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nn dote, the de cho sn ons (ls 2,777 D

COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. 331 sont toutes tangentes à la même conique, comme le montreront les recherches d’Aronhold que nous allons indiquer ici. Les six tangentes de chacun des 5040 hexades peuvent se distribuer en trois couples dont les points d'intersection sont sur une même droite-(voir n° 258).

263. Nous terminons cette discussion des bitangentes en donnant un aperçu de la méthode par laquelle Aronhold a démontré ( Monatsberichte de Berlin, p. 499 ; 1864) qu’étant données sept droites arbitraires, on peut trouver une quartique qui ait ces droites pour bitangentes et dont les autres bitangentes peuvent se déterminer par des constructions linéaires. La méthode repose sur les propriétés d’un système de courbes de la troisième classe ayant sept tangentes communes; mais il semble à propos de les établir d’abord sous l forme réciproque avec laquelle le lecteur est plus familier, c'est-à-dire de les déduire comme propriétés d’un système de cubiques passant par sept points donnés.

1° Considérons une cubique quelconque du système; si l'on joint le huitième et le neuvième point où elle est coupéc par une autre cubique du système, la droite qui réunit ces points passe par un point fixe de la première cubique, qui est le corésiduel des sept points donnés (n° 160).

2 Par un point arbitraire 8, on ne peut décrire qu'une seule cubique pour laquelle ce point soit le corésiduel des sept points donnés; car toutes les cubiques du système qui passent par le point 8 passent par un autre point fixe 9 et, par définition, le corésiduel est le point où la droite qui joint ces points rencontre de nouveau la courbe. Si donc le corésiduel doit coincider avec le point 8, la cubique devra être la courbe qui est déterminée par la condition d’avoir la droite 89 pour tangente au point 8.

3° On peut décrire quatre cubiques du système de ma-

Mère qu'elles soient tangentes à une cubique donnée du sys-

soréiiducliostJélpoint P ak ial rencontre de nouveau la ¢ double, qui a pour ti intersections de la ne

COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. 333 peuvent se diviser de 21 manières en un système de deux points et un autre de cing points. La courbe que nous considérons a donc 21 points doubles, un sur chacune des a1 coniques déterminées par cing des points donnés. 7° De plus, lesse pt points eux-mêmes sont des points

doubles de la même courbe ; car, par six des points donnés, on peut décrire une cubique ayant le septiéme pour point double,

et il est facile de voir que le point double est le corésiduel pour cette cubique. Les quatre tangentes qu’on peut mener de ce point à la cubique se réduisent à deux couples de tan-. gentes coincidentes; ce sont les tangentes à la cubique au

point double. La courbe enveloppe a donc 28 points doubles,

dont 7 sont les 7 points donnés; le couple de tangentes en

chacun de ces sept points est le même que celui de la cubique - du système qui a ce point pour point double.

264. 1° Réciproquement, si nous avons un système de courbes de la troisième classe tangentes à sept droites données, et si nous considérons une courbe quelconque du système, la huilime et la neuvième tangente communes à celle-ci et à une autre courbe du système se coupent sur une tangente fixe de k courbe qu’on a choisie, el cette tangente peut s’appeler la corésiduelle pour cette courbe des sept tangentes données.

2° Il y a une courbe du système qui correspond à une droite arbitraire, et qui a elle-même cette droite comme corésiduelle des tangentes données.

3° Une courbe quelconque du système est touchée par quatre autres courbes; les points de contact sont ceux où la tangente corésiduelle rencontre de nouveau la courbe, qui, élant une courbe générale de la troisième classe, est du sixième degré. |

4° Le lieu des points où deux courbes du système sont tangentes est une courbe du quatrième degré; les points où une droite quelconque rencontre ce lieu sont les quatre points

‘we

point sur une tangente à une conique, de trouver l’autre tangente par des constructions linéaires. Ces deux tangentes étant ainsi construites et leur intersection trouvée, les tangentes restantes menées de ce point à chacune des coniques en question seront les deux corésiduelles cherchées, et par conséquent deux bitangentes. Ou autrement, si nous considérons les trois systèmes 12345 ,67; 12346 ,57 ; 12347,56, et si nous déterminons de la manière qu'on vient d'indiquer la huitième et la neuvième tangente restante, communes à chaque couple de systèmes, les trois intersections de ces couples de langentes jointes entre elles donneront trois des bitangentes cherchées. La bitangente qui est la corésiduelle du système 12345,67 peut s'appeler la bitangente (67); et, de cette manière, les vingt et une bitangentes peuvent se représenter par des combinaisons des symboles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5. Nous avons en plus les sept droites données; si nous introduisons un nouveau symbole 8 par raison de symétrie, et si nous représentons ces dernières par (18), (28), (38), (48), (58), (68), (78), nous serons conduits, par la méthode d’Aronhold, à un algorithme identique à celui de Hesse.

