la quartique sera de la forme )? + us + u, = 0, dans laquelle

Wiomae+bsey+ery +dy*, u,=er +fry +...

Nous procédons maintenant comme dans le n° 36. Pour déterminer la forme de la courbe dansle voisinage de l’origine, nous posons y = mz? et nous déterminons 8 de manière que deux ou plusieurs exposants de x deviennent égaux entre eux et moindres que l’exposant d’un autre terme quelconque; et nous nous attachons seulement aux termes du degré le moins élevé en x. Supposons que a ne soit pas nul. Nous trouvons B = 2; la forme de la courbe près de l’origine est k même que celle de la courbe y? + ax? = 0 et l’origine est un rebroussement ordinaire.

1° Supposons a — 0. Nous avons alors 8 = 2 et m est déterminé par l’équation du second degré m? + bm +e=o. la courbe se compose de deux branches, dont les formes près de l’origine sont respectivement les mêmes que celles des courbes y¥ =m, x*, y = Mix, m, et m2 étant les racines de l’équation ci-dessus. Les branches sont tangentes entre elles et l’origine est un point tacnodal.

2" Supposons que l'équation du second degré dont il vient d'être question ait ses racines égales; la forme de l'équation est alors

(y — mac?)? + ery? + dy3+ fay +... 220,

S. -- Courbes planes. 20

ae ee

L'origine est un rebroussement tacnodal. Le point double ordinaire ne peut pas donner de singularité d’ordre plus élevé dans une quartique proprement dite; car la dernière hypothèse à faire consisterait à supposer que A est nul, et dans ce cas l'équation se décomposerait en deux facteurs du second degré. Le cas où l’origine est un point triple ne nous semble pas exiger de plus amples développements.

245. Nous n'avons jusqu'ici fait aucune distinction entre le réel et l’imaginaire. Si nous admettons que la courbe soit réelle, les nœuds et rebroussements imaginaires ne se présentent que par couples, et leur présence nous permet de distinguer les différents cas en conséquence; ainsi nous pouvons avoir un seul nœud réel, deux nœuds réels ou deux nœuds imaginaires, trois nœuds réels ou un nœud réel et deux imagnaires ; il en sera de même pour les points de rebroussement.

Un point double réel peut aussi être crunodal ou acnodal. Ces distinctions, relatives au réel et à l’imaginaire, se présentent rarement en ce qui regarde les singularités dont nous avons parlé plus haut (la condition que les imaginaires se présentent par couples implique le plus généralement la réalité de ces singularités). La seule distinction qu'il semble uule de faire s'applique au point triple ordinaire; il peut avoir trois tangentes réelles, ou bien une réelle et deux ima- &inaires. Dans le premier cas, le point est l'intersection de trois branches réelles de la courbe; dans le second, il est la Commune intersection d’une branche réelle et de deux branches imaginaires; ou, ce qui revient au même, nous ‘avons une branche réelle qui passe par un point conjugué. Ce point ne diffère pas visiblement d’un point ordinaire de la courbe, il ressemble à cet égard au point triple spécial que nous avons mentionné ci-dessus sous le n° 7; la diffé-

rence consiste en ce que, dans le cas d’une branche ordinaire

passant par un point conjugué, les tangentes sont l'une réelle et les deux autres imaginaires, tandis que, dans le eas du point triple spécial, elles sont toutes trois réelles et coincidentes.

