CORRESPONDANCE DE POINTS SUR UNE COURBE DONNEE
dance (1, 1). Il en résulte immédiatement que, si le point P a
2 positions, son paramètre doit être donné par une équation de l’ordre a: si donc, comme ci-dessus, les points P, P’ ont aussi une correspondance (a, a’), la relation entre leurs paramètres doit être déterminée par une équation de la forme (4, 1 )=(0’, 1)% = 0, c’est-à-dire que, 8 étant donné, l'équation sera de l’ordre a en 0’; mais, 9’ étant donné, elle sera de l'ordre x en 4.
312. Un point peut se correspondre à lui-même; on dit alors que c’est un point uni: ainsi, quand les points P, P'sont collinéaires avec un point fixe O, il est clair que le point de contact d’une tangente menée par O à la courbe est un point uni; et si ce sont les seuls points unis, leur nombre est égal an. |
Les seuls autres points qui, à première vue, pourraient sembler des points unis sont les points doubles et les points de rebroussement de la courbe. En effet, si nous supposons P silué en un nœud ou en un point de rebroussement, la droite OP rencontrera la courbe au point P, qui compte comme une des m—1 intersections et en m— 2 autres points; ou Ce Qui revient au même, la droite menée de O au nœud ou au rebroussement rencontrera la courbe au nœud ou rebroussement compté deux fois et en (77 — 2) autres points. Mais dans le cas du nœud, les deux intersections en ce point appartiennent à des branches de courbes différentes; en d'autres termes, nous pouvons dire qu’elles sont coincidentes, Mais qu’elles ne sont pas consécutives; la distinction se voit bien quand il s’agit d’une courbe unicursale; pour ce point double, nous avons alors deux valeurs distinctes de 9, pour Chacune desquelles les coordonnées ont Ics mêmes valeurs; dansle cas d’un point de rebroussement, ces deux valeurs de deviennent identiques ; ou, ce qui revient au même, la droite
Menée de O au point de rebroussement (quoique n'étant pas
S. -- Courbes planes. 30
dansceise relation, il chacune des différentes spéciaux (s'il y en a)
Ensuite, si P' est un,
et, d'après l'es i LL L'an
*URBES. 475 ‘ans A'UÙ’ = o, ré en LYS,
la tan-
cas
teur,
., nous
: de conemployée
.s aurons re-
.- et il convient
.. deux courbes con-
«1 b respectivement, et
ae les ab points d’inter-
: avec z’y's'; on demande
1 qui doit en outre être vé-
3 points communs, ce qui ne
un facteur commun à U et V.
rbitraire quelconque
sy bys
int commun avec U et V; ce sera le
1 la droite arbitraire rencontre la courbe
teur commun. J] s'ensuit que le résultat
are U=o, V = o et l'équation de la droite
Lans ce cas, être nul. Ce résultat contient
,, y's’ au degré ab'+ ba’ et les coefficients werés b, & respectivement. Mais, comme le ré- :nination s'obtient en multipliant les résultats de ton dans ax + 39° + +: des coordonnées de chaintersections de U, V et comme, par hypothèse,
"RRES. 497 “tes les inter-
* l'équa-
point
st de la
. évidem-
Jiffrent de :crnière équa-
juc AU’ ne peut ous pouvons alors lu=i,d = n—1,
oo: d'où Via — 5).
de Ienr'1"3" est - JA — 3)
ite fn + 2)(2 — 3) par rapport aux
premier par rapport à ceux de Ÿ
l'ordre (a + 4)(7 — 3) en fonction
équation primitive. La courbe bitan- -neontre fa courbe primitive U=o en
-n —3) points; et, comme il y a deux de ces
1¢ bitangente, le nombre de ces dernières est - — g), comme nous l'avons trouvé d'une autre
: méthode du n° 381 nous permet non seulement -mniner l’ordre de la condition cherchée [= o, mais
.. de trouver cette condition elle-même en eflectuant réel-
. utles opérations indiquées. Ainsi supposons que 2’, )”, 5’ «nt, comme plus haut, les coordonnées du point sur la urbe; dans le cas des points d‘inflexion, nous avons à effecer l'élimination entre az -} 394-5 =-0, AL‘-=0, A?U’=0,
et par conséquent, quand la fonction est x ou My — NB, le résultat est
hy— 88 by—fB fyr—cb (rn—1) L M N |.
a B Y Ici le coefficient (n —1) provient de la condition que nous avons introduite, et suivant laquelle les différentielles de
L,...sont(n —1)a,....Le déterminant qu'on vient d’écrire se réduit alors de la manière suivante :
[1 £ Sf c
Ye fe o hy—gsp by—fB fr—cB] |B A Of 0 L M N o L MN 0 2 8 Y oa BY ! g foe R—ax —az' —ha! — sx!
