Q,= — 365A + 8RY(H)—R'+, Q: = — AH, Q:= —H
Pour former la courbe bitangentielle d’une quartique, la quantité à calculer est
(27 Q2 Qs — 5Q Qu) = 9(4Q5 — 9Q:Q)(5 Qi — 12Q:0Q5);
c'est une expression qui renferme x, 8, y au sixième ordre, et 1l faut prouver au moyen de l'équation de la courbe qu’elle est divisible par R®. Mais, en vertu d’une formule déjà obtenue, nous avons
Il est facile de démontrer aussi que 27Q,Q; —5Q;Q, et 5Qf — 12Q;Q; sont chacun divisibles par R; mais je n'ai Pas pu mener la réduction plus loin.
Nous avons montré ailleurs (Algébre supérieure, n° 295) :omment tous ces calculs peuvent se faire au moyen des méthodes symboliques.
393. Une autre méthode (') pour résoudre le problème les tangentes doubles est suggérée par la démonstration qu’on à donnée (n™ 183-235) que le point où la tangente à une >ubique la rencontre de nouveau est déterminé par l’intersec- ‘ton de la tangente avec la droite xH, + > H, + 5H, — 0. Il “tent à l’idée de chercher à calculer de laméme manière l’équa- ‘ton d’une courbe de l’ordre n — 2 qui passe par les (n — 2)
(") J'ai donné cette méthode dans le Philosophical Magazine, oct. 1858, © dans le Quarterly Journal of Mathematics, vol. IL, p. 317. Voir aussi ©s Mémoires de M. Cayley, Phil. Trans. (1859), p. 193, et (1861), p. 357.
THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES. 491 courbe; nous trouverons, il est vrai, que cette hypothése est inexacte, mais notre mode de recherche nous conduira a la vraie forme de la tangentielle.
394. Prenons l’origine sur la courbe et l’axe des y pour langente ; et soit alors l’équation de la courbe
nby +4n(n—1)(Cox*?+ 20, ry + c:7?) + nr —1)(n —2) (dors + 32 y +382" + di) +...=0.
Il faut observer, et la remarque sera utile dans la suite, que les différentes polaires de l’origine, par rapport à la courbe, sobtiennent en remplaçant n par n—1, n—2, ... dans cette équation. Pour que la courbe puisse passer par les points tangentiels, son équation doit être telle qu’en y faisant y =o elle se réduise à
Inn —1)Co + =z (ean —3)dr+...—=0.
Formons maintenant l'équation de la Hessienne; comme nous avons à trouver ses courbes polaires par rapport à l'origine, puis à y faire y = 0, nous n'avons à nous occuper que des termes de la Hessienne qui ne renferment pas y. Les dérivées secondes de la courbe donnée sont
A—=Co+(n—2)dsr +i(n—-2)(n —3)ex +...
b—c;+(n—2)dig+!\(n—-a2)(n--3)e:xt+...,
c= d(n—2)(n— 3)cgx?+..., f=b+(n—-2)cx+i(n—2)(n—3)dirt+....
£ = (n2— 2)eor+t(n— 2)(2 —3)dx?+...,
On trouve facilement alors que l'équation de la Hessienne est
C694 (n—2)dyb?.rt+[1(n—a2)in — 3)e) b? -+ (n—1)(n — 2)P Ja? +i[(n—2)(rn—3)(n — 4) fpL+in—1)(n— 2)? Q +(n—t)(m—2yn— 3)R].c8+... 0,
THEORIE GENERALE DES COURBES. 493 et il est évident à première vue que, dans le cas de la quartique, cette conique polaire ne peut étre la tangentielle, parce qu'elle contient le groupe de termes P qui n’entre pas d’une manière semblable dans |’équation de la courbe. Mais nous pouvons aisément former une équation qui ne renferme pas ces termes. Représentons par A?H =o l'équation que nous venons d'obtenir et soit A?H, la conique polaire par rapport à la Hessienne de la première polaire de l'origine: comme nous l'avons déjà vu, A?H se déduit de A?H en remplaçant n par n — 1. II est alors facile de vérifier que
(n — 2) 4*H —a(n—1)A°*H, = (xn — 3) b?[6 9 + 4dr + exr!|.
