DEUXIEME PARTIE

24. Soit ®(z, y) une fonction rationnelle pouvant contenir, non seulement x et y, mais encore les dérivées de y par rapport à x. Envisageons, d'autre part, un cycle défini par les développements de x et y suivant les puissances ascendantes, à exposants entiers, d’une variable ¢. De ces développements

on en peut tirer d’analogues pour a, TR °° substitution dans ®, et ordonnons suivant les puissances croissantes de ¢. Le degré du premier terme sera appelé ici Vordre de la fonction ® relativement au cycle. Cet ordre est indépendant du choix de é¢, pourvu que cette variable corresponde uniformément aux points du cycle (n° 9).

Envisageant maintenant une courbe, nous laisserons de côté le cas où tous les points de la courbe rendraient ® nul ou infini. Il n’y a alors sur la courbe qu'un nombre limité de points, origines de cycles relativement auxquels l’ordre de ® ne soit pas nul.

«+ Faisons la

25. Taéonëme. — La somme des ordres d’une méme fonction relativement à tous les cycles d’une même courbe est égale à zéro.

Supposons d’abord que contienne seulement x et y sans dérivées, et soit simplement un polynôme entier. Soit F(z, y)—o l'équation de la courbe, et envisageons l'équation en x seul, qui résulte de l'élimination de y entre F—oet D — o. Pour simplifier, nous pouvons, sans restreindre cependant la généralité, grâce à la signification

même raisonnement pour les divers cycles qui répondent à x infiniment grand. Un tel cycle est représenté par un développement de y suivant les puissances croissantes de ¢, quand on a posé x = ¢-4. Il en résulte que le degré du premier terme dans le développement de R(z) suivant les puissances décroissantes de x est égal à la somme, changée de signe, des ordres de ® pour tous les cycles répondant à x infiniment grand. En égalant ces deux expressions du degré de R(x), on a la preuve du théorème annoncé, pour le cas supposé où D(z, y) est un polynôme entier en x et y seuls.

Pour une fonction rationnelle, l’ordre relatif à un cycle est égal à la différence des ordres des polynémes entiers qui servent de numérateur et de dénominateur. Donc la proposition s'étend naturellement à une fonction rationnelle de x, y.

dy dy

Pour une courbe algébrique, les dérivées qe de”

peuvent s’exprimer rationnellement en x et y. Donc la proposition s’étend aussi du cas où la fonction ®(z, y) contient ces dérivées. La démonstration en est donc complète.

26. Pour les applications du dernier théorème, il y a toujours nécessité de distinguer, parmi les cycles relativement auxquels l’ordre de ® n’est pas nul, ceux pour qui cette circonstance est due uniquement au choix des coordonnées. Nous allons faire cette distinction une fois pour toutes. Pour ce but, une courte digression est nécessaire.

Il s’agit d'introduire, d'une manière générale, la projectivité dans les équations différentielles, de manière à pouvoir y faire aisément les changements de coordonnées. À cet effet, nous considérerons des transformations qui serviront surtout au raisonnement, et dont nous nous affranchirons ensuite. dy dy dx’ dx ** supposerons un changement de variable indépendante, laissant d’ailleurs la nouvelle variable ¢ indéterminée; et nous

Soit une équation algébrique entre x, y, .. Nous

S. — Courbes planes. 37

L’exposant w est égal au poids de f par rapport aux indices de dérivation.

27. Pour rendre l'équation projective, prenons, comme figure de comparaison, un quadrilatére arbitraire. A cet effet, introduisons les coordonnées de quatre points. Abrégeons l'écriture en employant la notation (abc) pour le déterminant formé avec les coordonnées a,, a3, as; 04, ba, b33 Cy, Ca, Cs de trois points a, b, c. Désignant par w les nouvelles coordonnées du point variable, nous poserons

u, = (whc)(acd)(abda), (18) us — (wea)(bad)( bcd), | u, = (wab)(cbd)(cad).

En substituant, nous avons, au lieu de /;(u), une fonction des coordonnées w, a, b, c, d, qui peut, dans certains cas, se décomposer en le produit de deux facteurs dont l’un ne contienne pas les #. Prenant cette hypothèse, la plus générale, nous auronsain si

Ji(u)=g(a)Fi(w, a);

les lettres entre parenthèses sont destinées à rappeler les coordonnées qui figurent dans les fonctions; la lettre a est mise pour a, b, c, d.

D'après la forme des équations (18), une même substitution linéaire effectuée à la fois sur les w, a, b, c, d a pour effet de multiplier les u par le cube du déterminant A de la substitution. Donc le produit 9(a)F;(w, a) se reproduit multiplié par 43°, et les deux facteurs se reproduisent chacun multiplié par une puissance de A. Désignant par W, A, ... les nouvelles coordonnées, nous aurons donc

La fonction F,(w, a) est un covariant différentiel, conte-

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 581 Enfin, en nous servant de l'égalité (19), nous conclurons

Écrivons explicitement les formules du changement de coordonnées :

x y I aX+BY+y aX+ARY+y, aX+BY+

et nous aurons, pour l’égalité définitive que nous voulions obtenir,

A dX\» Go) Re yseysay (FZ) FeO Telle est la formule pour le changementde coordonnées dans le premier membre d’une équation différentielle exprimant une propriété projective.

29. Les deux exposants 6, w sont importants pour ce qui va suivre. Il sera utile de savoir les calculer sans exécuter le changement de coordonnées.

Supposons le point mobile aux environs de l'origine du cycle

leurs finies différentes de zéro, sauf (= =) dont le développe-

dx ment commence par un terme du degré — w en y — Yo.

Par conséquent, le nombre w, changé de signe, est l’ordre de F;(x) pour le cycle considéré. On pourra aussi calculer cet ordre en renversant l'équation du cycle, et prenant

Y — Yo — 41 (2 — ary)? + quiz 2) + qe —a0)* +

Substituant ce dernier développement, à coefficients arbi-

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 583 variant pour un cycle dont l’origine a ses coordonnées x, y, infinies. Pour une courbe du degré m, la somme totale des ordres du covariant, relativement à tous les cycles analogues, est — mu’.

Pour appliquer la proposition du n° 25, nous avons ainsi dans la somme des ordres du covariant, relativement à tous les cycles de la courbe, cet élément — (wp + w'm), qui se rapporte exclusivement aux coordonnées. Au contraire, tout autre élément de la somme est indépendant de ces coordonnées. En effet, voulant calculer l’ordre de F;(x) relauvement à un cycle, nous pourrons, dans la formule (20), supposer l'origine de ce cycle et sa tangente répondant à X = Y=o0, et Y = o. Si l’origine de ce cycle ne répond pas aux coordonnées x, y infinies, et si la tangente n'est pas x=, alors les facteurs du second membre dans (20), sauf F, (X), sont d’ordre zéro. Donc l’ordre de Fz (zx) est égal à celui de F, (X). Il est indépendant des coordonnées x, y et peut être calculé en réduisant les coordonnées à la forme la plus simple. En désignant par Q la somme des ordres du covariant, ainsi calculés pour chaque cycle, on aura donc

(a1) Q — wp + w'm.