266. L’intersection des huitième et neuvième tangentes communes à deux courbes quelconques du système est un point par lequel passe la tangente corésiduclle à chacune de ces courbes. Considérons les systèmes cubiques complexes 12, 34567; 34, 12567; une des tangentes communes cst la droite qui joint les points 12, 34, c'est-à-dire, dans l'algorithme quon vient d'indiquer, la droite qui unit les intersections des droites (18), (28); (38), (48), et nous voyons maintenant que celle droite passe par l'intersection des corésid uelles des deux systémes que l’on considère, c’est-à-dire par le point (12), (34). Nous arrivons de cette manière au théorème déjà démontré (n° 258), que les points d’intersection des drottes (18), (28); (38) (48); (12), (34) sont situés sur une même ligne droite ;

a ey, ee S : d

COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. 337 car nous trouverons les autres tangentes passant par un point de cette droite en remplaçant dans l'équation ci-dessus « par ka + ua”, .... L’équation devient alors divisible par py? et, après la division, il vient

uw Bly wow Bly + BY Mie oF va |+amie 67 y'a + Y'a we oa æp'i [og 7 a'B + a8!

| | wu’ un Bry’ + pile oe” ya" |= 0; wi ow" a8"

la symétrie de l'équation montre que les couples de tangentes sont les mêmes que ceux qu'on peut mener par l'intersection

des droites 2’ 3’y’, a’ B”y" aux courbes

, a u' By lu Ou" By yp vw yz | —0, vy oye} —0o.

w ww! a8 w w" 26

Ainsi 43’, x”B”y" étant respectivement les troisièmes tangentes menées à chaque courbe par l'intersection des huitiéme et neuvième tangentes communes aux deux courbes, elles sont, par définition, les tangentes corésiduelles. Les deux courbes seront tangentes à la condition que l'équation quadratique en À et ait des racines égales, ou bien, si nous représentons par P, Q, R les coefficients de cette équation, elles seront tangentes si Q? = 4RP.

Si nous représentons par X, Y, Z les déterminants mineurs po" — ow, wu! — w"u', u'v" — w'v!', nous avons

P= BX + JaY + 2! IZ, Q= (PT + PIX + (y'a + y'a) Y + (‘+28 YZ, R= BY X + VaY+ a'8"Z.

Mais, à la place de DV — By’, Ya — Val, a/8"— a3’, nous S. — Courbes planes. . 22

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES. 339 Cest la forme la plus générale de |’équation d’une quartique ayant trois couples de lignes x, X, ... comme couples de bitangentes du même groupe. Si l’on nous donnait une sepuéme bitangente, /, m, n seraient complètement déterminés parles coordonnées de cette bitangente, à savoir

la'u!' = mB eo! = uy'w';

d'où il résulte que mn, nl,,lm sont respectivement proportionnels à au’, Be’, yw’. Si donc on nous demande de décrire une quartique ayant sept droites données comme bitangentes, en outre de la quartique déterminée (n° 265) dans l'hypothèse que deux tangentes n'appartiennent pas au même groupe, nous pouvons en décrire (7 =< 15) — 105 autres en suivant la méthode de ce numéro, c’est-à-dire en laissant de côté une des sept droites et en divisant les six droites reslantes en trois couples, ce qu'on peut faire de quinze manières différentes. .

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES.

263. En dehors de ce qui se rapporte aux bitangentes, la théorie des quartiques non singulières a été peu étudiée et ce qui nous reste à dire sur ce sujet sera donné dans la dernière Section de ce Chapitre, où nous parlerons des invariants et covariants. Pour compléter la théorie des bitangentes, nous devrions considérer les modifications qu’éprouve cette théorie quand une courbe a un ou plusieurs points doubles. Cependant le cas où la quartique n’a qu'un nœud n’a pas attiré l'attention et ne sera pas discuté ici. Les quartiques qui ont deux nœuds, et pour lesquelles ces points sont les points circulaires de l'infini, ont été l’objet d’études approfondies(‘) -

(") Voir, en particulier, le Mémoire du D° Casey : Transactions of Royal Irish Academy, vol. XXIV, p. 457; 1869.