Mais quand la courbe donnée est du quatrième degré, le second membre est ce que devient l'équation de la courbe donnée quand nous faisons y — 0. I] s'ensuit alors que AH — 342H, est la tangentielle cherchée pour la quartique.
On trouve exactement de la méme maniére que la troisième polaire de l'origine par rapport à la Ilessienne est
(Br — 63 7 — 53 nr —8)e,b, + E(n—2)(3n —7)(3n —8)\d Pr + b(n—2)(n—3)(3n — Bey D? at + (n — 1)(n— 2)(3 n — 8)P 5? + L(u—2)(a —3)(n —- 4) fo Bc?
+(a—i1)(n—2)(a —3)Rat(n —1)(n — a) Qzr?,
et l’on obtient A?H,, A*H,,... en remplaçant n par(n — 1), (r— 2), .... Nous pouvons vérifier que
(n — 3)(n— HA H—oa(n—1)(n — 4) 49, + (2 — 1 (n) — 2) MH,
= 2(n —/4)(500c0 + 104,7 + 5er? + frs); | et si n=5, le second membre de l'équation est ce que devient l'équation primitive quand nous y faisons } = 0; en conséquence, il en résulte, comme plus haut, que l’équation de la tangentielle est
SH — 44, + 68H, =o.
THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES. 495 de sa première polaire. Le même raisonnement s'applique aux autres courbes polaires.
Passons à la conique polaire. Si nous différentions les équations que nous venons de donner pour H, ..., les différentielles se composeront de deux groupes de termes : les différentielles prises dans l'hypothèse où A, B, C, ... sont constants, et les termes obtenus en différentiant ces quantités. Si, pour abréger, nous nous servons des lettres §, n, € pour représenter les symboles de différentiation parrapporta r,}, 3, nous avons
EH — FA +Br?+...)U EE La(ns — 1/0)? + DCE — LE) +... JU;
lest bien entendu que les accents, dans le dernier groupe de termes, peuvent être supprimés après le développement, . le terme EE'an2{/2 tenant, par exemple, la place de
CU AU @ drdy* dx ds?
La dernière équation peut être écrite sous la forme abrégée
Ainsi l’équation de la conique polaire d’un point, par rapport à la Hessienne, peut être mise sous la forme V + W = 0: V représente un groupe de termes dans chacun desquels une dérivée quatrième est multipliée par le produit de deux dérivées secondes, et W un groupe où chaque terme renferme une dérivée seconde multipliée par le produit de deux dérivées troisièmes. Prenons maintenant la Hessienne de la première polaire ; comme on l’a énoncé plus haut, les dérivées secondes, troisièmes et quatrièmes sont alors respectivement multipliées parn—2,n—3,n—4, et le résultat est
MH, —(n—a)(n—4)V+(n—3¥W — 0:
les droites polaires par rapport aux trois courbes se renconrent en un même point; son équation est
° | oy Wy N'a
Nous avons vu (n° 194) que la Jacobienne est lieu des points doubles des courbes du système
AUH RS EU o.
Si les trois courbes ont un point commun, il est situé sur la
dans ce cas, pour les covariants. On verra que nous pouvons, sans rien perdre en généralité, supposer c, et c, nuls. Il vient alors
H=bc.-38(d,r--d,y)--3tbe, bed, ar ~-3abte, Sbcd,)rr - (be, brd,)r:
~ (bf, — iwbee, --- 1808 d,) x3 LCD f, — Bobce, —'yhdgd, -:- gd? Red pr -( bbef,-- sabd,e,-. 13br,d;--1rcîe, : -- 2fcdyd, —iSedi)axi—....
