PAR G.-H. HALPHEN

Dans cette étude se trouvent rassemblées les principales questions résolues de Géométrie plane, où les points singuliers des courbes algébriques jouent un rôle. La première Partie contient l’£Erposé des fondements de la théorie, immédiatement suivi d'applications concernant l'emploi des coordonnées polaires, ordinaires et tangentielles. Ces applications ouvrent une voie facile à l'étude des développées successives et à la démonstration de la singulière loi suivie par les degrés et les classes de ces courbes.

La seconde Partie est consacrée à ce problème : Trouver le nombre des points en chacun desquels, sur une courbe algébrique donnée, a lieu une relation donnée entre les éléments infinitésimaux de la courbe. La solution est accompagnée d'exemples assez nombreux, parmi lesquels on remarquera, sans doute, ceux qui se rapportent au cas où les éléments infinitésimaux considérés s'élèvent jusqu’au troisième ordre.

Dans la troisième Partie sont exposées les théories con-

HALPHEN. — Sur le genre des courbes algébriques (Association française. Compte rendu de la 4° session. Nantes, p. 237).

Norager. — Ueber die algebraischen Functionen (Gôttinger Nachrichten, 1871, pp. 217 et 267).

— Ueber die singulären Werthsysteme einer algebraischen Function, und die singularen Punkte einer algebraischen Curve (Mathematische Annalen, t. IX, p. 166).

Parvin. — Sur l’abaissement de la classe d’une courbe produit par la présence d’un point de rebroussement (Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, t. IV, p. 131).

— Note sur l'intersection de deux courbes (ibid.,t. V, p. 138).

Surrm. — On the higher singularities of plane curves (Proceedings of the London mathematical Society, t. VI, p. 153).

Sroiz. — Ueber die singulären Punkte der algebraischen Functionen und Curven (Mathematische Annalen, t. VIII, p. 415).

— Die Multiplicität der Schnittpunkte sweier algebraischen Curven (ibid., t. XV, p. 122).

ZEUTHEN. — Nouvelle démonstration de théorèmes sur des séries de points correspondants sur deux courbes (Mathematische Annalen, t. Hil, p. 150).

— Note sur les singularités des courbes planes (ibid., t. X, p. 210).

— Sur un groupe de théorèmes et formules de la Géométrie énumérative (Acta mathematica, t. I, p. 171).

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 541 et dire que y est développable en série convergente, procédant suivant les puissances à exposants croissants et fractionnaires de + — x,. Le plus petit dénominateur commun de ces exposants est limité; c’est le nombre des déterminations de y représentées à la fois par la formule (2). Il faut avoir soin d'observer toutefois que, ce dénominateur étant appelé n, on doit prendre, à chaque terme, une même détermination

1 ae de (x — xs)". Le groupe des déterminations de y, obtenues en changeant la racine n'*™° de (2 — x,), et dont le nombre est n, sera désigné par le nom de cycle.

2. Nous aurons fréquemment à considérer des séries procédant, comme la série de Maclaurin, suivant les puissances, à exposants entiers et croissants, d'une variable, sans qu'il soit besoin de préciser les coefficients de ces séries. Pour abréger, il sera utile d'employer un symbole représentant de telles séries. Vous adopterons donc la notation

avec l’expresse convention que le premier coefficient & sera toujours supposé différent de zéro.

Dans un même calcul, le même symbole pourra, sans inconvénient, représenter plusieurs séries différentes.

3. Après ces préliminaires, entrons dans la théorie des courbes algébriques.

Les variables x, y seront maintenant les coordonnées d’un point du plan. Ces coordonnées seront cartésiennes ou, mieux et plus généralement, les rapports de deux coordonnées homogènes à la troisième.