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES. 343 où le second membre de l'équation se décompose en facteurs. On peut, parconséquent, discuterles quartiques bicirculaires -

et binodales en considérant la forme UW = V? et en regardant la quartique comme l’enveloppe de 2U+2AV4+ W=o, dans laquelle U, V, W sont, dans le premier cas, des cercles, et, dans le second, des coniques passant par les nœuds: et il est nécessaire d’examiner seulement comment cette limi-

lation modifie les résultats déjà obtenus (n‘* 254 et suivants).

273. Quand trois coniques ont deux points communs, leur Jacobienne se décompose en une droite joignant ces points et en une conique qui passe par ces mêmes points; et quand les trois coniques sont des cercles, la conique Jacobienne est le cercle qui les coupe à angle droit (Sections coniques, n° 383, Ex. 3). La Jacobienne étant un déterminant, la Jacobienne dœaV+ BV +YyW = o est la même que celle de U, V, W, et, quand U, V, W sont des cercles, tous les cercles compris dans cette équation ont un cercle orthogonal commun.

Si U, V, W sont des cercles, ayant pour coordonnées de leurs centres 2, Yi 31, 22 Ya 32) L3 V3 53, les coordonnées du centre de }?U +- 2ÀV + W seront porportionnelles à

Ma,;+20Gg+ 23, My t 2A yet+ Ya, MS +252 + 43,

et le lieu du centre, quand À varie, sera évidemment une tonique. Donc la quartique UW = V? peut être regardée comme l'enveloppe d’un cercle dont le centre se meut sur une conique fixe F (') et qui coupe orthogonalement un cercle J. Dans le cas plus général d’une quartique binodalc, lL, V, W étant des coniques passant par les points fixes, UW=V?est l’enveloppedela conique variable \?U+2AV-+W

qu passe par les points fixes; toutes les coniques variables

(9 M. Casey a démontré que les foyers dt cette conique sont les mémes que les foyers doubles de la quartique.

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES. 345 elle représente des droites, se composer de deux droites dont une passe par chaque point, ou bien de la droite joignant les points et d’une autre droite. Dans le premier cas, les deux droites ne sont pas des bitangentes proprement dites de la quartique UW = V?, mais des tangentes ordinaires passant par un nœud (toute droite passant par un nœud étant une tangente); dans le dernier cas, une des deux droites est une bitangente proprement dite; l’autre est la droite qui joint les

points. Parmi les six valeurs de A, il n’y en a que deux qui cor-

respondent au cas des bitangentes proprement dites. Car siL est la corde commune a U, V, W, V et W seront respectivement alors de la forme aU + LM, BU + LN; et

MU -+-2XV + W aura L pour facteur, si À est une des

racines de l'équation À? + 24a + b= o. Ainsi, dans le cas

de quartiques bicirculaires, quand U, V, W représentent des cercles, il y a évidemment deux valeurs de À pour lesquelles

le coefficient de x? + y? s’annule dans \?U +:24V4- W = 0 et, pour chacune de ces valeurs, l'équation représente une droite bitangente à la quartique UW — V2. Nous pouvons déduire géométriquement ce mème résultat de la constructon du n° 273. Si le cercle XU + 2XV + W devient une ligne droite, son centre passe à l'infini'et doit par conséquent être le point à l'infini sur une des deux asymptotes de k conique F; les deux bitangentes sont les deux perpendiculaires abaissées du centre de la Jacobienne sur ces asymptotes.

Dans chacun des quatre autres cas où le discriminant de LU + 2AV+ W= o est nul, l'équation représente un couple de tangentes à la quartique, qui passent chacune par un des points circulaires à l'infini et dont l'intersection est par conséquent un foyer de la quartique; ou bien, ce qui tevient au même, ?U + 2XV + W est un cercle infiniment Peut dont le centre est le foyer et qui a un double contact avec la quartique. Si l’un des deux cercles orthogonaux se

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES. 347 la forme AB — V1, A et B étant des points-cercles. Les quartiques bicirculaires peuvent se diviser en deux classes, suivant que les deux autres valeurs de À pour lesquelles A+a\V + )2W? se réduit à un point-cercle sont réelles ou imaginaires, ou, en d'autres termes, suivant que les quatre foyers réels sont ou ne sont pas sur un méme cercle. Dans le premier cas, soit C un des deux points-cercles, et, comme dans le n° 257, éliminons V entre les équations AB = V? et A+ 2hV + )?B = O; nous voyons que l'équation de la quartique peut étre écrite sous la forme

IVA + myB + nVC=0,

c'est-à-dire que cette courbe est le lieu d’un point tel que ses distances a trois points fixes sont liées par la relation

lp+mp'+np" =0.

