C:.ab-- 3h? -—- 4a,b

F --af+ gh+2P—21a,n—2a;m

G- bg -+-hf+am?—2abl—abn

H-- ch +- fg + 2n*—2ce,m— 20¢,l L=.2fl— mn— gb; — he, + bic:

M= 29m — nl — he, — fa; + Cia:

N= 2hn — !m — fa; — gb, + a,b,

A=3mc,;—3nf —cb, +b,c;, As—3nb; —3mf— be, + bic:, B,-=3na, —3lg —ac;s+ ac, By,=3le, —3ng—ca; +c:a3, C,=31b, —3mh—ba;+bsa;, Ci 3mas—3lh — ab,;+ asbi.

293. Le contravariant que nous venons d'indiquer est l'évectant de l’invariant le plus simple À, lequel est du troisième ordre par rapport aux coefficients et a pour expression simbolique (123); autrement dit, on trouve s en effectuant. sur À l'opération

d d d d 5 5 T y ty2 dat? apt Vat PT aT el réciproquement les valeurs déjà données pour les coeffi-

cents de 7 nous permettront d’en déduire les coefficients de A. Cet invariant est

A= abe + 3(af? + 6g3 + ch?) — 4(ab3c, + bc,as3+ casb;) -+12(fl+ gm? + hn?) + Gfgh — 12lmn —s2(a,nf+ aymf- bing + bslg + cimh + clh) + 12(/b,c + mega, + nazb3) + 4(asbsc, + a,b, Cy.

Si nous employons la même notation que dans le n° 223, la Valeur de A peut s’écrire

r(d*) +-4(dca) + 3(db?) —12(c*b),

INVARIANTS ET COVARIANTS DES QUARTIQUES. 373 samment générale pour représenter une quartique quelconque. Mais, en formant pour |’équation ci-dessus l’invariant B, on trouvera qu il est nul et que, par conséquent, cette forme ne représentera que les quartiques pour lesquelles B=o (').

295. Pour le calcul de la valeur de B, il est commode de se servir de la valeur suivante d’un déterminant symétrique a six lignes et six colonnes, dont les éléments sont représentés par a?, ab, ac, ...; ba, b?, be,...:

ab? d? e? {2 — La? bi ctd* (ef)? + aza*bic?.de.ef. fd

+ Ea? b? (cd)? (ef)? — 22a’ b*.cd.de.ef. fc + 2Za*.bc.cd.de.ef.fb —1%at( bc} de.ef.fd + 2%(ab)*cd.de.ef.fe — X(ab)*(cd)* (ef)? ~2tab.be.cd.de.ef. fa +2 Sab.bc.ca.de.ef.fd.

La valeur développée de B est la suivante :

‘bc(fgh — fP — gm*— hn*+ 2lmn) C{Ë— Pgh+a(gm—nla,l+a(hn— ml)a;l ~(n?— fg)a}+-(m*— fh)a}-+ a(fl— mn)a a] [mm m? fh + 2(fl— mn) bm + 2(hn— ml) bym + (nt fe) bt-+ (0 — gh)b} + 2(gm — nl)by bs) b[n'— n°fg +2(fl—mna)en+ 2(gm— nl)c;n +-(m?— fh)c?+(E— gh)c!+2(hn—lm)cc] Pi bet+ ch)(fgh — fl — gm'— hn? + 4lmn) (afm'n?+ ben? ? + chlPm?*) af?(b, gn + c,hm)+~ 2bg*(c,hl + a,fn)+ ach? (a,fm + b; gl) af(bin cm )—20g(c;,F+a;n)—2ch(a;m + b,l*) afl(b,n? + c;m')+ 2bgm(c + a;n?) + achn(atm?+ 6,0) afmn(byg +¢,h)— 2bgln(c,h-+ a,f)— 2achlm(a,f+ 6g) a(b,mn*?—c,m'n)— 2b(c,nB + asln*?)— 2c(a,lm+ bm) (83 gn? + cihm*)+ b(c?hl?+ at fn?) + c(aifm'? + bi gl) afl(mb,c, + nb,c,) + 2abgm (ne,a;-+ lc,a,)+ 2chn(la,b,+ ma,b;) amn(mb;c,- nb,c,) + 2bnl(ne,a,;+ leya,)+ 2clm(la,b, + ma, b;) af(hnb,c, + gmb,c,)—2bg(fle,a;+ hnc,a,)—2ch( gma, b, + fla, b;)

(') Cette classe de quartiques a été étudiée par Lüroth (Mathematische Annalen, t. 1, p. 37; 1870).

INVARIANTS ET COVARIANTS DES QUARTIQUES. 3975

(d?) = d,d,d, + 2d,d,d;— d,d? — d,d* — dj, (d*c2b) = bo[c§ (dod, — di) + 2C5C,(d, ad, — dod) + 2¢,C;(d,d, — a?) + ci(d,d, — di) + 2¢,C,(d,d, — d,d,) + cf (d,d, — a3) ] + b*[c? (d,d, — d?) + 2ce9c,(d,d, — d,d,) + 2€9C,(d,d,— d?)+ c? (dd, — di) + 20C1Ca(d,d, — dyd;) a- ci (dyd, — d?)] — 2b,[coc,(d,d, — d3) + e,¢,(a,d, — d,d,) + Coca (did; — dj) + c?(d,d;— d,d,) + ¢,¢,(d,d, + did; — 2d?) + €,€;(d,d, — dods)+ c3(d,d,— dids) + CaC3(do ds — di) ].

