TRANSFORMATION DU SECOND DEGRE

l'inverse de cette dernière courbe est l'inverse de l'enveloppe demandée et, par conséquent (n° 122), que l'enveloppe est l'inverse de la polaire réciproque de cette courbe (1).

349. Il nous reste à faire connaître les cas de transformation rationnelle du second degré qui ne peuvent pas se ramener à la substitution x: y:3— 73:53 x':x'y!.

Des trois points communs aux coniques U,V, W, deux peuvent coincider : supposons que la droite y soit la tangente commune aux coniques au point yz, et soit æz le troisième point commun aux trois coniques; J’équation de chacune d'elles peut alors se mettre sous la forme

-axi+afys+ahzy=—o.

Nous pouvons prendre x?, yz, xy pour les trois coniques et la substitution à employer est celle dont on a fait usage n° 289: t'iy:3=zxy:xt:ys; ces équations impliquent réciproquement. les relations z:y:3— x}: x"?! y'z'. Dans cette substitution comme dans l’autre, au point x's’ correspond la droite y; et à une courbe rencontrant cette droite en ñ points correspondra une courbe ayant le point comme point multiple d'ordre n. Au point x'y’ correspond la droite x; mais, quel que soit le point sur cette droite, la direction correspondante de tangence sera }/ — 0. Donc une courbe Qui rencontre la ligne x en n points aura pour correspondante une courbe ayant le point z'y’ comme point n°P*, où toutes les tangentes coïncident. En un mot, la théorie est, en substance, la même que ci-dessus, mais elle est modifiée Seulement par la coïncidence de deux des points princi- Paux. Supposons enfin que les trois points coincident (Sect. Coniques, n° 239); les équations des trois coniques doivent alors être’ de la forme by? + 2hry + 2f(ys — mx?) =0 et

(') Cet exemple est emprunté à un Mémoire du D' Stubbs sur cette méh ode ( Phil. Mag., vol. XXIII, p. 18).

CS ee eee -

THÉORIE GÉNÉRALE DE LA TRANSFORMATION RATIONNELLE. 439 facilement aussi par cette méthode; tels sont, par exemple, les théorèmes suivants : Le cercle est le lieu des intersections de deux droites rectangulaires qui passent chacune par un point fixe. Une série de cercles concentriques sont

coupés orthogonalement par des droites passant par le centre commun, etc.

351. Nous passons maintenant à la théorie générale de la transformation rationnelle, dans laquelle un système de valeurs de (x, y, 3) a pour correspondant un seul système de valeurs de x’, y’, 3! (par exemplex’:y:# =U:V:W, où U, V, W sont des fonctions connues de x, y, 2 que nous supposons du n“"° ordre) et où, réciproquement, un système de valeurs de z’, y’, 3’ a pour correspondant un seul système de valeurs 2: y: 3 = U’: V': W’. Quand il est possible d'exprimer ainsi les coordonnées en fonctions mutuelles les unes des autres, U’, V’, W doivent aussi être du n"* ordre en x’, y’, 3’. En effet. aux n intersections d’une droite arbitaire lz + my + n3, avec une courbe quelconque

aU+bV+cW,

Correspondront dans l’autre système les intersections de + mV! + nW' avec la droite ax'+ by’ + cz, et ces Points doivent aussi être au nombre de n.

352, Examinons maintenant les conditions à remplir pour qu'une telle expression réciproque puisse étre possible. En général, si l’on nous donne les coordonnées d’un point dans Un système x':7':3—a:b:c, ce point aura pour corres- Pondant dans l’autre système les intersections des courbes

U:V:W=a: bic

, Tt

commun, qui soit un point double pour toutes, et quatre points ordinaires. Cela n’équivaut qu’a sept conditions, puisqu'un point double ne donne que trois conditions (n° 41); il faut donc deux conditions de plus pour déterminer une courbe quelconque aU + bV + cW. Mais les points communs donnent un total de huit intersections, puisque tout point qui est un point double sur deux courbes compte pour quatre intersections. Et de méme, en général, nous ne pouvons pas prendre pour U, V, W des courbes du n‘*™¢ ordre ayant n* — x points distincts communs, parce que (7 étant plus grand que 2) elles auraient un autre point commun et pas de point d’intersection variable ; mais nous pouvons satisfaire aux conditions du probléme en choisissant pour U, V, W des courbes ayant en commun 4, points ordinaires, 2, points doubles, «; points triples, etc., de telle maniére que tous ces points équivalent à n?— 1 intersections seulement et que le nombre des conditions qu’elles impliquent soit de deux unités moindre que le nombre des conditions nécessaires Pour déterminer une courbe du ni°"° ordre. Si nous nous rappelons maintenant que connaitre un point multiple de l'ordre r équivaut à $(r-+1)r conditions et qu'un pareil Point, quand il est commun à deux courbes, compte pour r* intersections, nous avons les deux équations

(1) A t+Aaet+O%+...+7%2,=—n?—1,

(2) a +32: +6a+. ….+ér(r+rnar=kn(n+3)—2.