La condition pour que LVA+ myB+n VC soit tangentc | Pmt at àA+uB+vCest (Sect. coniques, n° 130) 7+ 7 + —=0, et, si A, B, C sont des points-cercles et a, b, c les longueurs des droites qui joignent ces points, il est facile de vérifier que

2 2 lediscriminantdeA À + uB-+vCs’annulera si a + = += 0. Les deux équations qu'on vient de donner déterminent à, p, » et par conséquent le quatrième foyer.

Nous avons vu (Sect. coniques, n° 94) que, si A, B,C, D sont

Quatre points-cercles, nous avons identiquement bcd.A + cda.B + dab.C + abc.D — 0,

abc étant l’aire du triangle dont les sommets sont a, b, c. Donc à, p, sont proportionnels aux aires des triangles formés par le quatrième foyer et chaque couple de deux des trois autres foyers. Dans le cas où les trois points a, b, c sont en ligne droite, on peut facilement démontrer que les carrés des

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES. 349 comme on le voit immédiatement en éliminant À, p, v entre les trois équations

P Om? n° V2 mn” a bt?

hop v À ue v À le v

Afin de trouver ensuite la condition pour que les quartiques se coupent à angle droit, nous devons admettre, et le lecteur le vérifiera sans difficulté, que si À, B, C sont des points-cercles et si a, b, c ont la mème signification que cidessus, la condition pour queAA +uB+vC, \'A+uB+vC se coupent à angle droit est

a? (pv! +pv)+b!(vX + vi) + c(Au + Alp) =O.

Nous observerons de plus, comme dans les Sections coniques, n° 130, qu’en tout point pour lequel les valeurs de VA, VB, VC sont respectivement 9, p’, p”, la quartique lYA + m/B-+ nyC sera tangente au cercle ! A+ T B + de C=—o.

La condition pour que ce cercle coupe orthogonalement le cercle tangent à VA + m' JB + n' VC est ! LU ? ! ! !

arr +mn bt nin of lm + Pm PP PP PP mais, en résolvant les deux équations

lo+mo'+np"=0, l'o+m'o + np —0,

nous trouvons que p, p’, p” sont respectivement proportionnels à mn! — m'n, nl — n'l, lm' — Um. Portons ces valeurs dans l'équation précédente et nous verrons que la condition Pour que les cercles se coupent orthogonalement est

@"(m? n't — mnt)+ bn n'?P) + ct (2 m'?— I'tm?)=0.

C'est la condition qu’on adéjà obtenue pour que les coniques

QUARTIQUES BINODALES RT BICIRCULAIRES. 35 sur QR) est aussi un point de la courbe (n° 150). H en est de mème pour les points où OQ rencontre PR et où OR rencontre PQ. On peut démontrer aussi que les tangentes en ces

Fig. 47.

points aux deux cubiques qui y passent se coupent à angle droit. Ainsi les sept points communs aux deux cubiques qui ont A, B, C, D pour foyers sont déterminés par des constructions simples, etnous pouvons arriver parprojection à des théorèmes dont quelques-uns ont déjà été énoncés; par exemple (n° 152), si des tangentes correspondantes prises en ordre quelconque et issues de deux points I, J se coupent mutuellement aux points A, B, C, D, les centres du quadrangle formé par ces points seront aussi des points de la cubique ; et ils ont pour point tangentiel commun le point où IJ rencontre de nouveau la courbe; le poiut de contact de la quatrième tan-

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES. 353 Autrement dit, les deux cubiques constituent le lieu de l'intersection de deux coniques semblables dont les foyers sont respectivement A et C, Bet D. Les coniques semblables, qui se coupent en QO, ont évidemment pour tangente commune une des bissectrices des angles en O; celles-ci sont donc, comme on l’a énoncé, les tangentes aux deux

cubiques qui constituent le heu et qui par conséquent se coupent à angle droit.