à k b f || 8 hob fF —(By'+ y2') az’ hx' gr! = +. g f c 0 a D 0 2 B i hobf =Rig fe +2 (2).
Si nous représentons ( :) par 5, etles moitiés de ses diverses dérivées par rapport à a, 8, y par Z,, 22, 23, ces dernières ne différeront que par leurs signes des déterminants qui mul-
liplient R dans les valeurs de Vz, V Y, V3, et nous avons | 4, ds ds v(S)=4(S)—(n— 1) R( 2, ++) |
2 / ,dS ,dS ,dS\ +(n=1) (2) (ety ete Z)-
Supposons en particulier S = A*(V), où V est une fonction S. — Courbes planes. 31
THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES. 485 puis, après avoir remplacé x, par My — N§, ..., nous devrons faire disparaître «, 8, , au moyen de l'équation de la courbe. En effectuant la substitution avant de former le discriminant, l'équation devient
opus pp 1.2 Qi + 1:2.3 Qsku + neve Qu = 0
dont le discriminant ne différe que par un facteur numérique de Q? — 3Q,Q,; cette fonction renferme encore a, 8, y au second degré et par conséquent a encore besoin d’être réduite. La formule suivante va nous être utile pour cet objet.
390. Si nous bordons la matrice du Hessien horizontalement et verticalement avec trois rangées et trois colonnes, le déterminant résultant est évidemment égal au produit changé de signe des deux déterminants qu’on a ajoutés horizontalement et verticalement. Si en particulier V, W sont des fonctions des ordres #!, n”, nous avons
a h g2V, L ah g 2 NV, o
h b SBN: M h b f g" V, o
5 V3 N ur » V ar al a ie
W, Wa: W, W, W,W; o o —n"W
ou bien
V TV av:
” —n"WR ( :) + R* (Ww) +U (aw) ét, quand z’y’z’ satisfait à l'équation U = o, le dernier terme st nul. Ainsi, en particulier, |
(AV)? — nave(*) — 2 a VR (0 )+ R? (y) ,
THEORIE GENERALE DES COURBES. 487 et en conséquence ]’équation de la courbe bitangentielle est
H dz\ (2) —sn( Emo
c'est-à-dire que si Z, écrit tout au long, est égal à Aa? + BB? + Cy? + 2F By + 2Gya + 2H 08,
cette équation est
dH? aH? aH? aH dH
g 44 dH aH 2H dH 3 ds dx dx dy
d'H aH a?H aH
GH oy TH T2 4.dz * *" dxdy
c'est une courbe du quatorzième ordre.
391. L’équation qu’on vient d’obtenir peut être transformée au moyen de l’expression donnée (Sect. coniques, n° 381, Exemple 1) et qui exprime la condition pour que la droite Polaire d’un point par rapport à une conique soit tangente a une autre conique. Nous avons vu que, si az*+..., d'xt+.., sont les deux coniques, nous obtenons
(bc— Py(a' x + h'y + g 53} +...
=|a'( be — f?) +...](a’ x? +...) —F, ou F représente un covariant conique des deux coniques; et nous avons trouvé de la même manière que (b'c’ — f?)(ar+hy+ gs} +...
=[a(b'c' — f")+...](ac?+...)—F.
Si maintenant a, b,c,... ont la même signification que cidessus, et sia’, b',... représentent les dérivées secondes de la Hessienne, son degréétantn’, les quantités(a’x-+-h' y-+-g’3),...
THÉORIE GENRRALE DES COURBES. 489 Dans le cas particulier où n = 5, il vient |