He oh [ib'd? --6b c'd,) (ibide, + Bete! - OBcd,d,— 57 Ped jr + (4 b'dye, + 12 bc7e, - Rb edyd,- led? = obte dr “1b dy f+ bei: 6b 7S, -- 6d edge, — Red cy — obtete,— 03e dd, bg bet di + 30b08@ ) rie d b= 66: (Pe, -- lcd.) v( bs. - 8B ce, — 38be7d,) V [Of --abice,-+aglhi(di- did) jiberd,] 4c — 9b ef, -- 12 bye, + bled, | + bérte, — i62bcd,d, -- 168 bcdt -- bed)...
Parmi les quantités A, B,..., les seules qui renferment des termes indé}.endants de x ct y sont A= b?, F = bc. Si donc nous écrivons tout au long une quantité | de la forme 6 + AH® et qu'elle soit
A + By.r-:- G9 +B,rt-....,
le degré de y étant 22, le terme absolu dans le covariant A (SE) 4-4... CSI
b:B3-:- 4 bc AB, et le terme absolu dans A + +... est 267C, + 42dcR,.
S. — Courbes planes. 32
POLES ET POLAIRES. 499 mun; car l’équation écrite ci-dessus, quand nous y faisons m= ni, devient
J+r ds mu dA + me dB + mw de de dx dx dx .+mJj+(m —m)Cw,;
pour le point commun elle se réduit à rJ, = (m" — m)Cw, et nous avons de même
rJ,=tm —m)Cu,, rJ,=(m—m)Cus,
en sorte que | rd, 4- y J, + sJ; =0o et
CV, + Wig + S's = représentent la méme droite.
Si, dans ce cas, le point commun est un point double sur«@, il sera aussi un point double sur J et aura les mêmes tangentes que celles de la courbe «w (!).
Les valeurs que nous venons de trouver pour J,, J,, J, sont nulles quand ,, 2, 63 le sont. Si nous prenons de nouveau les dérivées et laissons de cété les termes qui sont nuls, parce qu'ils contiennent , v, w, J, J,, ou w,, tg, ',, nous avons
J dN aB Ca Pr (mat a +(m —m) Wage
Mais, d’après les valeurs précédemment trouvées pour A et B, nous avons d'A dB
M Oy ZM eus — Wg + 6°, (OW pg a — OV pg lle ), ' le ' Or is Set? 43 3 12) i 12 (63 13 2)
et. en éliminant x)'3 entre les équations
Uy Ja + Sig OS EN + Ve + 53 =O, D ALU + LAS + CU = 0,
a ne me ee ee ee nv + —
(*) Cosas et Goapas, Abelschen Functionen, p. 62.
le tact-invariant renferme les coefficients de chacune des courbes au degré 3m(m — 1) et il ressort de considérations que nous exposerons plus loin que l’ordre de la condition pour que u + dv puisse avoir un couple de points doubles (ou, ce qui revient au même, le nombre des courbes du système uw + Àv+ uw qui ont deux points doubles) est +(m — 1)(3m? — ym?—5m + 22), et que le nombre correspondant pour le cas du rebroussement est
on peut vérifier que
3(m —1)*(3m?— 6m + 2) = 3m(m—1)+3(im —1)(3808 — gm? — om + 24) + 36(m —1)(m— 2).
De la même manière, si nous avons formé le discriminant de Au + pv + vw, ou, v, w sont des courbes de même degré, nous pouvons chercher le discriminant de ce dernier considéré comme fonction de À, u, v. Ce discriminant contiendra comme facteur le résultant de uw, v, w et les conditions pour qu’une courbe Àu + pv + vw puisse avoir trois points doubles, ou un point double et un rebroussement, ou bien an point tacnodal; l’ordre de l’une quelconque de ces conditions par rapport aux coefficients de l’une des courbes est le même que le nombre des courbes de la forme
Auturctover+lmo
qui ont la singularité en question. Quand les courbes sont toutes des coniques, le discriminant considéré comme fonction de), p, v, du discriminant de Àu + uv + vw est AB?; ici A est le résultant de u, v, w et B= 0 la condition pour que Àu + uv + vw = o puisse représenter deux droites qui coincident; mais je n’ai pas pu établir la théorie générale.
