Exemple: F — -=. Soit le cycle

y= neat

Le degré du premier terme, en x, est —

T. L'ordre de F,

relativement à ce cycle, est donc (v — n) D'où la formule

(22) .. DO) =3(e—m),

où la sommation doit s’appliquer à tous les cycles pour lesquels les deux nombres y, n sont différents.

Cette formule (22) donne le nombre des points d’inflexion ;

ÉTUDE SUR LES POINTS SING ULIERS. 985 des termes ci-dessus était réduit a sa partie principale. Le degré de ce monôme est égal à la somme des degrés des termes,

diminuée du poids, c’est-à-dire 8 + * — 15. Donc l’ordre de

l'invariant, relativement au cycle, est 4v—7n. Donc les cycles de la première catégorie apportent à la somme Q l’élément

a, = Sd (Gv—7n).

Pour un cycle de la seconde catégorie, d'ordre et de classe n, le calcul précédent ne s’applique pas. Dans la première ligne du déterminant, les termes x? et y ont leurs parties principales du même degré 2; les parties principales des autres termes ont les degrés o, 1, 3, 4. Il faudra donc, pour appliquer la même analyse, remplacer le terme y par une combinaison linéaire C :

C—=ax+ay+a"xy + a"}y!,

dont la partie principale soit de degré supérieur à 2 et différent de 3 et 4. Soit formée une telle combinaison; désignons le degré de sa partie principale par 5 + /, le nombre / pouvant être négatif et fractionnaire. La partie principale du déterminant est alors du degré 7, et son ordre pour le cycle est dn. L'interprétation de ce résultat est la suivante : le nombre (4 + 7) marque l’ordre le plus élevé du contact qu'on puisse établir entre chaque branche du cycle et une conique. Ce nombre, pour une branche de courbe quelconque, est ordinairement 4, et l'est alors nul. Voici donc le résultat : Sur une courbe, de degré m et de classe p, si l’on envisage toutes les branches ayant avec leurs tangentes des contacts du premier ordre, et avec des coniques des contacts d'ordre maximum différent de 4, et qu'on désigne par 4 +! l’ordre d’un quelconque de ces contacts, on aura

y= 15p — 18m + DR — 6),

Les nombres p,q sont entiers et premiers entre eux. Cette courbe, qu’on peut appeler anharmonique à cause de ses propriétés (!), se reproduit elle-même par une infinité de substitutions homographiques, conservant le triangle de référence. Il en résulte qu’il ne peut y avoir ni point d'inflexion, ni point sextactique, hormis les sommets de cetriangle. La classe est égale au degré, attendu que la courbe est sa propre corrélative. Les sommets x—3—0ety —3—o sont les origines de deux cycles corrélatifs dont les ordres sont p et q, les classes g et p. On a donc bien zéro au second membre de (22). En outre, la somme des nombres n + vest 2(p + q) ou m-t-p, et l’on a zéro au second membre de la formule (23).

34. Par les deux applications des n° 31 et 32, on a vu comment la formule (21) est propre à faire connaître le nombre des points ot les éléments infinitésimaux d’une courbe satisfont 4 une relation projective donnée. Dans ces deux applications, la relation était exprimée par l’évanouissement d’un invariant. S’il s’agit d’un covariant, c'est-à-dire si la relation a lieu entre la courbe et une figure donnée, il y a place pour une discussion. On doit examiner : 1° quels sont les éléments du nombre Q qui proviennent de points invariables sur la courbe quand la figure varie; 2° quels sont les éléments qui, au contraire, proviennent de points variables avec cette figure; 3° comment enfin ces éléments peuvent se confondre pour des situations particuliéres de la figure et de la courbe. Cette derniére partie de la discussion doit étre réservée pour chaque cas particulier. En la laissant de côté, on se trouve en présence d’un problème général bien défini. La figure est représentée par quatre points, comme il a été

(') Focagr, Sur quelques proprietes des systèmes de courbes; et Integration géometrique (Comptes rendus, t. LXXVIII, pp. 1693 et 1837).

Kreix et Lis, Veber vertauschbare lineare Transformationen (Math. Ann., t. IV, p. 50).