280. Les quartiques bicuspidales peuvent être considérées comme un cas limite de quartiques binodales. Dans le cas où les deux rebroussements sont les points circulaires I, J, à l'infini, la courbe s'appelle une Cartésienne. Descartes a étudié cette courbe (connue d’après cela sous le nom d'ovale de Descartes) en la considérant comme lieu d’un point O, dont les distances à deux points fixes A, B sont liées par la relation L + mp'=c. M. Chasles a démontré, et on peut le vérifier sans difficulté, que, tant que cette relation subsiste, on peut trouver sur la ligne AB un troisième point C dont la distance à O satisfait à une relation de la forme fb + no” =c’'; en d’autres termes, outre les foyers considérés par Descartes, l’ovale possède encore un troisième foyer jouissant de la même propriété. Nous employons ici le mot de Cartésienne dans un sens un peu plus étendu. Nous montrerons que, lorsqu'une quartique a deux points de rebroussement en I et J, elle a trois foyers situés sur une ligne droite. Quand ces foyers sont réels, la courbe est la méme que celle qu’a étudiée Descartes; quand deux d’entre eux sont imaginaires, nous appellerons encore la courbe une Cartésienne, quoique le mode de génération de Descartes ne lui soit plus applicable. L'équation de la Cartésienne peut d'une manière générale se mettre sous la forme S? = k?L, dans laquelle S représente ‘a cercle, L une droite et & une constante ( ou, ce qui revient *U même, — o est la droite de l'infini). Sous cette forme,

S. — Courbes planes. 23

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES. 355

Quand c est égal à zéro dans l’équation qui précède, celleci devient p = a + bcosw, et en outre des deux rebroussements I, J, l'équation a l’origine pour point double. Cette courbe est appelée le limaçon de Pascal; elle peut évidemment être engendrée en portant une longueur constante sur les rayons vecteurs issus d'un point d'un cercle, et à partir des points où ils rencontrent ce cercle. Side plus a = b, la courbe devient tricuspidale et est appelée cardioide. Elle est engendrée comme la précédente, mais en ajoutant ou retranchant

auxrayons vecteurs une longueur égale au diamètre. L’équa- ‘ 4 tion peut s’écrire sous la forme p* = m? cos; w.

281. Les propriétés focales que nous avons discutées peuvent être étudiées par la méthode d’inversion (n° 122). Il est facile de voir qu’à un foyer d’une courbe correspond un foyer de la courbe inverse et que l’origine ou centre d’inversion sera un foyer si les points I, J à l'infini sont des rebroussements. Ainsi, pour la Cartésienne qui a trois foyers collinéaires, la courbe inverse par rapport à un point quelconque est une quartique bicirculaire ayant trois foyers sur un cercle passant par l'origine qui est aussi un foyer. En faisant l’inversion, siO est l'origine, A, B deux points et a, b les points inverses, nous de-

D Donc à une rela- Oa.Ob

tionquelconque de la forme AAP + u BP = C correspondra une relation de la forme l'ap + u'.bp =c'.Op; et si nous considérons une quartique bicirculaire comme l'inverse d’une Carté sienne, nous arrivons de cette manière à la propriété fondamentale des quartiques bicirculaires. D'une relation de la forme À. AP + u BP + vCP =o on peut de même déduire unerelation À’. ap + p'.bp +v'.cp.L'inverse d’une quartique bicirculaire, quand le centre d'inversion est situé surlacourbe, tStune cubique circulaire qui possède parconséquentlesmêmes Propriétés focales. Une cubique circulaire, ou une quartique

vonsremplacer une distance AB par

QUARTIQUES UNICURSALES. 357

passent par B. Pour une quartique binodale prise au hasard, il n'est pas possible de trouver un point P tel qu'il existe un polygone fermé d'un nombre pair donné de côtés; par exemple, un quadrilatère PQRSP, dont les côtés PQ, RS passent par À et les côtés QR, SP par B. Mais la quartique peut être telle qu'il existe un polygone de l'espèce que nous considérons (pour ce qui regarde le quadrilatére, c'est évidemment lecas, puisque, en considérant un quadrilatére construit à volonté, PQRSP, et en prenant A à l'intersection de PQ, RS et B à celle de QR, SP, nous pouvons décrire une quartique passant par les points P, Q, R, S et ayant les points A et B pour points doubles) et quand il en est ainsi, c’est-à-dire quand il existe un de ces polygones, il y en a une infinité; on peut prendre pour premier sommet un point arbitraire P situé d’une manière quelconque sur la courbe, et le polygone construit comme on l’a dit ci-dessus se fermera de luimême.

QUARTIQUES UNICURSALES.