Multiplions la seconde équation par 2 et retranchons-la

de la première; nous obtenons une équation qui peut avan-

lageusement remplacer l’équation (2) et qui est la suivante :

(3) - G+ 2% +3a,+ ..: +ra—=3(n— 1).

Nous avons donc autant de modes de transformation par Courbes du ni*™e ordre que ces équations admettent de solutions en nombres entiers et positifs pour a, a, ...3; ala

dentes, doivent aussi étre des fonctions rationnelles du méme paramètre.

395. Nous avons vu que, si r est plus grand que a, les équations (1) et (3) ne peuvent pas être satisfaites si les points communs à U, V, W sont seulement des points d’intersection simples. Nous allons montrer de la même manière que sin est plus grand que 5, il doit y avoir un point multiple d'ordre supérieur au second; et ainsi de suite en général. Soit r le plus grand indice: multiplions l'équation (3) par r et retranchons-en l'équation (1), nous avons :

(rT—1)u+2(r—2)2+S(r—3as+... + (r— 1), (u—1)(3r— 7 — 1).

Tous les termes du premier membre sont posilifs, donc r ne peut être moindre que £(n +1). Nous pouvons prendre r égal à ce nombre dans le cas où +(n + 1) est un entier; c’esta-dire que, si n est de la forme 3p — 1, nous pouvons prendre p = r; mais, s’ilen est ainsi, tous les nombres @,, a3, %3,-- - Or doivent étre nuls, les courbes ne peuvent avoir de points communs que les points multiples d’ordre p et nous avons pt» — 3(3 — 2), équation qui ne peut être satisfaite par aucune valeur entière de a p, si p est plus grand que 3. Si donc on excepte les cas où n = 2, 5, 8 ou 17,r doit être plus grand que ;(n + 1). Par conséquent, si n est plus grand que 5, il doit exister un point multiple d’ordre supérieur au second.

36. On établit de la même manière un théorème dont Rous allons actuellement tirer une conséquence importante, à savoir que, si nous prenons les trois points multiples des ordres les plus élevés, la somme de leurs ordres doit être plus &rande que nr. Soient r, s, ¢ ces ordres : nous supposons que s n'est pas plus grand que r, et ¢ pas plus grand que s; faisons Passer dans les seconds membres des équations (1) et (3) les

THÉORIE GÉNÉRALE DE LA TRANSFORMATION RATIONNELLE. 447 éliminer entre les équations, et il reviendra pratiquement au même d'écrire 53 — o et d'éliminer 6z, dy. Il en est de même pour un point multiple quelconque ; les quantités x’, y’, z’ sont proportionnelles à

(2,... X62, 6y)"; (a... X de, dy)"; (2”,... Xôx,5y}";

ox, dy s’éliminent de la manière indiquée n° 44 et 2’, y’, 3’, qui sont des fonctions rationnelles d’un paramètre, sont les coordonnées d’un point d’une courbe unicursale d'ordre r..

360. Les courbes d'un système qui correspondent aux points principaux de l’autre système peuvent être appelées courbes principales, et ces courbes prises ensemble constituent la Jacobienne du système de courbes aU + bV +cW. En effet, la‘ Jacobienne est le lieu d’un nouveau point double sur les courbes du système qui ‘ont un point double en plus des points principaux multiples qui leur sont communs à toutes. Mais, comme chacune de ces courbes a déjà son nombre maximum de points doubles, elle ne peut en acquérir un nouveau qu'en se décomposant en courbes de degré inférieur, et cela arrivera seulement quand la droite correspondanté de l’autre système passera par un des points principaux. Dans ce cas, la courbe aU -+ bV + cW se décomposera en lacourbe fixe de degré r qui correspond au point principal, jointe à une courbe résiduelle variable avec la droite qui Passe par a,. Si, en général, nous avons deux courbes uni- Cursales, dont la somme des ordres r et 7’ soit égale à 7, la multiplicité complexe qui provient des singularités des deux Courbes et de leurs intersections équivaut à

1(r—1)(r—2)+4(7' —i1)(r —2) + rr,

Cest-à-dire à £(n—1) (n— 2)+1 points doubles. Nous YOyons ainsi que, dans la courbe que nous considérons, la “Ourbe complexe a, outre les points principaux, un nouveau

THRORIE GÉNÉRALE DE LA TRANSFORMATION RATIONNELLE. 449 Meg. 115 Principaux 2, sera un point multiple d'ordre rk. courbe originale n’a pas de points multiples, la courbe “"neformée n'aura d’autres points multiples que les points cinetpaux. On voit ainsi que la courbe transformée sera de ordre rei etque le nombre maximum correspondant de points duubles sera }(nk — 1)(nk — 2); les points principaux setunt des points multiples et le nombre de points doubles

auxquels ils sont équivalents sera

“Nak kh netantok en +... + baprk(rk— 1) ou LA? (2, + At + ees +- 1°2,)— V(x, + 22, + r2,),

ou bien, en vertu des équations (1) ct (3).

t(n?— 1) hk? — F(n— yk.