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 289 simple de la courbe C. Donc l'élément de Q qui s’y rapporte est entier et positif. Si cet élément n’est pas égal à l’unité, c'est que la dérivée du covariant F, prise par rapport au point x le long de la courbe C, s’évanouit en même temps que F. Soit F, ce que devient F quand on y substitue, au lieu de y et de ses dérivées, leurs expressions en x relatives a C, en sorte que F, dépend maintenant de la coordonnée x et des a, b, ... L'hypothèse entraîne cette conséquence

que LS s'évanouit avec F,. Il en résulte aussi que les dérivées

partielles de F,, par rapport aux coordonnées de a, b, ... s'évanouissent, aussi en même temps. Donc F,, considéré comme fonction de ces dernières quantités, se décompose en facteurs dont un au moins est un carré. C’est un fait qui peut se produire, mais se rapporte précisément au cas que nous venons d’exclure, celui où, pour la courbe envisagée, le covariant se décompose. Ce cas exclu, le point x apporte au nombre Q un élément égal à l'unité. Donc la partie du nombre Q, relative aux points de la courbe variables avec les éléments du covariant, est égale au nombre des points simples de la courbe, en chacun desquels ce covariant s'évanouit.

36. Les éléments de Q qui répondent, au contraire, à des points de la courbe invariables, ne sauraient être discutés à la fois pour tous les covariants imaginables. Mais on peut répartir les covariants en vastes groupes, à chacun desquels s'applique une discussion unique. L'ordre le plus élevé des dérivées qui figurent dans le covariant peut servir de base à cette classification.

Dansun covariant du premier ordre, les éléments de la courbe

sont x, yi. Pour le calcul du nombre Q, ces trois quan-

tités ont, en chaque point, des valeurs finies. Il est impossible que la substitution de ces valeurs dans le covariant

deux formes de F. On a ainsi, pour le nombre N des points où la condition F = o est satisfaite,

N=(kK—1)m+hp.

Tel est le résultat quand, la courbe C étant censée donnée, l'indépendance a heu, c’est-à-dire que A et B restent indéterminées. L'examen des circonstances qui accompagnent la dépendance doit, avons-nous dit (n° 34), être réservé pour chaque cas particulier. Faisons ici cet examen, en nous bornant toutefois, pour abréger, à la recherche des éléments répondant à des points de C qui ne varient pas avec la droite À.

En prenant, pour le point w, — u: —0, l'origine d’un cycle et pour la droite u, = 0 la tangente de ce cycle, pour

e . u : ‘ q . e variable indépendante z = + nous avons, à l'origine du

cycle, les valeurs 0, 1, o pour &;, &, §3; par suite, d’après la dernière forme du covariant, F,(x) est fini, différent de zéro, si A, Bs — A,B, n'est pas nul. Ce binôme ne peut être nul, quelle que soit la droite A, que si B, et B, sont nuls tous deux. Cette circonstance se présente, ou bien si B et C sont tangentes entre elles au point z, ou si ce point est multiple sur B. Pour examiner un tel cas, revenons a Ja premiére forme de F, en y prenant pour ¢ une variable suivant laquelle se développent les coordonnées de x sur le cycle. Soit À l'ordre de B pour ce cycle, c’est-à-dire le degré du premier terme dans le développement de B suivant les puissances croissantes de ¢. L’ordre de F, pour ce méme cycle, est À — n, si n marque l’ordre du cycle.

En prenant pour chaque point commun à B et C le nombre analogue à À — n, nous aurons donc

Ni=(k—i)m+p—S (An)

pour le nombre N, des points variables avec la seule droite A. Si toutes les intersections de B et C sont simples, notre

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 993 et permet de varier la forme extérieure d’un même covariant. Si l’on omet la condition que z soit sur la droite, une équation entre les w et les § définit ce que Clebsch a appelé un connexe.

Les nombres w et w’ qui sont les degrés du polynôme relativement aux lettres E et w sont la classe et l’ordre du connexe. La proposition du n° 36 donne donc celle-ci : Sur une courbe, le nombre des points dont chacun, avec la tangente

en ce point, appartient à un connexe, est égal au produit des ordres du connexe et de la courbe, augmenté du produit de leurs classes.

On peut encore envisager le système des courbes qui sont représentées par l'intégrale générale de l'équation obtenue en égalant le covariant différentiel à zéro. Alors w et w’ sont les deux caractéristiques du système, w le nombre de ces courbes qui passent par un point, w’ le nombre de celles qui touchent une droite. La proposition prend alors cette autre forme : Dans un système ayant les caractéristiques w et vw), le nombre des courbes qui touchent une autre courbe donnée de degré m, de classe 2, est wp. + w'm (1).

Il ne faut pas oublier, dans les deux énoncés, l’indépendance qui a été primitivement supposée.