Poursuivons la discussion commencée au n° 36, et

prenons un covariant différentiel du second ordre. Soit F,(x)

dy dy dx’ dx?

rapport a oe et soit un de ses termes (Rs) (er, =) .

Envisageons un cycle

ce covariant qui contient x, y, - Ordonnons-le par

y¥ —¥o— A(a — ay) + B(x —a)'*#+....

(') Focret, Memoire sur les systèmes généraux de courbes planes, definis par deux caracteristiques ( Bulletin de la Soc. Math., t. Ul, p. 72).

S. — Courbes planes. 38

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 99 40. Cette corrélation se vérifie aisément sur la forine proective des covariants différentiels du second ordre. Pour nous placer au même point de vue que dans le n° 38, nous léfinirons cette forme comme il suit. Abréviativement, lésignons par (w?§?) une fonction doublement homogène Je u,, ur, us et E,, &, Es, du degré p par rapport aux u, du degré g par rapport aux §. Faisons aussi

D —(uuu").

La forme générale projective cherchée est Fi(u)= Dy(uP lt) + Dr-t(ur-363#3) + Dr-t(ur-séa+s) +...

Par rapport aux indices de dérivation, le poids de D est égal à 3. Le poids de F est celui d’un quelconque de ses termes

Le degré par rapport à uw est égal à 3 pour D, à 2 pour les §. Le degré 6 de F est donc celui d’un quelconque de

ses termes :

6=3y+ 29g +P; par conséquent, w' = 6 — 20 = p— 3y.

La seconde forme (24) du nombre N est ainsi (25) N=pm+qp-+ 7p.

Pour une transformation corrélative on doit remplacer respectivement uw par &, § par Du et D par D?. Ces substitutions faites, F contient le facteur D avec l’exposant ay + 7; ce facteur supprimé, on obtient pour le covariant transformé

F’ = Dr(uP!£9’) + Dy-1( wP/—3 69/8) + Dy-2(upl-66a+6) +... P=9+3y, v=p—3y.

La premiére forme (24) du nombre N est donc

(25 bis) N=p'u+gm+Tyr,

des contacts du second ordre avec une courbe donnée et satisfont, d’autre part, à une condition triple indépendante de la courbe, est y (3m + p). Le coefficient y ne dépend que de la condition triple; m est le degré de la courbe, p l’équivalent de ses points singuliers en points d’inflexion.

Pour avoir un exemple où ne se présentent pas de pareilles circonstances, il faut prendre une équation différentielle dont l'intégrale générale ne soit pas représentée par des coniques. En voici un : désignant par a, b, c les premiers membres des équations de trois droites, prenons le déterminant

F,(u) = Tai, (ab), (c)"].

L'intégrale générale de F,(u)=o est représentée par les cubiques ayant pour point et tangente de rebroussement le point a—c—o et la droite a — 0; en outre, leur point d’inflexion a pour lieu c =o et la tangente d’inflexion passe constamment au point a = b = 0. Le nombre de ces cubiques qui ont un contact du second ordre avec une courbe est donné par la formule 6m + p. On a, en effet,

Y=1, p=6, qg—=o.

44. Nous allons maintenant faire la discussion générale, commencée au n° 36, pour les covariants différentiels du troisième ordre. Tout d’abord, prenons ces covariants sous leur forme projective, ou, en d’autres termes, indépendante des coordonnées. Dans une pareille forme, les dérivées du troisième ordre seront introduites au moyen de la combinaison suivante :

G = (uu'u”) ayx + 3(uulu") aya — 3(uu'u") ayay.

Les signes a,, &,... expriment des formes linéaires, savoir :

Au AU; + lg + ls a; = 2%, b, + 248, + 2583,

__ , ’ , — Uy Pp

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 6o1 ordre, et son expression contient un point a et une droite a en outre des éléments du point x. Pour ce covariant, le nombre west égal à 5. Le nombre 6 est égal à 6; par suite,

wi —Ô — 20 = — 4.

On peut, sans inconvénient, supposer le point a sur la

droite a. Prenant alors des coordonnées particulières, on pourra faire

a,—OdO, a, — 0, dx — 1, a, — 0, Lo — ];, As — O. Choisissant x = = = pour re et y — - pour fonction, a on réduit ainsi P à Tn 7 et G a SY - Par la se reconnait que, dans cette hypothése (le point a a sur la droite a), G=o0 est Péquation différentielle des coniques qui touchent la droite a

au point a. Si, au contraire, on suppose que x ne soit pas sur a, on peut choisir les coordonnées ainsi

Avec les mêmes variables que tout à l'heure, on a pour G

(zy'—y)’ rapport à z. L'intégrale générale de G = 0 est

l'expression — d =| | où les dérivées sont prises par

Az?+2Bry+Cy?=

où A, B, C sont les constantes d'intégration. Elle est représentée par les coniques relativement auxquelles est le pôle de a.

45. Au moyen du covariant G nous pouvons écrire un covariant quelconque du troisiéme ordre sous forme projective. Il suffit, à cet effet, de faire intervenir avec G le déterminant D —(uu/w")et de prendre pourcoefficients des fonctions des lettres u et &.

L’exposant de D peut s’écrire ay 4-26 + g = w —(e+3y).

