FA A

ir, BAM ees ib A? -<

De là, pour r,, un cycle qui appartient à la catégorie IV (3) sic >> b, à la catégorie V sic = b, à la catégorie IV(2)sic <b. Mais, en ce dernier cas, le premier exposantde r,, pour ce nouveaucycle IV (2), n'est pasnul. Nous désignerons par y lasomme

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 567 égale à la somme des nombres b. Si s < 26, 8" n'est pas changée, et a" est augmentée de la somme des nombres (s — 6). Ce fait produit aussi, dans la formule (8) seulement, une diminution Z(s — b) du terme — a".

Nous réunirons ensemble ces deux diminutions, dont nous désignerons la somme par 6. .

En résumé, quand on passe de la courbe C a la courbe C,,

x", B” sont remplacés par a1, By a”, p° p a” + 67+ Br — 01, 8" + 8B"

Quant a tous les autres éléments qui figurent dans les formules (8), (9), (9 bts), ils se conservent, sauf une diminution y pour a3 et une diminution 6 pour 28" — a”.

Le nombre d se conserve, comme on le reconnait a priori et comme le prouve aussi la comparaison des formules (g) et (g bts). Enfin les courbes C et C, appartiennent toutes deux à une même catégorie. En désignant, comme nous l'avons déjà fait, par e cette catégorie, par m, et 1, le degré de la courbe C,, nous aurons

el — »)— BY-+ BY + B,—2,—2(y¥ +8), (11) e(m,— m)="+ B’— 2’,

18. Nous venons d’admettre que les courbes C et C, sont toutes deux de la même catégorie. Il y a cependant une exception à cette règle générale. Considérons un développement

I . . ° de — suivant les puissances croissantes de A. La courbe C est

de la seconde catégorie si les numérateurs de tous les exposants, réduits 4 leurs plus simples expressions, sont impairs ; elle est de la premiére catégorie dans le cas opposé. Dans le

développement de > tous les exposants se conservent, sauf l’exposant zéro. Les deux courbes sont donc de catégories

e Ld LY rd I différentes dans un seul cas, celui où le développement de =

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 569 D'une manière générale, disons qu'un cycle I de C, aexposants fractionnaires, est du rang n quand le premier exposant

° e I ® fractionnaire du développement de = est compris entre n et

n +1. Dans le passage de C à C,, chaque cycle I de rang n, pour C, donne un cycle I de rang n — 1 pour G,.

Le rang n n’est pas moindre que l'unité; le rang zéro, par les définitions du n°12, constitue un cycle Il; le rang négatif caractérise un cycle III.

Envisageons la série indéfinie des tangentielles successives C,C,, C2, ... et prenons celle qui a le rang k+1, C4. Les cycles I qui, pour C, ont les rangs k+1, k+a2,... donnent pour C; des cycles I ayant les rangs 1, 2, .... Ceux qui, pour C, ont le rang k, donnent pour Cy, des cycles II; ceux enfin qui, pour C, ont des rangs moindres que k, donnent pour C4 des cycles III.

D'une manière générale, soit

Péquation d'un cycle de C ayant le rang 7, et faisons pour

tous les cycles de ce même rang La = an, 26 = By. Pour C,,

les caractéristiques analogues à a” et $” sont «4 et By; et les

caractéristiques analogues à @” et 6” sont

ay — a” — a,—a,... —ay, +k(B” + BP’) + (A —1)8,... + 8Bg 1, B7-+ 67+ 8, ...+ Byes.

Considérons à la fois C,, et C4, et, distinguant leurs classes

et leurs degrés par les lettres et m affectées des indices cor-

respondants, nous aurons

(12) ( (He — Baa) = — ae + BY + BP + Bi + Bet... + Bey ( © (mg, — my y) = — xs +8" +B" + Bi + Ba+. + Bey.

20. Nous avons, par les formules (12), acquis la connaissance du degré et de la classe de chacune des courbes

"S SINGULIERS. 971 ng à partir duquel

*. ainsi que la

‘Ame degré

‘ivement,

Bi sinZo+....

actionnaires. Les cycles

posant zére; il n’y a aucun

: loi régulière commence avec

un coïncide alors avec la carac-

-téristique est ici le nombre désigné HONE

me +AN, eu,zmep+aAn.

:, comme on l'a vu, égal à 2 siq, p, p', ...

trs ; à 1 dans le cas opposé.

iple fournit un moyen simple pour obtenir unc : libitum.

MPLE 3.

rk — cos k0.

- Ak est positif et désigné par 1, la discussion faite au n° 16

montre que la loi régulière commence à la courbe elle-même. La raison R est égale à eg?. On a donc

Mm—=2q9s+hq?}, pra=—aqs+(h+1)q?.

Sif est négatif et désigné par — 1, le développement de r sui-

vant les puissances de À (n° 16) montre que les cycles VI n’appartiennent pas au cas d'exception, sauf dans la seule hypothèse 9 = 1,5 = 2. Laissant de côté cette courbe spéciale,

DD LES POINTS SINGULIERS. 573 nn. 21 à un cercle de rayon 4, ayant son centre Mordonnées, on prend les polaires récis courbes C et Cy, la courbe C', est la déve- analyse qui précède nous apprend donc à a D la classe, les singularités de la développée

brique quelconque ; la proposition du n° 20

elle.

| Dun rang toujours limité, les degrés et les res développées successives d’une courbe algébrique uque forment deux progressions arithmétiques de

raison.

“ms exemples du n° 21 constituent des exemples pour cette ®mssvelle proposition. A ce point de vue, le premier exemple Gees. rapporte aux épicycloides algébriques. Le troisième se æmsmpporie encore aux courbes r*= cosk@, suivant une rew-marque faite à la fin du n° 16, et d’après laquelle ces courbes ont pour polaires réciproques des courbes de même

définition.

23. En considérant une équation entre r et 8 comme définissant la courbe C’, nous avons là les coordonnées qu'on peut appeler polaires tangentielles. L’angle 8 est celui que

. 1 . ON fait la normale avec un axe fixe; = est la distance de l'origine

à la tangente. A ce point de vue, la distinction des équations en deux catégories acquiert une importance beaucoup plus grande. Pour la courbe C, cette distinction est relative à l'origine des coordonnées; quand on prend arbitrairement cette origine, toute courbe est de seconde catégorie ('). Mais, pour les coordonnées polaires tangentielles, la distinction est

(*) L'équation d'une courbe est de la première catégorie quand l'origine a la propriété suivante : sa distance à un point quelconque, pris sur la courbe, est une fonction rationnelle des coordonnées rectilignes de ce dernier.

fondamentale. En effet, le changement d'origine, dans ce

système de coordonnées, se fait par le changement de : en

+ acos§ + 6sin9, ce qui ne modifie pas la catégorie. Les

courbes, dont l’équation en coordonnées polaires tangentielles appartient à la première catégorie, sont celles que M. Laguerre a appelées courbes de direction (').

(*) Sur les hypercycles (Comptes rendus, t. XCIV, p. 778). — Sur la Géométrie de direction (Bulletin de la Société mathématique, t. VII,