983. Si nous prenons les points doubles pour sommets du triangle de référence, l'équation de la courbe doit se présenter sous la forme

a+ bsrt+ cat +a2frtys + agy 2x + 2h35 zy =o,

que nous pouvons écrire

1 \? t\? 1 \? I I i aj—) + b(-) +c 3) +2f—+2g—+2h --=0.

x, y 5 ys ox TY Nous voyons ainsi que la quartique peut étre engendrée au moyen d’une conique, dans l'équation de laquelle nous rem- Placerons chaque coordonnée par son inverse; on peut donner

4 cette opération le nom d’inversion, en entendant ce mot dans un sens plus large que celui où nous l’avons employé

jusqu'ici. Il est facile de représenter cette transformation par une construction géométrique. Supposons que les coordonnées d’un point soient proportionnelles aux perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du triangle de référence, et soient P, P’ deux points dont les coordonnées sont liées par les relations réciproques f æiyis=ysisataly, a'iyts=ysisntæ; nous avons vu (Sections coniques, n° 55) que les droites qui unissent P, P' aux sommets du triangle font des angles égaux avec les côtés; ou, en d’autres termes (Sections coniques, n° 384) que, si P estun foyer d’une conique tangente àx, y, 3, P'sera l’autre foyer. En général, dans cette méthode, à une position quelconque de P correspond une position unique, bien définie de P’. Si cependant nous avons #—0, c'est-à-dire si P' est situé quelque part sur la droite BC, yet 3 sont tous deux égaux à zéro, P coïncide avec A et réciproquement A a pour correspondant un point quelconque de BC. Il faut toutefois remarquer que, lorsque #—0, les valeurs de y et 3 qui sont respectivement égales à 3/2’, 9/2’ ont un rapport défini 3! zy’, bien qu’elles s'annulent, et que pareonséquent à un point quelconque P' de BC correspond un élément passant par À et dont la direction est bien définie. Par le fait, P se trouve bien infiniment près de A, mais ilest situé sur une direction donnée, qui est telle que (comme dans le cas général) AP, AP’ font des angles égaux avec les côtés. Si maintenant P décrit un lieu quelconque, l'autre point P décrira un lieu correspondant ; ainsi, si le lieu déerit par P est la ligne droite ax + by + ¢2=0, celui que décrit P'sera la conique ay's'+-bs'x'+-c2'!y’=0 (voir Sections coniques, n° 297). Si a =.0, c'est-à-diresi la droite passe par A, la conique se réduit à a! (bac! ey/)=? et, en laissant de côté la droite x! = 0 ou BC, pouvons dire qu'à la droite by + cs correspond do

QUARTIQUES UNICURSALES. 359

et, comme on l’a déjà dit, si l’un des lieux est une conique, l’autre sera une quartique trinodale.

284. Étudions en détail la correspondance de la conique et de la quartique; la conique rencontre chaque côté du triangle, BC par exemple, en deux points; nous avons comme correspondants en A deux éléments de direction, qui sont les tangentes de la quartique en son nœud ou point double en À. Par conséquent, suivant que la conique rencontrera BC en deux points imaginaires, lui sera tangente ou la coupera en deux points réels, la quartique aura en À un point acnodal, cuspidal ou crunodal; il en sera de même pour les autres côtés. Ainsi, si la conique est une ellipse ou, par exemple, un cercle situé tout entier à l’intérieur du triangle, la quartique

Fig. 48. Fig. 49.

Fig. 50. Fig. 51.

[ \ \ / | ) | Sera une courbe triacnodale composée d’une figure à trois côtés

située dans l’intérieur du triangle et des trois sommets comme

Points conjugués (fig. 48). Si l'ellipse est'inscrite dans le

triangle, la quartique sera tricuspidale (fig. 49). Si l'ellipse coupe chaque côté en deux points réels, la quartique sera tricrunodale; si sur chaque côté les intersections sont internes, nous aurons la fig. 50, tandis que, pour les intersections externes, nous obtiendrons la fig. 51.

Remarquons que, dans le passage d'une forme à une autre, l'ellipse doit passer successivement par les sommets du triangle et que, quand l'ellipse passe par un sommet, la quartique correspondante se décompose en une droite et une cubique: La transition ne peut se faire par une quartique ayant un point triple (à première vue, il semblerait paler is ar est ainsi). \"

La discussion complète des différentes Sortnes; sean ith ressante et peu difficile; mais elle prendrait beaucoup de place; il serait nécessaire (dans le cas présent, où il s'agit de courbes planes) de considérer les coniques qui, dans chaque figure, correspondent à la droite de l'infini de l’autre figure. Pour la théorie analogue, dans le cas de figures sphériques, il n'y a pas de coniques de ce genre et la théorie se simplifie considérablement.