400. On peut observer, en ce qui a trait à ce sujet, que le :
POLES ET POLAIRES. 5où
trois premières polaires d’une courbe donnée; dans ce cas, la Jacobienne est la Hessienne de la courbe et l'autre lieu que nous venons d'indiquer en est la Steinerienne (n° 70); la théone que nous allons exposer est la généralisation de celle que nous avons indiquée pour la cubique (‘) (n° 175).
Aun point P de la Steinerienne correspond un point Q de la Hessienne; la première polaire de Pa Q pour point double etla conique polaire de Q se compose de deux droites qui se coupent en P. Considérons deux points successifs de la Steinerienne (n° 178) ; l'intersection de leurs premières polaires sera alors le point Q compté deux fois et les points de conlact de la première polaire avec son enveloppe. Ainsi la polaire, par rapport à la courbe, d’un point Q de la Hessienne est la tangente à la Steinerienne au point correspondant P. En particulier, si Q est un point d'inflexion de la Courbe, sa polaire sera la tangente en ce point; nous voyons ainsi que la Steinerienne est tangente aux 3 m (m — 2) tan- §entes stationnaires de la courbe.
402. Nous avons vu (n° 70) que les ordres de la Hessienne €t de la Steinerienne sont respectivement 3(m — 2) et 3(m — 2). La Hessienne n’a ordinairement pas de point double; el par conséquent ses caractéristiques Pliickériennes SOnt
ux 3(m—a), =0, «2:0, v—3(m—92)(3m—5),
T= (im — 1) me —- 2) (mr -- 3)( 3m — 8),
Comme il y a une correspondance (1, 1) entre la Hessienne
(‘) Les principaux théorèmes de cette section ont été énoncés par Steiner dans un Mémoire lu à l’Académie de Berlin, 1848, et imprimé ensuite dans le Journal de Crelle, 185, t. XLVIL. En ce qui concerne les cubiques, j'en @vais donné la théorie dans la précédente édition de cet Ouvrage (1852). Je Me connaissais pas les travaux de Steiner, que j'ai appris seulement par le Journal de Crelle.
POLES ET POLAIRES. 907 appellerons cette courbe la Caylerenne ('). Elle a évidemment une correspondance (1,1) avec la Hessienne et la Steinerienne et par conséquent elle est du méme genre.
Pour déterminer sa classe, nous emploierons les principes établis n° 372 et Sections coniques, Appendice, a savoir que si deux points sur une droite, ou deux droites passant par un point, ont une correspondance (m, m'), il y aura m—+-me cas de coincidence de ces points.
Considérons donc les droites qui joignent un point arbitraire M aux deux points correspondants P, Q. Comme la Steinerienne est une courbe de l’ordre 3 (7 — 2)?, si la droite MP est fixe, il y aura 3(me — 2)? positions de P et autant de Q. De la même manière, à une position quelconque de MQ correspondent 3(m — 2) positions de P. Il y a donc 3(m — 2)? + 3(m— 2) ou 3(m—1)(m—2) droites qui peuvent étre menées par M, et qui contiennent deux points correspondants P, Q; c’est par conséquent la classe de la Cayleyenne. Elle est évidemment tangente aux tangentes d’inflexion de la courbe donnée. Elle n’a pas d’inflexions et ses caractéristiques sont
M 3(m— 2)(9mt—11), v= 3m -— 1)\(m— 2), 6 = 3(m — 2)(Sm —- 13)}( 3m? — 1gm + 16), x= 18(m—2)(2m—d),
r—{$(m—a)(mt—-am—i1), to.