La proposition du n°1 revêt alors cette forme : Soient To, Yo les coordonnées d’un point sur une courbe algébrique. Aux environs de ce po:nt, les diverses branches de

l’origine du cycle. Leur liaison avec les précédentes a la

forme générale |

| Cr — tn) + 8 (y — vo)

X — X = Re Dent ee L LES 9

r+ a (a — ay) + B(Y — Yo) (TT — Ta) + 8” (V — Vo)

Tita(z—2) +8) —Y)

Substituant dans ces relations les expressions (3) et observant l’hypothèse m2, nous obtenons deux développements dont la forme est rappelée ainsi :

pourvu que a’ et a” ne soient pas nuls. D’autre part, le cycle devant être susceptible, avec les coordonnées X, Y, d’une représentation analogue à (4), nous aurons cette représentation en éliminant ¢ entre les deux dernières égalités. Le résultat a cette forme

On peut seulement craindre qu’un choix particulier des coefficients a, a’, ... permette de réduire le nombre n dans cette derniére formule. Mais il n’en est rien, car si le dénominateur commun aux exposants du développement ne peut s'élever par un changement de coordonnées, il ne peut non plus s’abaisser. La proposition énoncée est donc établie.

5. Par un choix convenable du rapport &” : 8” on fait disparaître le terme du degré n dans le développement de Y — Y, suivant les puissances de £. Si, dans les formules initiales (3), m est supérieur à 7, le rapport a’: 8” devra être pris, pour ce but, égal à zéro. Le premier exposant de Y — Yo sera alors égal à m. Si, au contraire, m est égal à n, alors, le rapport a”: 8” étant convenablement choisi, le premier exposant du développement de Y — Yj sera supérieur à 7. Je désignerai dorénavant ce premier exposant par n + y; la droite, bien

Le développement de n en §se déduira de là et aura cette forme

n = vey.

Ceci est l'équation d’un cycle d’ordre y et de classe n, à moins toutefois que le dénominateur commun des exposants puisse être réduit à un diviseur de y. Mais, à cause de la dualité, cette réduction est impossible. Donc, dans le passage des coordonnées ponctuelles aux coordonnées tangentielles, l'ordre et la classe d’un même cycle s’échangent entre eux.

Si l’on complète ce résultat par l'examen des coordonnées, on peut l’énoncer ainsi: Dans deux courbes corrélatives, à un cycle de l’une correspond un cycle de l’autre courbe. La tangente de chacun de ces cycles est corrélative de l’origine de l’autre cycle; l’ordre de chaque cycle est égal à la classe de l’autre.

7. L'interprétation géométrique de l’ordre et de la classe, pour un cycle, se tire bien aisément du mode d'exposition employé. Revenons aux équations qui ont servi de point de départ

T—Z=lt", Y—Yo—=dat+alt+ al...

Si l’on prend pour variable indépendante x — x,, à chaque valeur infiniment petite de cette variable répondent N déterminations infiniment petites pour £, et aussi pour y — yo. Le nombre N, pour un même cycle, est susceptible de deux valeurs différentes : 1° si la droite x = x, n'est pas la tangente du cycle, alors N = n; 2° si x = x, est la tangente, alors N = n + y. De là cette proposition :

Si une droite mobile est infiniment voisine de l’origine dun cycle, ily a, parmi les intersections de la droite et de la courbe, des points infiniment voisins de cette origine et appartenant à ce cycle : leur nombre est l'ordre du cycle st la droite fait un angle fini avec la tangente; au con-

— Courbes planes. 35

homogènes, nous n'avons pas à parler de points à l'infini. Ils sont compris dans l'exposé général qui précède.

8. Les deux nombres n, v donnent immédiatement l'aspect graphique d’un cycle réel. En nous bornant au cas où l’origine n’est pas à l'infini, nous voyons par les équations (5) que la courbe traverse ou non l’axe des y et l’axe des x, suivant que net n + y sont impairs ou pairs. Par conséquent, les quatre cas que peut offrir un trait continu et sans jarret aux environs d'un point se rencontrent effectivement comme il suit:

1° net y umpairs. L'aspect est celui d’un point ordinaire. Une branche ordinaire correspond d’ailleurs au cas n = y= 1. Cette forme est sa propre corrélative.

2° n impair et y pair. L’aspect est celui d’une inflexion. L’inflexion proprement dite ou ordinaire répond au cas R=1,Y—= 2.