285. Le mode de génération des quartiques trinodales que nous venons d'indiquer conduit immédiatement à diverses “propriétés de la courbe. On sait que, si une conique coupe les côtés BC, CA, AB d'un triangle et que de chaque sommet on mène des droites qui réunissent ces sommets aux poinls d'intersection situés sur les côtés opposés, ces six droites sont tangentes à une conique ; et il est facile de montrer, de plus que si, au lieu des deux droites issues de chaque sommet, nous considérons les deux droites inverses, celles-ci rencontreroil les côtés opposés en six points situés sur une conique a que, conséquemment, les six droites inverses sont aussi lat ps à une conique. En effet, siles droites(æ=4y, #=49) = fa, y=#'s), (2 = Ye, s=7 x) renconteent les edtés

| QUARTIQUES UNICURSALES. 361 “== 0, ¥=0, 3—0 en six points situés sur une conique, il est facile de voir que ax BB’ yy’=1 est une relation qui ne change pas quand on remplace «, 8, y, «', 8’, y! par leurs inverses. Mais, si une conique est transformée en une quartique trinodale, 11 résulte de ce qui précéde que les tangentes en un point double de la quartique sont les inverses de droites menées de A aux points d’intersection de BC et de la conique. Les tangentes aux neeuds A, B, C sont donc tangentes à une seule et même conique. On aurait pu aussi déduire directement ce théorème de l'équation de la quartique.

286. D’une manière analogue, si des points A, B, C nous menons des tangentes à une conique, il est facile de démontrer que les six droites inverses sont aussi tangentes à une même conique. Mais, en transformant la conique en une quartique trinodale, les tangentes menées de A à la conique deviennent des tangentes menées du nœud A à la quartique (pour une courbe de classe n, le nombre des tangentes menées par un nœud est n— 4 et par suite, pour une quartique trinodale, ilest 6 — 4 = 2) et nous avons ainsi le théoréme suivant : Les six tangentes menées des trois nœuds à la quartique Sont tangentes à une seule et même conique.

287. Aux bitangentes de la quartique correspondent des Coniques passant par À, B, C qui ont un double contact avec la conique ; et aux tangentes stationnaires de la quartique correspondent des coniques passant par A, B, C et ayant un Contact stationnaire avec la conique. On peut démontrer que les nombres de ces coniques sont respectivement 4 et 6, ce qui correspond à + — 4 et t= 6. Mais pour les bitangentes le résultat peut se d‘duire immédiatement de l’équation de la Œurbe, qu'on peut écrire sous la forme

(24/4 + 5x Vo + zyVc}) = = 22y3[(Vbc —f)x +(yea— g)y + ab — hz].

QUARTIQUES UNICURSALES. 363 s’écrire sous la forme uw = v?, celle de la quartique est immédiatement donnée sous la forme UW = V?, dans laquelle U, V, W sont des fonctions linéaires.de yz, zx, xy.

En reliant ainsi, comme ci-dessus, la quartique trinodale avec une conique, nous avons aussi vérifié que la courbe est unicursale. Comme les coordonnées x’, y’, 3’ d’un point de la conique peuvent s'exprimer par des fonctions quadratiques d'un paramètre 0, les coordonnées 3’:/, z/x, x!y' du point correspondant de la quartique sont immédiatement données comme fonctions biquadratiques du même paramètre.

La théorie des quartiques trinodales qui précède s’étend au cas où quelques-uns des points singuliers ou tous ces points sont des rebroussements. S'ils sont tous des points de rebroussement, l'équation de la courbe peut être ramenée a

la forme + + 2 — o; les tangentes aux points de rebroussement sont z = y = 5, et elles se coupent en un même point. Nous pourrions le voir par voie de réciprocité, carla réciproque est une cubique dont l'équation peut être

écnte sous la forme x ae 3 o. Quand la courbe a deux points de rebroussement et un nœud, la droite qui joint les deux points d'inflexion, celle qui joint les deux points de rebroussement et la bitangente passent toutes par le méme pont. Les cas de singularité plus élevée, dont nous avons parlé n° 243, demandent à être traités séparément.

289. L'équation d’une quartique ayant un point tacnodal est (n° 244) yt briys+ery's + dy's + er + fat y + gap + hzy + ir" —o.