246. Il existe encore d’autres singularités dont il faut tenir compte. Un nœud ou point double peut être un point d’inflexion sur une des branches qui le constituent, c'est-à-dire que la tangente à cette branche au point double peut rencontrer cette branche en trois points consécutifs (ou la courbe en quatre points coïncidents); le nœud peut aussi être un point d’inflexion sur chacune des branchés qui le constituent,

Un pareil point dose peut être considéré (dans le premier cas) comme formé par la réunion d'un point double ordinaire avec un point d’inflexion, et (dans le second cas) de ce même point double avec deux points d’inflexion; le nœud pourrait s'appeler un nœud énflexionnel, point flecnodal ou point biflecnodal suivant le cas. Le point ou les points d’inflexion qui coincident ainsi avec le point double, doivent être comptés parmi les points d’inflexion de la courbe et le nombre des points d'inflexion restants doit dt diminué en conséquence. Un point bifleenodal wee 4 priétés analogues à celles que nous avons et suivants) pour les points d'inflexion des cubi ral, si nous cherchons le lieu des moyennes harmoniques sit les rayons vecteurs issus de l'origine que nous supposons ttt un point double de la quartique wi + ws + tz = 0, no trouvons w3 + 2u3—0. Si donc wy est facteur dans ms; k lieu devient une ligne droite, et le point polaire harmonique, jouit des propriétés établies (n° 17) Les points de contact des tangentes issues de ce vent sur une ligne droite et la courbe peut être projetée de manière qu'il devienne un centre, ou, encore, de maviti que toutes les cordes parallèles à une droite donnée soient

coupées en deux parties égales par un diamètre fixe. Dans ce dernier cas, la forme de |’équation est, en général,

>'(x—a)(xz—b)=+A(z—c)(x—d)(x—c)(x—f).

Il n’y a pas de difficulté à discuter, comme dans les n° 39 et 499, les différentes formes possibles de courbes comprises dans cette équation, en ayant égard à la réalité et à la grandeur relative de a, b, ...; on en déduit aisément les différentes formes que peuvent affecter les projections de ces courbes.

247. Enfin une quartique peut encore avoir un autre genre de point singulier dont il faut tenir compte dans la classification; c'est un point d’ondulation, c'est-à-dire un point où la tangente rencontre la courbe en quatre points consécutifs. La tangente en un pareil point remplace deux tangentes sauonnaires et une tangente double. Une quartique peut avoir quatre points d’ondulation réels. Il est facile de s’en convaincre en écrivant l'équation sous la forme ways = S?,

" dans laquelle S est une conique tangente aux quatre droites sv, x, y, 3.

248. Nous n'avons pas encore épuisé la liste des éléments caractéristiques que la projection n’altére pas et dont il faudrait tenir compte dans une classification complète des quartiques. On se rappelle que nous avions divisé les cubiques non singulières en cubiques unipartites et en cubiques biparlites, suivant que tous les points réels de la courbe constituent ou non une suite continue. II est naturel de penser qu'il doit exister une distinction semblable pour les quartiques.

Leuthen a étudié en détail (Math. Annalen, t. VII, p. 411) les formes possibles des quartiques non singulières. Il fait remarquer que les branches d’une courbe peuvent être divistes en branches d'ordre impair, qu'une droite rencontre en

310 CHAPITRE VE un nombre impair de points, et en branches d'ordre pair. Ces dernières sont ce que nous avons appelé des ovales(n® 200); nous employons ce mot pour désigner non seulement les ovales dans le sens ordinaire du mot, mais encore leurs projections. Par exemple, dans cette acception, nous dirons que toutes les formes des coniques sont des ovales. Zeuthen montre qu’une courbe non singulière ne peut avoir plus d'une branche d'ordre impair et que, par conséquent, une courbe de degré pair ne peut en posséder. Une quartique ne peut donc se composer que d’oyales. On voit immédiatement que, si une quartique se compose de deux ovales, dont l'un soit entièrement intérieur à l'autre, elle ne peut pas avoir aucun autre point réel. En effet, s'il en existaitun, en le joignant par une droite à un point situé au dedans de l'ovale intérieur, cette droite couperait la courbe en cing points. Pour la méme raison, Vovale intérieur ne peut avoir ni tangentes doubles, ni points d'inflexion. On donne le nomde quartique annulaire à une quartique composée de deux ovales dont l'un est intérieur à l'autre. Les raisonnements quiprécédent n’excluent pas le cas d’ovales extérieurs les uns aux autres; toutefois la quartique ne peut pas se. composer de plus de quatre ovales; si, en effet, elle avait d'autres réels, une conique passant par l’un d'eux et phe 5 situés à l’intérieur des ovales couperait la a points. La courbe —-

