Exempre

2 — cos P 6.

Les nombres entiers p, ¢ sont premiers entre eux: l’un au moins différe de 1. Voyons d’abord si cette équation appartient à la première ou à la seconde catégorie. Pour un angle @ les diverses valeurs de r répondent aux diverses détermina-

tions de cos 4 (8+ 2kx). L’équation appartiendra à la se-

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 999 Exewpze 2.

r= > (A, coss6 + B, sins6).

Les divers nombres s sont supposés commensurables. En les réduisant à leur plus petit commun dénominateur q, et posant § — gw, on mettra l’expression de r sous la forme r = À cos pw + B sin pw + A’ cos p'w + B'sin p'w +... = f(w), où p, p',... sont entiers et positifs. La lettre p désignera le plus grand de ces nombres.

Le raisonnement employé dans le précédent exemple s’applique encore ici pour reconnaître la catégorie à laquelle appartient l'équation. Ce sera la seconde catégorie si l’on peut avoir en même temps

et ceci a lieu seulement quand tous les nombres g, p, p’, ... sont impairs. On a aussi d = q.

Pour des valeurs déterminées de 6), nous avons des cycles I ou III. Ces derniers interviennent seuls dans les formules que nous appliquons. Ils correspondent aux racines de f(w) = 0, dont la somme des ordres de multiplicité est égale à 2p. Pour chacune de ces racines, le nombre désigné par b est l’unité, et le nombre désigné par a est l’ordre de multiplicité. Ces racines sont, bien entendu, prises à des multiples près de 27. La caractéristique 6” sera égale au nombre de ces racines. Pour qu'il n'y ait aucun doute à cet égard, nous appellerons N le nombre des racines, distinctes entre elles et différentes de zéro, que possède l'équation

I I . ’ TP + =)+ Bi( ar) Ai( 2+ =) + Bi( x» — =) +... TP TP aP

Nous aurons ainsi 8”—WN, «”= 2p. Le nombre N, on le voit aisément, est toujours pair quand les coefficients sont réels.

En remplaçant cospw, sin pw, ... par leurs expressions

lent pas coskQ. Il n’y a pas de cycles II. Les cycles III répondent à coskQ, — 0. On les obtient donc en faisant : | 1 + Na == 0, ce qui donne, pour a, 2g valeurs sis est impair, q seulement si s est pair. D'après notre convention, ces valeurs de À sont en nombre eg. Pour chacune d’elles, on a un cycle II, dans lequel a = s, b= q. Donc «” = eqs, B” = eg. Pour i infiniment petit, nous avons des cycles V, dont chacun répond a une détermination différente de la puissance

7 du binôme ( 1+A‘ } Le nombre de ces cycles est donc q. On a d’ailleurs, pour chacun d'eux, a — 2q, b=s sis est impair; a—gq, b= = si s est pair. C’est ce qu’on exprime à la fois ainsi: a— eq, b —e =. Nous avons donc a* —eg?, BY=— legs.

Les formules (8) et (9 bis), où nous remplacerons, conformément à la conclusion du n° 15, y et m par eu et em, nous donnent

Eu — eg? + ¢g5,° em —eqs + €qs.

On voit que € disparaît et que le résultat est simplement celui-ci : Quand le nombre k est positif et égal a la fraction irréductible 1, le degré de la courbe est 2qs, sa classe q(q +5).

Soit, en second lieu, k = — £. La distinction des deux

catégories se fait, comme précédemment, par la parité de s. Les racines de cosk0 donnent ici des cycles I ou II suivant

que est plus grand ou plus petit que l'unité. En raisonnant

comme dans le cas précédent, nous trouvons «= eqs, 8” = eg? pours < q. Au contraire, pour s > q, les cycles II n’existent pas.

S. — Courbes planes. 36

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 563 La connaissance du degré entraine donc immédiatement celle de la classe. En faisant le calcul par ce moyen, on retrouve les résultats ci-dessus.

47. Soit m un point quelconque d’une courbe C, et soit mm, la tangente de C aa point m. En un point fixe O, on élève la perpendiculaire Om, au rayon vecteur Om, et l’on prend le point d’intersection de Om, avec la tangente mm,. Ce point m, engendre une courbe C,, que nous appellerons la tangentielle de C, relative au point O.

Nous allons, comme seconde conséquence de l’étude faite aux n° 12 et 13, conclure les singularités de C,, connaissant celles de la courbe C. En appelant r, et 8, les coordonnées polaires de m, par rapport à O, ret § étant celles de m, ona

Ainsi, sauf une rotation de go°, la courbe C, se déduit de C par le changement de - en sa dérivée.

Examinons successivement les diverses catégories de cycles .qui peuvent exister sur C, pour en conclure les cycles correspondants sur C,.

Parmi les cycles I, ceux dans lesquels le développement de

Ii e e e e® = ne contient aucun exposant fractionnaire donnent lieu pour

— a des cycles I présentant le méme caractére. C’est notamnde | ment ce quia lieu pour les valeurs tout à fait arbitraires de 4,.

En second lieu, ceux des cycles I, où le premier exposant

fractionnaire est supérieur à 2, donnent, pour C,, encore des cycles I.

Enfin ceux où le premier exposant est inférieur à 2 donnent,

on forme la combinaison

Bri—A (F-a)=ort+...,

dont le développement commence par un terme de degré supérieur à 2. Soit 2 + ; cet exposant; on a par la le nombre a, b étant déjà connu. Ceci revient à dire que les trois pre-

. I ° miers termes du développement de = sont les suivants :

on en conclut immédiatement

I I B a d’où la preuve du résultat annoncé.

Nous avons mis à part les cycles IV (2) et les cycles VI. Les premiers se conservent, avec leurs caractéristiques, sauf

au cas a — 0. Dans ce cas spécial, envisageons le second terme du développement de r :

r=A+B)°+...; on en conclura

rot Bs