TRANSFORMATION D'UNE COURBE DONNÉE

Ainsi, bien que les équations x’: y’: 2’ = U: V: W ne suffisent pas par elles-mémes pour donner des expressions rationnelles de x, y, 5 en fonction de x’, y’, z', les circonstances sont différentes quand nous combinons l'équation S = 0 avec ces équations. Si, entre toutes ces équations, nous éliminons x, y, z, nous obtenons une équation S’ = o qui est la condition de la coexistence du système d'équations. Et quand cette condition est vérifiée, nous avons montré (Algébre supérieure, Leçon X) que nous pouvons en général déterminer rationnellement les valeurs de x, y, 3 qui satisferont à toutes les équations du système. Nous voyons ainsi que, quand une courbe donnée S est transformée par la substitution t:V:3#=U:V:W, nous pouvons en général obtenir une

relation réciproque rationnelle x: > : 3 — U': V': W’.

ExeMPLE. — Supposons qu’on nous donne T'IFis=ÿs+miys-Lryi)s + rs.

Ici des lignes droites dans le second plan ont pour correspondantes dans le premier plan des coniques qui ont en commun les deux points yz, 37; et par conséquent à un point du second plan correspondront en général deux points du premier. On trouve facilement les expressions générales de x, y, z en fonction de 2’, y’, z', en re- Marquant que +—y, x — 3 sont respectivement proportionnels à r—y', 2’ — 3'; le sens géométrique de cette relation consiste en ce que les points (z, 7, z), (z', y’, z'), considérés comme appartenant au même plan, sont collinéaires avec le point (1,1, 1). En d’autres termes, les équations sont satisfaites en posant z = 2 +), y=y'+A,

eem

= 3'+ À, et À est déterminé par l'équation du second degré adt+(a +y+s)h+ys = 0.

Il est évident qu'à un système quelconque de valeurs de (2’, y’, 3’) tOrrespondront deux systèmes de valeurs pour (x, y, z). Mais il n’en ‘st plus ainsi si nous considérons la transformation d'une courbe donnée. Par exemple, prenons dans le premier plan une droite 72 4+. 3y + yz; la relation entre un point de cette droite et le point ‘Orrespondant du second plan est donnée par les équations T æz'+),..., dans lesquelles (2 + 8 + y)A=—(22'+ By’ + yz).

TRANSFORMATION D'UNE COURBE DONNÉE. 457 sur l’autre courbe. De la même manière, si A’, B’ coincident, nous pouvons avoir sur l’une des courbes un rebroussement qui corresponde à un rebroussement ou à un couple de points coincidents sur l’autre. |

Considérons maintenant deux points fixes correspondants A, A’ situés chacun sur chacune des deux courbes correspondantes S, S’; supposons que les ordres respectifs de ces courbes soient m:et m’, et admettons qu'elles soient dans le méme plan. Considérons aussi deux points variables correspondants M, M’, et cherchons le degré du lieu de l'intersection des droites AM, A’M’. Prenons une position fixe quelconque de la droite AM; comme elle rencontre la première courbe en m — 1 points différents de A, il ya m — 1 positions correspondantes de la droite A’ M’, et en conséquence AM rencontre le lieu en m — 1 points distincts de A. Mais si nous considérons la droite AA’, il est facile de voir de la même manière qu’elle ne rencontre le lieu qu’au point A compté m'—1 fois et en A’ compté m — 1. Nous voyons ainsi que le lieu est du degré m + m’— 2 et que les points A, A’ sont respectivement des points multiples de l’ordre m'— 1, m —1.

Cherchons maintenant dans quels cas AM est tangente au lieu. Ceci aura lieu quand deux des droites A’M’ correspondant à AM coincideront sans que nous ayons en même temps une coïncidence de deux des droites AM qui correspondent à A’M’. En effet, dans ce dernier cas, l'intersection de AM, A'M' serait un point double du lieu, et AM ne serait pas une langente ordinaire. Mais 1° si AM est tangente à S, AM sera évidemment tangente au lieu. 2° Si AM passe par un point double de S, suivant que ce point double aura pour corres- Pondants sur S un point double ou deux points simples dis- Uincts, nous avons comme correspondants sur le lieu un point double ou un couple de points distincts; mais dans aucun de “es cas AM n'est une tangente ordinaire. 3° Si AM passe Par un point de rebroussement de S, suivant qu’à ce rebrous-