(tat et Pps nae (e< b)que nous avons considérée (p. 64-65) equa quartique peut effectivement se composer de | cela résulte aussi de l'exemple suivant pour montrer que les vingt-huit tangent quartique non singulière peuvent toutes à dérons la courbe Q = =f, dans l'équation

= (y? — er yr =F) ef CNE

L’équauon Q — 0 représente une quartique à trois points doubles, dessinée en traits gras dans la fig. 46. L’équation Q=k est celle d’une courbe qui ne rencontre la

Fig. 46.

Loy

courbe Q en aucun point à distance finie, qui s’écarte d’aulant moins de la courbe Q que & est plus petit, et qui, suivant le signe attribué à cette quantité, est tout entière à l'intérieur ou à l'extérieur de la courbe Q. Quand elle est tout entière l'extérieur, la courbe est unipartite ; si, au contraire, elle est entièrement à l’intérieur, elle se compose de quatre ovales en lorme de ménisques, situés chacun dans l’une des boucles en lesquelles la courbe Q est subdivisée. Chaque ménisque a unc langente double; on verra de plus que deux ovales quelconques ont quatre tangentes communes et il y a six couples lormés par ces ovales pris deux à deux. Si l’on suppose que la valeur de la constante varie, il est facile de concevoir que l'un, puis l’autre de ces ovales devienne imaginaire; il s’ensuit que les quartiques non singulières peuvent être unipartites, bipartites, tripartites ou quadripartites. Nous pouvons conclure, de la même manière, que si une quartique a un point double, elle peut être unipartite, bipartite ou tri-

31a CHAPITRE VI, partite; que si elle a deux points doubles, ala “peut ètre LE ge ou bipartite (1).

248 a. Zeuthen prend pour base de sa classification des quartiques les bitangentes réelles de la courbe et il les divise en deux classes. Quand une quartique se compose d'un couple d’ovales extérieurs l'un à l'autre, il est facile de voir (de même que si c'étaient deux coniques) que ces ovales ont quatre tangentes communes et qu'ils ne peuvent en avoir davantage. Ce sont ces tangentes communes qui sont pour Zeuthen les bitangentes de seconde espèce. Quand une quartique a deux ovales extérieurs l'un à l’autre, le nombre de ces bitangentes est 4; quand elle se compose de trois ovales, le nombre des bitangentes est 12; si elle en comprend quatre, le nombre en question est 24. Les bitangentes de première espèce sont : (a) les droites doublement tangentes à une branche unique de la courbe, ou (b) les bitangentes dont les deux points de contaet sont imaginaires. « bom

Zeuthen a démontré que toute quartique a quatre bitangentes de l'une on de l’autre de ces deux dernières classes; nous les appellerons les bitangentes de Zeuthen. Le nombre total des bitangentes réelles d’une quartique s'obtient ainsi en ajoutant aux quatre précédentes 0, 4, 12 ou 24 bitangentes de seconde espèce; ce nombre est done 4, 8, 16 ou 28. La méthode de Zeuthen consiste à considérer le systéme de quartiques S + 2S’, dans lequel S et S’ sont deux quartiques non singulières. Le nombre des bitangentes réell courbe du système ne changera que si } pre > présente quelque singularité. Zeuthen 4 passe par une valeur pour laquelle la courbe a un poll double, on ne perdra ou on ne gagnera que des

ee (*) En général, le nombre maximum des parties d'une courbe est sp rieur d'une unité au genre de la courbe. dam mit lal

COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. 313 de seconde espèce et qu'aucune singularité ordinaire ne change les bitangentes de première espèce en bitangentes de seconde espèce et réciproquement. Considérons une bitangente de première espèce, tangente à une branche en deux ponts réels. Si le paramètre contenu dans l’équation varie, ces points peuvent se rapprocher l’un de l’autre, et l'arc qui les sépare devenir de plus en plus petit. A la limite, ces points se confondent et la courbe a un point d’ondulation; après cela, la bitangente a‘ses points de contact imaginaires. Nous voyons aussi que, pour la valeur de À qui détermine un point d'ondulation sur la courbe, les bitangentes de Zeuthen de la classe (a) se changent en bitangentes de la classe (6) ou inversement. La seule modification qui affecte les tangentes de première espèce consiste en un échange de ces deux classes ; lenombre total de ces bitangentes est donc le méme pour le système entier des quadriques compris dans la forme S + AS’; lest par conséquent le même pour une quartique quelconque, et l’exemple donné par Plücker montre qu'il est égal à quatre.

248 b. Quand une branche a une tangente qui lui est langente en deux points réels, il est évident qu’en chacun de ces points l’arc tourne sa convexité vers la tangente et qu’il existe une partie intermédiaire de l’arc total qui tourne sa concavité vers cette même droite ; la partie concave est séparée des parties convexes par un point d’inflexion situé à chacune de ses extrémités. Toute bitangente de cette espèce implique donc l’existence de deux points d’inflexion réels; et il n’est pas difficile de voir que la réciproque est vraie. Puisqu’il peut euster au plus quatre tangentes de cette espèce, une quarlique peut avoir tout au plus huit points d’inflexion réels. Zeuthen réserve le nom d'ovale aux branches qui n’ont ni bitangentes ni points d’inflexion réels; si la branche a une seule bitangente réelle, il l’appelle unifolium; si elle en a

classes en espèces, en tenant compte de la nature des branches nfinies.

248 d. Zeuthen a aussi appliqué sa méthode de classification aux quartiques nodales considérées comme cas limites des quartiques non singulières. Il énumère et discute les cas suivants : (a) points conjugués considérés comme cas limites des ovales; (b) nœuds qui prennent naissance dans les cas limites des quartiques annulaires, quand la branche intérieure vient à couper la branche extérieure; dans aucun de ces cas les bitangentes de .Zeuthen ne subissent de modification; (c)nœuds produits par l'intersection mutuelle de deux branches extérieures l’une à l’autre; (d) nœuds qui se produisent quand une branche d'ordre pair se décompose en deux branches d'ordre impair qui se coupent. Dans les cas où les bilangentes de Zeuthen éprouvent des changements, la discussion se fait en considérant les formes représentées par l'équation wzyz — V3, quand V passe par le point d’intersection de deux droites, ou quand deux de ces droites coincident l’une avec l’autre.

249. Pour reconnaître comment on peut classer les quarliques en ayant égard à leurs branches infinies, nous remarquerons que la droite de l'infini peut rencontrer une quarque: (a) en quatre points réels, (b) en deux points réels et deux points imaginaires, (c) en quatre points imaginaires, (d) en deux points coïncidents et deux points réels, (e) en deux points coïncidents et deux points imaginaires, (f) en deux couples de points coincidents réels, (g) en deux couple: de points coïncidents imaginaires, (/) en trois points coinadents et un point réel, (2) en quatre points coincidents. On pourrait encore établir des distinctions spéciales dans les cas (d), (e), (f), (g), suivant que la droite de l'infini, dans

ss points de rencontre avec la courbe, est simplement une

premières de la Hessienne et A représente la quantité bc — f°, dans laquelle a, 6, ... sont les dérivées secondes de U. De mème ® représente la quantité Aa’+ ..., comme dans le

0° 230 (Ex. 1).