3° n pairet vimpair. L’aspectest celui d’un rebroussement de première espèce. Le rebroussement ordinaire correspond än—2,y— 1; il est corrélatif de l'inflexion ordinaire.

Les formes 2 et 3 sont corrélatives l’une de l'autre.

4° n ety pairs. L'aspect est celui d’un rebroussement de deuxième espèce. Cette forme est sa propre corrélative.

9. Quand une courbe est donnée par son équation en coordonnées rectilignes, l'étude de chaque point singulier se fait naturellement par la recherche des développements de y en zx, suivant une méthode bien connue, qui remonte à Newton. Mais, dans les applications, les données revétent des formes diverses dont il faut savoir tirer parti directement. Arrétons-nous un instant sur l'étude des cycles d’après les expressions des coordonnées en fonction d’un paramètre.

Supposons que, pour des valeurs de ¢ à module limité, les coordonnées d’un point mobile soient données ainsi :

(6) m—Zo—=t"[t]; y—-yo =" [E].

9 valeurs de ¢. Ainsi la variable ¢ ne correspond pas uniformément aux points du cycle, dès que p n’est pas l'unité. A chaque valeur de ¢ correspond un point, mais à chaque point du cycle correspondent p valeurs de £.

En résumé: Si les développements (6) conviennent a une courbe algébrique, et qu'à chaque point représenté par ces développements correspondent des valeurs de t en nombre p :

1° Ce nombre pest un diviseur de n;

2° Les développements (6) représentent un cycle dont

nr Vordre est rl

Ce n’est pas, d'ordinaire, sur les développements (6) euxmêmes que le nombre p sera reconnaissable; mais, le plus souvent, il sera connu d'avance par la nature du problème. C’est ainsi que déjà dans deux cas, aux n°* 4 et 6, nous avons rencontré des exemples où il est certain d’avance qu’on a p = 1. Dans ces deux cas, d’ailleurs, la question même nous a fourni le moyen d'éviter la considération de ce nombre.

Toutes les fois donc qu’un cycle nous sera donné par les développements de deux coordonnées en fonction d’un paramètre ¢, le nombre p étant connu d'avance, nous aurons l'ordre de ce cycle en écrivant les développements sous la forme (6), c’est-à-dire en cherchant le premier exposant de ¢. Nous aurons la classe d'une manière analogue.

Comme il peut arriver que les développements contiennent des termes à exposants négatifs, il conviendra d'envisager le changement de coordonnées le plus général. Voici, en résumé, ce qu'on peut dire : Les trois coordonnées homogènes du point mobile étant développées suivant les puissances à exposants entiers et croissants d’un même paramètre, on cherchera troiscombinaisons linéaires et homogènes X,Y, Z de ces coordonnées de telle sorte que les développements de X, Y, Z commencent par des termes à exposants, tous les

seconde catégorie se placeront les équations qui ne peuvent être mises sous forme entière sans jouir de la propriété de rester inaltérées par le changement de r,A en — r, — À. C'est le cas le plus ordinaire.

41. Soit déduit de l'équation polaire, pour 8 voisin de 4%, un cycle de déterminations de la variable r. Désignons par N le dénominateur commun aux exposants de (9 — 9,) dans le développement de r. En faisant § — 6, = £", et substituant le développement de r en ¢ dans

æ—rcosé, y=rsin8,

on aura z et y développés suivant les puissances de ¢, comme il a été supposé au n° 9. Pour appliquer le procédé expliqué dans ce n° 9, il suffira donc de connaître le nombre p.

Quand 6, est déterminé, c'est-à-dire quand À, n’est ni nul ni infini, le nombre p est l'unité. Effectivement, pour les équations de la seconde catégorie, les deux couples(r, À) et (— r, — À) qui correspondent à un même point ne peuvent appartenir à un même cycle, puisque les valeurs origines sont différentes, au moins pour À, à savoir hp et — Ao. |

C'est donc seulement pour À infiniment petit ou infiniment grand que p peut différer de l'unité; et ceci ne peut avoir lieu évidemment que pour les équations de la seconde catégorie. Nous placerons l'examen de ce cas plus loin, et raisonnerons d’abord sur les équations de la première catégorie.