TRANSFORMATION D'UNE COURBE DONNÉE. 459 365. Nous démontrerions, comme dans le n° 361, que si nous transformons une courbe S du m‘*™ ordre à l’aide de la transformation x’: y’: 3! = U: V:'W, dans laquelle U, V, W sont des fonctions du p‘*™* ordre, comme les points où une droite arbitraire rencontre la transformée correspondent aux points où «U + BV +YW rencontre S, l’ordre de la courbe transformée est mp — a, — 2%, ...; IC] &y, &, ... représentent les nombres de points simples, doubles, etc., communs à U, V, Wet qui sont aussi situés sur S. Cherchons maintenant comment, par cette transformation, nous pouvons abaisser autant que possible l’ordre de la courbe transformée. Nous voyons, comme dans le n° 353, que U, V, W peuvent être assujetties à satisfaire à deux conditions de moins qu'il n’en faut pour déterminer une courbe d'ordre p, c’est-à-dire à $p(p+3)— 2 conditions; et nous disposerons évidemment de ces conditions de manière à réduire le plus possible l’ordre de la courbe transformée si nous faisons passer U, V, W par autant de points doubles de S que cela sera possible. Soit D le genre de S, le nombre de ses points doubles est en conséquence 5(m? — 3m)— D +1; prenons en premier lieu p = m —1; dans ce cas, nous pouvons faire passer U, V, W par $(m?-+- m)—3 points. Nous pouvons donc faire passer les courbes par tous les points doubles et par 2m + D — 4 autres points de S. Si donc nous posons 2, = 2m + D — 4, 22 —=35(m2—3m)— D +1,p— m —1,nous trouverons que l’ordre de S’ est mp — 2, — 24, — D + 2.

Supposons maintenant p = m — 2, ce qui implique évidemment que m est plus grand que 2. En procédant comme ci-dessus, nous voyons que nous pouvons prendre

‘tg = t(m?—3m)--D+1t, 2m + D—14

et que l’ordre de la courbe transformée sera encore D + 2. Enfin admettons que p —m—3; nous pouvons prendre %,=3(m?— 3m)—D-+1, «, —D—3, pourvu toujours

TRANSFORMATION D'UNE COURBE DONNÉE. 461 +, peuvent donc être exprimées sous forme de fonctions rationnelles de 0.

Considérons maintenant le cas D = 1. Ici la courbe transformée est une cubique et il faut remarquer que, de quelque manière qu'on effectue la transformation, la cubique résullante aura toujours le même invariant, c’est-à-dire que le rapport anharmonique des quatre tangentes menées d’un point de la courbe sera le même (n° 229). Quand D — 1, les coor-

données d'un point quelconque de la courbe peuvent s’ex- Primer en fonctions rationnelles d’un paramètre 8 et de V8, où © est une fonction du quatrième degré de 9. Il suffit de démontrer cette proposition pour le cas d’une cubique, puisque T,Y, zpeuvent s'exprimer comme fonctions rationnelles de z’, V, a set pour le cas d’une cubique, ce résultat se voit immédialement en prenant cette courbe de manière qu’elle passe par le Point zy, en posant dans l'équation v = 92, ce qui permet d'obtenir immédiatement les rapports x:7:3 sous la forme En question. De plus, il est bien évident que les valeurs de 6 Pour lesquelles 8 =o sont précisément celles qui corres- POndent aux quatre tangentes menées de cy à la cubique. Nous avons vu de cette manière que les coordonnées d’un Point d’une courbe pour laquelle D — 1 peuvent s'exprimer SOus forme de fonctions rationnelles de 8 et de ÿ6; et par

une transformation linéaire de 9, c’est-à-dire en remplacant § ’ p'ac

. , . af b Par une fonction convenablement déterminée rer nous

POuvons mettre 4/8 sous la forme (1 — 9#)(1 — £762). Si nous Posons Ê— sinamu, cette quantité est cosamuAamu et nous pouvons dire que les coordonnées d'une courbe dont le Senre est 1 peuvent s'exprimer sous forme de fonctions

ehh: .. .

Eli ptiques d’un paramètre u.

367. Il existe une théorie semblable pour le cas où le >“nre est égal à 2 et où, par conséquent, la courbe est réduc-

CORRESPONDANCE DE POINTS SUR UNE COURBE DONNÉE. 463 Il existe évidemment pour le nombre des points doubles de S’ une expression semblable qu’on réduit de la précédente par un échange de lettres accentuées et non accentuées. Dans Yun et l’autre cas, nous trouvons que le genre est $(Q + 2), où 2— at b'c'+ b'c'a'+ c'a'L' + abc + b''ca + cab + 2aa'(be' + cb')+ a bb'(ca + ac’) + 2acc'(ab'+ ba’) — 3(ab'c' + bc'a + cab + a be + b'ca + c'ab).

Nous retrouvons ainsi le théorème énoncé précédemment, que les deux courbes ont le même genre.