251. Pour traiter cette question, il est commode de commencer par étudier préalablement une théorie plus générale dans laquelle se trouve comprise celle des bitangentes. Considérons d’abord laforme UW = V?, dans laquelle U, V, W représentent des coniques ; elle contient implicitement seize constantes ; on peut, par conséquent, y ramener l'équation de toute quartique, et cette réduction est possible d’une infinité de manières, “omme nous le verrons d'une manière plus complète dans la suite. La forme de l'équation montre que U et W sont tangentes chacune à la quartique en quatre points, ceux où elles rencontreut respectivement V?. Nous avons déjà discuté (Sections coniques, n° 270) l'équation UW = V? quand U, V, W représentent des droites; les résultats que nous avons obtenus sont encore applicables au cas où ces quantité: représentent des coniques, à la condition d’y apporter les modifications convenables. Il suffira simplement de nous rappeler que deux coniques, représentées par des équations de la forme XU + pV + %W = 0, au lieu de se couper en un seul point, se rencontrent suivant quatre points, et que, si l'on nous donne un point d’une conique dont l'équation doit pouvoir être mise sous cette forme, nous en connaissons nécessairement trois autres points; en effet, si nous avons AU'+- a V'+ y W! = 0, la conique ÀU + pV + »W = o passera, cela est clair, par les quatre points déterminés par les

équations De D = LA Il résulte, de la discussion faite

‘ans les Sections coniques et qu'on vient de rappeler, que la

Le nt EE

Jacobienne de U, V, W; cette courbe peut aussi se définir comme le lieu d’un point dont les polaires par rapport à toutes les coniques du système aU + BV + YW — 0 se coupent en un même point. Si nous considérons deux coniques faisant partie de ce système, l'équation d’une conique passant par leurs points d’intersection doit être de forme similaire et par conséquent les points d’intersection de chacun des trois couples de droites qui joignent les quatre intersections des deux coniques doivent être situés sur la Jacobienne. Si les deux coniques sont tangentes, deux de ces trois points d'intersection coïncident avec le point de contact; et par conséquent, si deux coniques du système 2U + BV +YW sont tangentes l’une à l’autre, leur point de contact se trouve sur la Jacobienne.

En second lieu, le système 2U + SV +YW peut être considéré comme un système de coniques polaires d’un point variable (aBy) par rapport à une certaine cubique fixe, qui a pour Hessienne la Jacobienne du système et dont l'équation peut se former quand on connaît les équations des trois coniques.

Troisièmement, si «U + $V + y W représente un couple de droites, toutes les droites de cette nature sont tangentes à une courbe de la troisième classe qui est la Cayleyenne de la cubique mentionnée ci-dessus.

233. Une conique enveloppante )?U + 2AV + W et la conique qui passe par les quatre points de contact faisant chacune partie du système 2U + $V + yW, nous en dédui- Sons en particulier que, si nous menons les trois couples de droites joignant les points de contact d’une conique quelconque qui enveloppe UW = V®, les intersections de chaque couple se trouvent sur une cubique fixe qui est la Jacobienne, et les droites elles-mêmes sont toutes tangentes à une courbe lixe de la troisième classe, la Cayleyenne. \

en considérant la cubique S dont U, V, W sont des coniques polaires. En effet, si l’équation d'une quartique est une fonction du second degré en U, V, W, en égalant cette fonction à zéro, on obtient la condition pour que la droite zU+ y V + 3W — o soit tangente à une conique fixe; il est alors facile de voir que la quartique peut être définie comme le lieu d’un point dont la polaire par rapport à S est tangente à une conique fixe, ou, en d’autres termes, comme le heu des pôles par rapport à S des tangentes de cette conique fixe; il revient au même de la définir comme l'enveloppe des coniques polaires des points de cette conique. Les tangentes doubles de la quartique correspondent aux points où la conique rencontre la H:ssienne de S.