d'c?a?) se déduit de (d? c? b?) en remplaçant bo, b2, b, par a, Av et &o a, :

(dc*) = dé(cics — ci} — 2d5(CoC3 — CiC2)(C1Cs — ci) + di[(CoCs — Cy Cg)? + 2 (CoC, — CF )(C1cs — €§) J — 2d, (CyCy — C7) (Cols — C1 Cy) ++ A, (CoCy — CF)’, (ba?) = b,az — 2b,a,a, + boa?, (d?cb?a) = [ by a,c, — Vy (A, Co + aoc1) + bye, ]P + [b9a,c,— 5, (a,c, + Apc.) + Byaoc,]Q + [bai C3 — O(a, Cy + ACs) + byagez]R pt P = by (d,d, — di) — b,(d,d, — d,d,) + b,(d,d,— a), Q = b,(d,d, — d,d,) — b,(di — d,d,) + b,(d,d, — did), R= b,(d,d,— d}) — b, (dod, — d,d,)+ b, (dd, — di) (Et) = (dy d,—d3) 62 + (dydy—d) D+-(dydy—dt)b} + 2b, b,(d,d,— dyd;) + 2b,b,(d,d; — di) + 2 bb, (d,d; — did,), (de*ha) = ay[ P (eye, — €2) -+ Q (exe, — C9 €3) + R(CoCa— €?)] . + a,[P’(eoe,— cc?) + Q'(cica—Cocs) + RB’ (€,e,—c?)], où P= by (Cadq — Cds) + bifcsds — Cy dy) + 0 (€,d, — cd), Q=. by (C2; — Cyd,) + b,(e,4,— c,d;) + b,(e,d, — C2d;), R= by (cdi — cys) + Dy (Cada — cid,) + ba(cids — cad),

QUARTIQUES. 377 de constantes, ‘juartique ne

«si la seconde

tt pas ramener

- certaine relation

quatriéme degré; mais

iv l'ordre le moins élevé

‘i autre covariant du qua-

-rdre par rapport aux coeffi-

-/ AU, dans laquelle A est un

. le premier invariant. On peut ormant le contravariant du contra-

.“nérales des coefficients de S n'ont pas ‘lus que celles des invariants d'ordre plus «pendant qu’il était intéressant d’étudier le

Les + 6j PA + Ggaet + 6ha pt = 0.

+, qui ne contient implicitement que onze con-

st par conséquent un cas très particulier de l'équation

+ de la quartique; mais elle se prète facilement au i. parce que le covariant S est de la mème forme

ur bit cs + 6fy2s?-+ 6¢5% 7? + 6h.rt7x?= 0,

par conséquent (n° 221) on peut d’un invariant quelconque

‘duire un autre invariant, en effectuant sur le premier l’opébon a cae b d +..., que nous représenterons par le da’ db > 4 P P Mbole +. Quoique des invariants qui existent en général üissent s’annuler pour le cas particulier que l’on considére ici, } Invariants qui sont distincts dans ce cas seront cepen-

At distincts en général. En calculant les invariants pour le

INVARIANTS ET COVARIANTS DES QUARTIQUES. 379 Nous pouvons obtenir un nouvel invariant du neuvième

ordre par rapport aux coefficients en effectuant sur B l’opération &. Le résultat est

(B)=C,= Q(L—P + 14R) — LR(2P + gR)+ R(2P?— 3PR — 30R’).

L'invariant ainsi trouvé n’est pas cependant le seul invariant indépendant du neuvième ordre par rapport aux coefficients. Si nous écrivons l'équation générale d’une quartique Uy + U33 + gd? + Uy 33 + C5" — 0, en général la puissance la plus élevée de c qui figurera dans un invariant du neuvème ordre sera la troisième et c sera multiplié par un invarant du sixième ordre par rapport aux coefficients de la forme binaire u,. Ce dernier invariant doit être de la forme s%+ ¢?, et un invariant quelconque du neuvième ordre peut se diviser en deux parties, dans l’une desquelles c? sera multiplié par s? et dans l’autre par ¢?. La première partie peut s'exprimer sous la forme [A3 + mAB+nC,,où A,B, C sont les invariants déjà calculés; pour la seconde, un nouvel invariant est nécessaire, etnous allons donner l’un des moyens par lesquels on peut l'obtenir. Mais tout d’abord il est néces-

Saire de mentionner quelques autres covariants et contra- Variants.

3U0. La valeur de la Hessienne, dans ce cas, est

SRI + bhfy* + cfg 5 +(abg + ahf —3gh*) xy" + (ach + afg—3gth) z's? + (abf + bgh —3 fh?) y' x? + (bch + bfgy —3fth) y's? + (caf + chg —3fg*) sz? + (beg + cfh — 3f*g)s*y’ + (abe — 3af?— 3 bg? — 3ch* + 18 f gh) x* y* 5.

: "a aussi énoncé (n° 92) qu’une quartique a également Ge Contravariant du sixiéme degré dont le symbole est

x de "2 )?(a23)*(231)?. Dans le cas que nous considérons, sa

INVARIANTS ET COVARIANTS DES QUARTIQUES. 381 I] aurait peut-être été plus simple de prendre pour second

invariant indépendant 3 (C? — 3aC,) ou