404. Les définitions déja données peuvent étre étendues plus loin, si l’on considère les points doubles non seulement sur les premières polaires, mais sur un système quelconque de courbes polaires. Le lieu d’un point, tel que sapolaire §*™ ait un point double, est une courbe de l’ordre 39(m—6— 1)? qui est la §*™¢ Steineriennc; et le lieu du point double est
(') M. Cayley l'appelle la Steiner-Hessienne.
POLES ET POLAIRES. 309 Elle sera de l'ordre a( 2s + 4 — 3) en fonction des coefficients de S.
En particulier, si § = 1, l’enveloppe des premières polaires des points d’une courbe S est la même que le lieu des pôles des tangentes de S et son ordre est s’(m — 1). Si dans ce cas s— 1, cet ordre se réduit à zéro, comme cela doit être, puisque l'enveloppe se réduit alors aux (m — 1)? pôles de la droite S. En général, il est évident que chaque tangente double de S donnera naissance à (m — 1)? points doubles qui sont ses (m — 1)? pôles, et que chaque tangente stalionnaire donnera (m — 1)? rebroussements sur l'enveloppe. Nous avons donc pour la classe de l’enveloppe
(m — 1)?s — (m-— vs -— a(n —- 1) + — Bon — 1)°1;
ou bien, comme 5? — s — 27 mière polaire est
. = 5, la classe de la pre-
(m — 1)(an-- 2)8' + (amt — 1}?s.
51 — m — 1, l'enveloppe des droites polaires des points d'une courbe S, ou le lieu des points dont les premières polaires sont tangentes à S, est de l’ordre s (s+ 2m— 5) ou s'+ 2s(m— 2). Et comme le nombre de ces droites polaires qui passent par un point arbitraire M est le même que le nombre des intersections de S avec la première polaire de M, la classe de l'enveloppe est (7e — 1)s.
En général, le nombre des points doubles de la polaire 6*"" de S est(m — 6)? foisle nombre des polaires(s: — 1)" d’un point qui sont deux fois tangentes à la courbe et le nombre des rebroussements est (: — 4)? fois le nombre de ces polaires qui osculent la courbe donnée.
406. Si la 8" polaire d’une courbe S est une courbe R, la (mz — 6)“ polaire de R doit contenir, comme partie d’ellemême, la courbe S. Ainsi, par exemple, si 4 = m — 1, Rest
- “qv puni LS LE
CONIQUES OSCULATRICES. DLL avons vu que, si l’ordre et la ‘classe de R sont r et r’, l’ordre de sa(m — 1)'*™* polaire est 7’ + 2(m —2)r; mais
r= (m —1)(m—2)s'+(m—1)8s, rs! (m — 1);
donc l’ordre de la polaireest 3(m — 1)(m — 2)s’ +(m—1)3s, ce qui s'accorde avec ce que nous avions établi ; car, la Steinenenne étant de la classe 3 (m1 — 1)(m.— 2), le nombre de ses langentes communes avec S est 3(m — 1)(m — 2)s’. Il doit euster une théorie générale pour la réciprocité quand R est la polaire @'*™e de S et S la polaire (mz — 4)*™* de R; mais elle n'a pas encore été étudiée.
CONIQUES OSCULATRICES.