42. Nous examinerons d’abord les cycles correspondant à des valeurs déterminées de 9p, et, pour éviter une transformation évidente, nous prendrons immédiatement les deux coordonnées

æ=rcos(8—06,), y=rsin(6— 6).

Il ya plusieurs cas a distinguer. La discussion gagne en simplicité si l’on considère, au lieu de r, son inverse.

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 553 . roe se . 1 On voit par là que l’origine du cycle est à l'infini quand (=). est nul, et que sa tangente est aussi à l'infini quand, en outre, 1\° . , (=) est nul aussi. Dans les autres cas, l’origine du cycle est à distance finie, et la tangente ne passe pas au pointz = y = o. II. Le développement de = ne contient pas de terme à expor sant négatif; mais le premier exposant fractionnaire est inférieur à l'unité :

La lettre 6 désigne d’ailleurs le dénominateur commun des exposants.

En prenant la troisiéme coordonnée,

nous aurons

6—6,— 2, T 5 Y Et, Sete, ete]

Le cycle a pour tangente la droitey = 0, pour ordre a, pour classe 6 — a. Son origine est à distance finie si A n’est pas nul, à l'infini si A est nul.

III. Le développement de = commence par un terme à exposant négatif.

= = A(0—8) 5 + ..., 6— — 6, æ=t[t], ya [el].

L'origine du cycle est r —y—o; la tangente » = 0; l'ordre a, la classe b.

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 555 Origine à l'infini; tangente y, = A; ordre 2), classe a.

VI. Le développement de r commence par un terme du premier degré, et le terme suivant est de degré moindre que 3.

r=AX+BaF4..., a<ab, A=, a2, —A=@[t], y, = e[ Fe].

Origine à distance finie; tangente y, — 0, ordre a, classe 26 — a.

VII. Le développement de r commence par un terme du premier degré,et le terme suivant est de degréau moins égal à3 :

r = A+ BA+..., le coefficient B pouvant d’ailleurs manquer.

Envisageons la combinaison

BrÀ — A (F— A) Ci" +...

dont le premier terme est de degré supérieur à 2. On aura At, y= Le], By, —A(z,—A)= 0+ [e].

Origine à distance finie; tangente By, = A(x, —A); ordre 2 b, classe a.

14. Ayant passé en revue tous les cas, nous pouvons en tirer des conséquences. La première sera le calcul du degré et de la classe d’une courbe définie en coordonnées polaires.

Les lettres a et B, affectées d’accents, représenteront les sommes de nombres a ou b pour les divers cycles distingués par les chiffres romains correspondant à ces accents Par exemple, B” — a’ désigne la somme de tous les nombres tels que 6 — a pour les divers cycles II, en d’autres termes pour tous les développements, de la forme (7), tirés de l’équation entre r et 9.

On remarquera que les formules (8) et (g bis) n’exigent pas la connaissance du nombre d.

15. L’analyse qui précède se rapporte aux courbes appartenant à la seconde catégorie (n°* 10 et 11). Examinons maintenant les modifications pour les courbes de la première catégorie. Les résultats du n° 12 s'appliquent encore sans modification. Mais il faut observer qu'à chaque cycle de la courbe correspondent deux cycles différents pour r, 8. Par conséquent, dans les formules (8), (9) et (9 bts), les nombres affectés des doubles ou triples accents doivent étre divisés par 2.

Pour chaque cycle répondant à À infiniment petit ou infiniment grand, deux cas peuvent se présenter : ou bien deux cycles (r, À) différents correspondent encore à un seul cycle de la courbe ; alors, dans les formules, les nombres correspondants doivent être divisés par 2; ou bien un seul cycle (r, À) contient ala fois r,Àet — r,— À. En ce cas, le nombre p (n° 9) est égal à 2. Les nombres «2,8 correspondants doivent donc être encore divisés par 2. Enfin le nombre des points de la courbe, mobiles sur une sécante variable issue de l’origine, n’est plus 2d, mais seulement d. Donc enfin, pour les courbes de la première catégorie, les formules (8), (9), (9 bis) donnent le double de la classe et le double du degré.