DES SYSTÈMES DE COURBES

dont chacune est une tangente commune aux deux courbes; deux fois (B’) un couple consistant en une tangente commune aux deux courbes et une tangente menée à la troisième courbe par le point où cette tangente commune rencontre la quatrième courbe; nous compterons quatre fois (C’) un couple . composé de tangentes menées à deux des courbes par l'intersection des deux autres. Réciproquement, parmi les couples de points nous comptons une fois (A) une droite dont les extrémités sont chacune une intersection de deux courbes, deux fois (B) une tangente à l’une des courbes terminée d'une part par une autre courbe et de l’autre par un point d’intersection des deux autres courbes; et quatre fois (C) une tangente double 4 deux courbes, terminée sur les deux autres courbes. Dans ces cas, on peut à l’intersection de deux courbes substituer l’intersection d’une courbe avec elle-même, ou un point double, et à une tangente commune à deux courbes on peut substituer une tangente double d’une seule courbe.

448. Comme exemple, cherchons le nombre de couples de droites dans le système des coniques qui sont tangentes à quatre courbes données. Nous avons nn'n"n" couples de droites se composant d’une des nn’ tangentes communes aux deux premières combinées avec une des n’n” tangentes communes aux deux autres; et comme nous avons trois manières de former deux couples au moyen des quatre courbes, le nombre A est 3nn'n"n#". Il y a encore nn'n"m” couples, se composant d’une tangente commune aux deux premières courbes et d’une tangente à la troisième menée par un des points où la première tangente rencontre la quatrième courbe; et comme nous avons le même nombre, en prenant une tangente commune à la seconde et à la troisième, ou à la première et à la troisième, il vient

B'—3Zjnn'n"m"

DES SYSTEMES DE COURBES. 527 courbe aux deux autres. Zeuthen montre que chacun d’eux compte pour trois, en introduisant tout d'abord dans les formules un multiplicateur inconnu x et en le déterminant par un examen des cas élémentaires où la seconde et la troisième courbe se réduisent à des points ou à des droites. Si nous réunissons maintenant les nombres A’ + 2B’ + 4C’ et si nous faisons les réductions, nous trouvons

m—n'n'(nr?+ 6mn—8n— 4m +7+ 494+ 3x) +2(n'n"+ m'n’)(n?+amn—n—4m+7) +am'm'n(n—1)

et il existe une expression correspondante pour À. Nous en déduirons les expressions de ui, v,

pu" m' m+ "(min + mn’) + pi n'n’,

v=v" mm" + "(Ca an” + mn’) ey n'n’,"

nn) — 2m(m+n—3)+7, np” vw = am(m+an—d)+ at, uw” vw" = an(am+n—d5)4+ 26,

v= an(m+n—3)+6,

Ces quantités représentent le nombre des coniques déterminées par les conditions d'être deux fois tangentes à une courbe, et en même temps de passer par trois points, ou de passer par deux points et d’être tangentes à une droite, ou de passer par un point et d’étre tangentes 4 deux droites, ou enfin d’être respectivement tangentes à trois droites.

Il n’est pas nécessaire de considérer séparément le cas (1,1), (1,1) (voir n° 413), et les mêmes principes sont applicables aux cas (3), (1). (4).

Nous renvoyons pour plus amples détails au Mémoire de Zeuthen qu'il est très profitable de consulter (Vouvelles Annales, 1866) et aux Mémoires de M. Cayley (Phil.

la question des formes dégénérées des courbes mérite bien d’être l'objet de recherches plus complètes.

La question des nombres des cubiques qui satisfont à des conditions élémentaires données (et qui dépend, comme cela doit être, des formes dégénérées de ces courbes) a été résolue par Maillard et Zeuthen; celle du nombre des quartiques a été traitée par le D" Zeuthen.