Supposons qu'elle ait aussi un nœud; dans le n° 244, nous avons seulement admis que le point zy était tacnodal et que la droite y était la tangente en ce point : nous pouvons donc Prendre le point zz pour l’autre nœud. Pour que ce point

QUARTIQUES UNICURSALES. 369

en sorte qu'il existe pour ce cas une théorie analogue à celle

que nous avons établie pour les quartiques trinodales. Les constantes peuvent être particularisées, de manière que le point oscnodal devienne un point de rebroussement tacnodal, et la théorie s'étend ainsi au cas des quartiques qui présentent cette singularité. Dans tous les cas qui précèdent, nous avons exprimé les coordonnées zx, y, z d’un point de la quartique, sous forme de fonctions quadratiques d’un point variable «’, y, 3 de la conique; et, comme ces dernières coordonnées peuvent s'exprimer elles-mêmes sous forme de fonctions quadratiques d’un paramètre 4, les premières sont des fonclions du quatrième degré de ce même paramètre.

291. Dans le cas qui nous reste à considérer, celui où une quartique a un point triple (général ou de forme particuliére), la manière de procéder dont on a fait usage dans les derniers articles n’est plus applicable; mais nous pourrons obtenir immédiatement d’une autre manière les coordonnées exprimées sous forme de fonctions rationnelles d'un paramètre. Si nous prenons le point xy pour le point triple, l'équation de la courbe est de la forme zu3 = u,, dans laquelle yet u, sont des fonctions homogènes du troisième et du quatrième degré en x et y. Si nous y faisons la substitution y= (x, nous obtenons 30; = x 9,, où 8, et 9, représentent des fonctions du troisième et du quatrième degré en 4; et nous trouvons alors que xz, y’, 3 sont respectivement proportionnels à 03, 903, 6..

La méthode employée ici est exactement celle dont nous avons parlé dans le n° 44. Une droite variable y = 4.x menée Par le point triple ne rencontre plus la courbe qu’en un seul Point, dont les coordonntes peuvent en conséquence être €xprimées rationnellement en fonction de 9, et nous aurions été conduits à des résultats qui auraient été les mêmes en ‘ubstance si nous avions employé la mème méthode que dans

yaa AUR sah +40,

QUARTIQUES UNICURSALES. 367 théorie des équations nous fournit les relations

la +ma'+ na"—pp'p"y”", — 4 (lb + mb! + nb")=dplel ut + ed! eae a ee al eT",

6(le + me! + ne") AN pb" pe” + py! 7)”

+ ))7 mur + ue 7) W +A” wale wd)" ” ~§(ld + ma’ +-nd")y= ph! WM” Aw EAN I AM, le +-me'+ne® =))' "2".

Si nous éliminons linéairement ¢, m, n, À”, »” entre ces équations, nous obtenons Ja relation qui he les paramètres de trois points situés sur une même droite; c’est le déterminant

a a’ a" À —4b —46 —4b" B A 6c 6c’ 6c’ C B —td —d' —4d" D C D

e e’ e” dans lequel nous avons posé Apply’, B—apu" + Xp + i py’, C= pan? + pl") + 7K", D—=—2127.

À x! # En posant — = — = qr? Hous lrouvons que les paramètres

des points d’inflexion sont déterminés par la relation

a a’ a” pi

—4b —4b —4b" 3p2) we 6c Gc’ 6c" 3u? 3u'À | =o.

— hd —4d' —4d" }3 3ut e e’ e” . 3 Le premier déterminant développé nous donne 24(ab'c’) D* + 16(ab' d")CD + 4(ab’e’)(C?— BD) + 24(ac’ da’) BD + 6(ac’e”)(BC — AD) + 96(bc'd’) AD + 4(aa'e”)(B? — AC) + 24(bc'e")AC + 16( bd’ ec") AB + 24(cd'e") A? — 0.

QUARTIQUES UNICURSALES. 369 l'équation de la courbe pourra être écrite sous la forme

1 1 1 1 Alt+Bu-Cst+ Dis? =o.

291 9. Nous obtiendrons, comme dans le n° 216 c, la condition que doivent vérifier les paramètres d’un nœud en remarquant que la relation qui ‘le les paramètres de trois points collinéaires doit être satisfaite quand deux de ces paramètres correspondent au même nœud et le troisième à un point quelconque de la courbe. Posons

pue, Ap + MB, AA —=Y; il vient alors

Aya, B=da+p8, C—A8+ py, D=)y.

Portons ces valeurs dans le déterminant du numéro précédent et égalons séparément à zéro les coefficients de ?, dn, u?; nous obtenons les trois conditions

e e’ ev . ¥

S. — Courbes planes. 24

A gee em

‘af ota

AMP pa”

riables x, 8, ÿ et ses coefficients sont

INVARIANTS ET COVARIANTS DES QUARTIQUES. 351 A == be + 3f? — 4bse,

B-ca-:-3g3— 4c,4@,