Il a pour minimum (w —c). Il y a donc lieu de supprimer le

facteur D*~ à tous les termes. Après cette suppression,

nous avons, pour le terme envisagé dans F, un terme corres-

pondant du covariant corrélatif, et les exposants correspondants sont les suivants :

NY SS AY 2+YG@—o+rec, P= |, W=-P- Calculons, par leur moyen, les nombres s,, s’,, a@,, @,, et tout d’abord c, :

Comme F ne contient pas le facteur D, il y a au moins un terme où € est nul. Par conséquent, €, + 3, a pour maximum

c; c'est-à-dire c, = c. On a ensuite 1. C cE, HSUEH TIÎT+IE+q—w + ——IY—E + ——S; 1 ay 1 ; c Cc Sante sat AEG wi UE HS

Qa, =w,— F¢,=57,+ 3e+ qu —3—=a", a’, =o’, + = — 4 — 3e, + Pi + 2c, =a.

En résumé, pour le covariant corrélatif de F, les nombres a et a’ sont échangés, le nombre b se conserve; et pour chaque terme les nombres s, s’ sont échangés.

46. Soit à chercher l’ordre du covariant F relativement à un cycle » 1 Jy Yo = (wr — Lo tml (x — 2)" |:

- Ÿ . q ar 2 ° oy: — Si 7 diffère de l'unité, on trouve immédiatement a pour le degré de la partie principale de G. D'ailleurs la partie prin-

cipale de D est du degré . —" Donc un terme quelconque

ETUDE SUR LES PUINTS SINGULIERS. 605 Il en résulte que, pour le cycle envisagé, l’ordre de G est — (n—k)sik<n; ou zérosi k2n.

Nous désignerons par H la somme positive 2 (2 — k) pour tous les pareils cycles. Le degré du covariant, relativement a G, étant 6, l’ordre total de F, pour ces cycles, est — 6H.

Quant aux cycles v2, chacun d’eux apporte aQ l'élément calculé précédemment. Le nombre des éléments de Q, qui se rapportent a des points variables, est donc

N = wn + w'm+ OH +2 S(n—») + ÿ max. de (sv-+s'n).

Combinant cette formule avec (22) et introduisant a et a’ au lieu de w et w’, nous aurons

(26) N=ap+am+bH+ ÿ max. de (sv+s'n).

Telle est la formule définitive qui donne le nombre des points, sur une courbe, où s’évanouit un covariant différentiel du troisième ordre. Elle est sous forme dualistique : le nombre H se conserve pour les transformations corrélatives ; u et ms’échangent, ainsi que a et a’; v et ns’échangent, ainsi que s ets’.

47. Il convient de nous arrêter quelques instants sur la formule (26). On peut se donner à volonté un ensemble quelconque de couples s,s’ : il y répond toujours des covariants F, sauf quelques restrictions que voici : 1° les nombres 25, 2s’ sont tous entiers et d’une même parité; 2°s + s’ est toujours positif, et l’une de ses valeurs est zéro ; 3° les maxima de s+ 2s’ et de s' + 25 sont égaux.

Quand ces conditions sont remplies, on peut prendre

4c = max. de(s +25) = max. de(s + 25),

puis a et a’ à volonté, de telle sorte toutefois que 2a et 24

courbe, du degré m, avec une courbe covariante. La formule nous fournit le degré de cette courbe. Ainsi, les points qui, sur une courbe du degré m, satisfont à une même équation différentielle, sont à l'intersection de cette courbe avec une autre, dont le degré est wm<+w—w, les nombres w et w’ étant calculés comme au n° 29.

Pour appliquer la formule (24) à une courbe n'ayant que des singularités ordinaires, il faut calculer le nombre +. Or, d'après notre mode d’analyse, on trouve à cet effet le procédé suivant : substituez, dans le covariant, le développement |

Y — Yo =(T — ar)? L(x — za) |.

, . I Le degré, en (x — .r,), du premier terme est — at

Le nombre y étant ainsi connu, nous pouvons prendre la seconde forme (24), et supposer maintenant une courbe sans singularités tangentielles. Nous aurons alors m= u(u —1), N=p [(w'+ 3+)u + w — w — 6] . D'où cette conclusion : Les points qui. sur une courbe de la classe uw, sattsfont à une méme équation différentielle, sont les points de contact de cette courbe et des tangentes qui lui sont communes avec une autre, dont la classe est

Exempies. — Prenons le covariant du n° 32. L’expression de Q, montre que ce covariant s'évanouit en chaque point d’inflexion (v= 2, n = 1). Donc il contient le facteur D, ce que le calcul direct permet de vérifier. Pour le covariant, débarrassé du facteur D, les nombres w et w’ doivent donc être diminués des nombres analogues, 3 et — 3, relaufs à D. On a ainsi w= 12, ©" = — 15. Donc les points sextactiques d’une courbe de degré m sont sur une courbe covariante, du degré 12 m — 27.

S. — Courbes planes. 39

La méme expression de Q, donne, pour un point de rebroussement(v = 1,2 = 2), —v¥ = 4— 14,0uy = 10. Donc les tangentes aux points sextactiques d’une courbe de classe LP appartiennent à une courbe covariante de classe 12u— 297.

Les deux exemples du n° 42 donnent ici ces constquences : les points où une courbe de degré m a des contacts du second ordre avec les coniques d’un réseau appartiennent à une courbe covariante du degré 3(m—1}); les tangentes aux points où une courbe de classe a a des contacts du second ordre avec ces mêmes coniques appartiennent à une courbe covariante de classe 3(u —:1}); ces nombres sont doublés s’il s’agit des coniques passant par un point fixe et bitangentes à une conique fixe; et généralement pour une série de coniques à deux arbitraires, on a les nombre: analogues 3v(m—1), 3-(u — 1).

50. Nous allons maintenant prendre quelques exemple: de la formule générale (26), relative aux covariants du troisième ordre et à des courbes quelconques.

ExempLe 1. — Prenons le covariant G lui-même. Il n'y i

VE I qu'un seul terme, défini par les nombres a = a’ = > b=.