258. Considérons maintenant deux des bitangentes d'une quartique et prenons-les pour axes des xz et des y; si nous faisons x = 0, l'équation de la quartique doit se réduire à un carré parfait, par exemple (3?-+ ayz-+ by?)? et, Si nous posons y —o, nous devons avoir de - même (2+ crs + dx?}?. Par conséquent, l’équation de la quarlique doit évidemment être de la forme

ryU=(s*+ays4+ by*+cxrs+dz*)',

cest-à-dire de la forme zy U = V?, que nous avons discutée ; celle équation peut aussi s’écrire

ry (MU +2A4V 4+ ry )=(ry +21V)*.

Comme nous l’avous vu, en outre de la valeur À = 0 qui correspond au couple de droites x)’, il y a cing autres valeurs de À pour lesquelles )2U + 24V + xy représentera un couple de droites, et, par conséquent, l'équation peut de cing manières différentes se ramener à la forme wxyz— V?. Donc, par les quatre points de contact de deux bitanéehtes quelconques, nous pouvons mener cing coniques,

S. — Courbes planes. 21

TANGENTES DOUBLES. 323 contact d'ordre supérieur sont situés sur la cubique dont nous avons parlé en dernier lieu. Comme il y a 63 groupes, on peut mener en tout 756 coniques de ce genre.

257. Nous allons montrer comment on peut former un tableau des 315 coniques et, à cet effet, nous représentons provisoirement les 26 premières bitangéntes par les lettres de l'alphabet, en ajoutant les deux symboles © et | pour indiquer les deux autres. Nous représentons par abcd la conique qui passe par les huit points de contact des bitangentes a, b, c, d. Si maintenant abcd, abef sont deux des 315 coniques, les couples ab, cd, ef appartiennent au même groupe et, d’après ce que nous avons vu, cdef sera une autre de nos coniques. On peut aussi le démontrer directement

comme il suit. Soit abed = V? l'équation de la quartique, ou

ab(cd + 2XV + #ab)=(V + dab)’.

Nous pouvons déterminer À de manière que l’on ait cd + 21V + ab — ef.

Tirons V de cette équation et portons sa valeur dans l'équation de la quartique ; il vient ab? + cd + ef — 2 abcd — 1) abef — 2cdef — 0

ou bien 4cdef =(cd + ef — dab).

Cette forme démontre le théoréme énoncé. On voit ainsi que, étant donnés trois couples de droites qui doivent étre des couples de bitangentes du même groupe d'une quartique, l'équation de la quartique sera de la forme

IVab + mycd + nef = 0,

A sorte que, si l’on donnait deux points de plus, on pourrat trouver une quartique unique satisfaisant aux conditions

Nous voyons précisément de la même manière que si abe/, acmn sont deux coniques, il existe entre elles une identité

. I Tr, I Gb pe)(a— fd) = Xe umn

et, par conséquent, les diagonales du quadrilatère efmn passent l’une par ad, l’autre par bc; en d’autres termes, les intersections de chaque couple de bitangentes sont, d’après une certaine loi, situées trois par trois sur des droites: Quand on a une fois fait un tableau des 315 coniques, il n’y a aucunc difficulté à distinguer quelle est la diagonale qui passe par ad et quelle est celle qui passe par bc. Par exemple, si nous savons que aemu, afnv, aduv sont des coniques du système, nous concluons de la même manière que les diagonales emfn passent par ad uv, et que par conséquent ad est 'silué sur la droite qui joint en, fm. Considérons maintenant une conique abcd; elle appartient aux trois groupes ab, cd, ..., ac, bd, ... et ad, bc, ..., et nous voyons maintenant que chacun des seize quadrilatéres que l’on forme en combinant un des quatre autres couples appartenant au groupe ac, bdavec un couple du groupe ad, bc aura une diagonale passant par ab. Mais le couple ab fait partie de cinq coniques différentes et, par conséquent, il y a quatre-vingts quadrilatéres qui ont une diagonale passant par ab. On trouvera, comme nous l’avons indiqué, que ces quadrilatères peuvent se partager en couples ayant une diagonale commune; donc, par chacun des 378 points ab, on peut mener 4o droites qui passent chacune par deux autres points du même genre, et il y a en tout 5040 de ces droites.