En effectuant les substitutions, le genre de la courbe transformée est

i(nk—2) (nk—1) —[} (un? —1) At — 3 (n— 1) AJ = 4 (KT Aa);

lest donc le même que celui de la courbe primitive. Si cette dernière a des points multiples autres que les points printipaux, ces points ont pour correspondants dans les courbe: transformées des points multiples du même ordre, et les genres des deux courbes restent égaux.

Si la courbe primitive passe par l’un quelconque des points Principaux «|, pour chaque fois que le passage aura lieu, la tourbe correspondante a, fera partie de la courbe transformée, et le degré de la courbe transformée proprement dite sera diminué en conséquence. Il y aura aussi une réduction correspondante dans le nombre des passages de la courbe œansformée par les points principaux par lesquels passe 2,. L'efet de ces modifications sera de conserver toujours l'égalité entre les genres des deux courbes. Ainsi, par exemple, si

courbe originale passe par un des points ,, la transformé:

S. — Courbes planes. 29

452 CHAPITRE YIII.

Si nous posons À — 1 et si nous supposons que les autres lettres soient égales à zéro, nous voyons que des lignes droites se transforment en courbes du cinquième degré ayant en commun un point triple, trois points doubles et trois points simples. Pour suivre la correspondance des points principaux, nous remarquons que dans la première transformation au point c correspond la droite 6,6,; dans la seconde transformation, celle-ci a pour correspondante une conique passant par c’a,b,b,b, et enfin à cette conique correspond une cubique ayant 6; comme point double et les six points restants comme points ordinaires. Les Tableaux suivants donnent les effets des différents genres de transformation de Cremona jusqu’a n= 6. Les valeurs indiquent aussi les courbes qui correspondent aux points principaux. Ainsi (Exemple 3) la valeur c' = 34 — 2c — Z(a) indique qu’à C'correspond une cubique ayant c comme point double et passant par les points «.

EXEMPLE 1 (11). -- n = 2, a, = 3.

Ai => ak— a, — as - Ug.

A, h—dy -- a3, Ay=hkh—azs—ay aye haya.

EXEMPLE 2% (IH - n= 3. 2 — 3. da —1, KL = 3h —2b— — um — a; — a, bo - ak —hbh—ay—ae — ay;—ay, a i k—-~b--a,-....

ExEMPLE 3 (INV. Jo. -- a 5. 5-6, tae oO. Hy od. A’ jth — 3e—Xeer.

ec = 3A — oc. Mai.

aq, :k—c—ay--....

Exempece 4(1V. 2). — n = |. 23>: 3, ay 3.

K's: jk —2X(b)— Sia), b= 2h —S3(b)- ag—ay. bys...

a,=k—b,—hby, ....

THÉORIE GÉNÉRALE DE LA TRANSFORMATION RATIONNELLE. 453 EXEMPLE 3(V, 1). - 2 = 5, 23= 8, 22 = 0, 23 = 0, 2, = 1.

k'= 5k— ja — S(a@),

a=jk -3a—Xia) aj=h—a—ay,.

Exemece 6(V, 2). —n= 5, 4) = 3, a = 3, 23 = 8.

54 --c—2¥(b)— Sa), ce 2: 3k — ae — Y(b)—Xt a, by, =ak—ce—a,— Xb),

a,=kh--e—6,.

ExewpLe 7. V, 3°. -- n — 5, 2, = 0. 29 =< 6.

Kk .- jk — 2 tb),

by = ah — 6, --b;—b, — bd; — bg, eee

EXEMPLE 8 (VI, Li — 2° 6, 2:10, 2, = 8.

G4 -— 5e — La, ee -— jh fe -S.ay, ak —e— a,

EXEMPLE 9 (VE 20. un 2: 6. ay 4, ae 2 1, 2, = 2. É GA - 3Ste) -2Stb — a, eo DA -ac—- es - Sthby—a by ~ ak —Se0ei—b,—bh,—b,,

eh - te).

EXEMPLE 10 CV, 3). - n = 6, 2-7 5, 22 1, 2; = 3. Ai: Gk--3N¢e)—2b— Xia, dd jk —2X%ie) —b —Xiai, b, —. ah -Xic)—b—a, bi, =..., eoe.e

a, 7 k — le — 73 a, -—~eaeer

Exempve {1 (Vi, §). — a -- 6, 2, -: 3, 22 = f, 23 = 0,2, 1.

A =6k -§d—2S1b) -- Stay, oe, 3h --ad XD) -ay-- ay, CL =... Cy...

b—ak—d - X16),

ays k—a - by, a =...) Apec. Aie.