ÉCHANGE ENTRE LES COORDONNÉES DE DROITE ET DE POINT

premier système et quel est celui qui fait partie du second système.

Comme deux coniques qui ont un double contact peuvent toujours être projetées suivant deux coniques semblables et concentriques, nous allons prendre deux coniques de ce

Fig. 58.

genre pour rendre la figure plus simple.

Soient A, B les deux pôles d’une tangente quelconque à la conique polaire : parmi les deux pôles A’, B' d'une autre tangente, A’ appartiendra au premier système, puisque, si AB sc mouvait de manière à venir coincider avec A’B’, A coinciderait avec A’ et B avec B’. La distinction entre les points peut se faire facilement au moyen du théoréme suivant : A’B et AB sont parallèles dans le cas de deux coniques concentriques, et, d'après la méthode. de projection, elles se coupent sur la corde de contact, dans le cas général.

Réciproquement, si de deux points de Ja conique pdle nous menons des tangentes a la conique polaire, nous devons les numéroter ainsi 0a,, 0a, Pb, Pb, de manière que Ja droite qui joint l'intersection de oa, ct pb: à celle de oa, el pb, puisse passer par le pôle de la corde de contact des coniques.

339. Comme le nombre des constantes qui entrent dans les formules de transformation dans le cas des réciproques &auches ne dépasse que de trois unités celui des constantes dans le cas des réciproqnes prises par rapport à une conique, il est naturel de chercher si ce dernier cas ne diffère pas du Premier seulement par un déplacement de la figure. Il est

oe Perr rus — -

ÉCHANGE ENTRE LES COORDONNÉES DE DROITE ET DE POINT. 429 deux polaires de l’un ou l’autre de ces points, lesquelles, en général, ne passeront pas par le même point, et à faire tourner la figure de manière à amener ces polaires à coïncider, et alors, d’après ce que nous avons démontré, les polaires de tout autre point coincideront.

341. Nous pouvons facilement obtenir une expression qui définisse l'angle dont il faut faire tourner la figure. Les deux figures étant concentriques et l’origine étant le centre, on voit facilement que les équations les plus générales des deux polaires d’un point sont

(axz'+ biy')r +(ax'+ by’) y + cs —0 et (az + æay)r +(bixz' + byy’)y + cs —0o.

Les deux polaires du point à l'infini, pour lequel ” = iz’, sont (a, + tb,)x + (a, + ibs) y = QO, (@ + tay) 2 +(b,+ 1b,)y =0,

et l'angle dont l’une de ces droites doit tourner pour coïncider avec l’autre est la différence des angles dont les tangentes sont a, + 1b, a, + 1a, —— el —-———.

as + ib, b, + ib?

C'est donc l'angle réel dont la tangente est a, + La

342. On peut obtenir le même résultat plus simplement comme il suit : si, en général, la droite du second système qui correspond au point (z’, >”) dans le premier est

(az + byy’) x +(ax' + by) y +c:—=0o, quand le second système a tourné d’un angle §, l'équation de Cette droite devient (a x’ + b,y')(x cos — y sin6) + (a,2’ + b,y)(xsin0 + y cos6) + cc; — 0

te 431 :“spond une co- Ay &yhXa, y, 5) jue , 4

?.. ahr? +27 =o

conique peut étre écrite

b\ , I c - Jen)" Ve 7)

uw a quartique correspondante | (|

4 4 ne az? + by? + ce + dw? =0; a les droites x, }, 3, sv pour bitan-

: transformation qu'on vient d'indiquer,

er = UV: W,

. pas rationnelle; en effet, étant donnés . déduisons bien .c’, y’, 3’ sous forme rationaud x’, y’, 3’ sont donnés, nous avons, pour

#? e U e , . 3. les équalions — = — — —; qui représentent voy’

~ avant quatre intersections communes; par conune position quelconque du point ( 2’, 7’, 3") corresjuatre positions du point (x, y, 3). Si les coniques avaient un point commun, ce point, élant indépenla position du point variable (x’, y’, 3’), pourrait : de côté; et à une position quelconque de l’un des rrespondraient trois positions de l’autre point. On de même le cas où U,V,W auraient deux points ; enfin, si elles en avaient trois, les coniques

TRANSFORMATION DU SECOND DEGRE. 433 vera diminué d’une unité. Mais, comme la droite x passe par chacun des points zx, zy, la courbe correspondante ne passera plus par chacun de ces points que (nr — 1) fois au lieu de n; et, de la même manière, nous voyons, en général, qu’à une courbe du degré n qui passe par les trois points principaux (comme nous les nommerons) /, g et h fois respectivement correspondra une courbe dont l’ordre n'sera2n—f—g—h et qui passera par les trois points principaux de l’autre figure f', g, h' fois respectivement, ces quantités étant définies par les relations

346. Il est facile de vérifier que les nombres ainsi assignés vérifient la relation réciproque qui existe entre les courbes correspondantes ; c’est-à-dire que nous avons aussi :

n=an—f—gh, f=n—g—k#, g=R—h—-f, h=n—-f —g.

Nous montrerons aussi que les deux courbes ont le même geure. En effet, si une courbe passe f fois par un point, cela

équivaut à 1 f(f — 1) points doubles (n° 43). Donc le genre de la première courbe est

4[(2 —1)(n — 2)—fS(f—1)— 8(8 —1)— Ah(A—1)],

et, si nous nous servons des valeurs que nous venons de trouver pour n’, f’, 2’, h’, il est facile de vérifier que le nombre que ous venons d'écrire est égal à

aLGR—1)(n—2)— ff —1)— g'(g' —1)— CH —1)].

347. La méthode d’inversion ou de transformation par rayons vecteurs réciproques, décrite au n° 122 et dans les Sections coniques n° 124 (e), est un cas particulier de la transformation du second degré. Dans cette méthode, nous — 4Vons un point fixe O, et les points correspondants P, P’ sont

S. — Courbes planes. 28