407. La forme d’une courbe dans le voisinage d’un point P de cette courbe est caractérisée par le cercle de courbure ; mais elle admet encore une autre définition. En effet, si nous menons Parallèlement à la tangente en P une corde infinitésimale QR et sila normale.en P la rencontre en N, les arcs PQ, PR et les droites NQ, NR regardées comme des quantités du premier Ordre sont égales entre elles; mais elles diffèrent de quantités du second ordre; en particulier, NQ, NR diffèrent d’une quanté du second ordre; ou, ce qui revient au même, si L est le milieu de QR, la distance NL est du second ordre. Observons
aussi que PN est également du second ordre; donc l'angle LPN,
qui est égal à arc tang (sx) » est en général un angle fini; c’est-
à-dire qu’en joignant P au milieu de la corde QR (parallèle à la tangente en P) nous avons une droite PL inclinée d’un angle fini sur la normale. Dans le cas du cercle, PL coïncide avec la normale; l'angle en question mesure donc la déviation de la forme circulaire ; nous pouvons l'appeler l’aberration de
. DES SYSTRMES DE COURBES. 517 coniques, Appendice : Sur les systèmes de coniques assujetties à quatre conditions. Nous allons donner ici um pea plus de développement à la théorie indiquée dans cet Ouvrage. M. de Jonquières (Journal de Liouville, t. VI, 1861) a considéré les propriétés d’une suite de courbes du m'*™ ordre, satisfaisant à m(m + 3) — 1 conditions, c’est-à-dire à une condition de moins qu'il n’en faut pour déterminer la courbe ; cette suite de courbes est caractérisée par son indice N,où N est le nombre des courbes de la suite qui peuvent passer par un point arbitraire donné. Ainsi, si l'équation de la courbe, considérée au point de vue algébrique, contient un paramètre, N sera le degré où ce paramètre y figure. Chasles, dans des Communications insérées aux Comptes rendus, 1864-1867, sur le nombre des coniques qui satisfont à cinq conditions, a employé, au lieu de l'indice unique de M. de Jonquières, deux caractéristiques qui sont u, le nombre des courbes de la suite qui passent par un point arbitraire, et Y: le nombre de celles-ci qui sont tangentes à une droite arbitraire. Cette méthode eët particulièrement commode, parce qu'elle donne des résultats symétriques dans le cas des coniques qui sont des courbes de même ordre et de même classe. Nous avons indiqué l'esprit de cette méthode (Sections Coniques, loc. cit.); nous reproduirons ici quelques-uns des théorèmes en les établissant pour une suite de courbes d'ordre quelconque.
412. Le lieu des pôles d’une droite donnée par rapport aux :ourbes de la suite est une courbe de degré v. Car c’est évilemment le nombre de points où la droite elle-même peut ‘encontrer le lieu. L’enveloppe des polaires d’un point donné ar rapport aux courbes du système est, de même, une courbe le la classe u.
Le lieu d’un point dont la polaire, par rapport à une courbe ixe (dont l’ordre et la classe sont m’, n'), coincide avec sa
we
est m'[y-+ pm —1)] ou
DES SYSTRMES DE COURBES. 523 points ou en un couple de points, et tout point de la droite commune du couple de points peut être considéré dans un certain sens comme appartenant doublement à la courbe. Dans ce dernier cas, le couple de points peut être considéré comme la limite d’une conique dont l'axe transverse est fixe et qui s’aplatit par la diminution graduelle de son axe conjugué, de manière à tendre vers un segment de droite; les tangentes a la conique s’approchent de plus en plus de droites passant par deux points fixes, 4 savoir les points qui terminent la droite; si donc À est le nombre des couples de points du système et w celui des couples de droites, nous avons
U—2Vv—0, v=ap—dA, 3u—=2)1+w, 3v—20 +).
Dans les recherches de Zeuthen relatives aux systèmes de coniques, les nombres À et w sont substitués aux caractéristiques et v de Chasles; dans.la plupart des cas, il est plus facile de déterminer le nombre des coniques d’un systéme donné qui se réduisent 4 un couple de droites ou de points, que le nombre de celles qui passent par un point arbitraire ou sont tangentes a une droite arbitraire.
Un cas spécial se présente quand les deux points d’un couple de points coincident, la droite du couple continuant à exister comme droite bien définie; ou bien les deux droites d’un couple de droites peuvent coincider sans que leur point commun cesse d’exister comme point bien défini. Ceci peut s’appeler un couple de ligne et point.
417. Dans un système de coniques qui satisfont à quatre conditions de contact, il est comparativement facile de voir quels sont les couples de points ou de droites du système ; mais, pour trouver les valeurs de À et w, chacun de ces couples doit étre compté non pas une fois, mais un nombre convenable de fois, et c’est dans la détermination de ces maltiphi-