29. Nous pouvons maintenant former un tableau des 315 tangentes, dans lequel il n’y aura plus rien d’arbitraire que la notation. Commençons par écrire le groupe ab, cd, ef, gh, tj, kl; comme les groupes ac, bd et ad, bc ne peuvent

joignant chaque couple des huit points de l’espace qui sont les intersections de trois surfaces du second degré. Nous ne faisons ici aucun usage de principes de Géométrie de l’espace, mais nous empruntons simplement la notation que suggère

la méthode de Hesse (1). N

260. Prenons huit symboles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Leurs combinaisons deux à deux nous donnent 28 symboles 12, 13, ++, 78 que nous emploierons pour représenter les 28 bitangentes. Cette notation, quand les symboles sont convenablement appliqués aux 28 bitangentes, nous permet de représenter correctement leurs relations géométriques, quoiqu'elle soit complètement en défaut pour faire ressortir la, symétrie du système. En effet, la notation pourrait donner l'idée que la bitangente 12 se comporte difléremment avec les bitangentes 13, 14, ... et avec les bitangentes 34, 56, ..., tandis qu’il n’y a réellement pas de différence geométrique entre les relations d’un couple quelconque de bilangentes. Nous supposerons les symboles appliqués de tene manière que 12, 34, 56, 78 représentent des bitangentes dont les huit points de contact soient sur une conique. La même Propriété appartiendra alors à tout tétrade ou système de quatre bitangentes représenté par un système semblable de duades ou de deux symboles, c’est-à-dire par quatre duades quelconques contenant tous les huit symboles. Mais, si nous faisons le compte de ces arrangements, nous trouvons que

(‘) Un autre mode de rattacher la théorie des 28 bitangentes avec la Géométrie de l’espace a été employé par Geiser, Mathematische Annalen, LT. 129; c'est le suivant : D’un point d'une surface cubique, on peut mener un cône du second degré tangent à la surface. Ce cône sera une surface non singulière, ses plans bitangents sont le plan tangent à la cubique en son fMmmet et les plans qui joignent le sommet aux 27 droites de la surface. Leathen démontre que sa classification des quadriques basée sur la réalité de leurs bitangentes conduit par une voie différente aux résultats que Shläfi a obtenus en classant ces surfaces du troisième ordre d'après la réalité de leurs droites.

COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. 329 apparence, mais qui ne diffère pas quant aux relations géométriques. Si de méme nous appliquons la méme substitution bifide que ci-dessus au tétrade 15, 67, 28, 34, qui appartient au système des 105 dont on a déjà parlé, nous obtenons 15, 58, 82, 21, qui rentre dans le systéme des 210 et qui, suivant la règle, possède les mêmes propriétés géométriques.

262. Dans le Tableau qui suit, M. Cayley a fait ressortir les relations géométriques des bitangentes, prises une à une, deux à deux, trois à trois ou quatre à quatre, et le nombre de lermes appartenant à chaque type d’arrangement de symboles.

soumne me de canacrinE GÉOMÉTRIQUE.

représentatif. es I fa 28 28|Bitangentes.

68 F fe [IS 3alcouples de bitangentes

Triades de bitangentestelles que 6 points de contact sont sur une conique.

à 1680 | aor6|Ttiades tels que 6 points de contact ne ÿ 280 sont pas sur une conique.

TUL |12.34.56.78] 105 } 3 ".|Tétrades tels que les 8 points de con- D |1a.23.35.41] 210) °°] tact sont sur une conique.

UV |12.34.56.6 2520 34.45.56} 504 |

j ae | asuaolTétrades tels que 6 des 8 points de con- 73.31.44] Bo tact sont sur une conique.