S(VI
ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 611 envisagée aun°33: m= p= 5. Deuxcyclesv2n.ny=3,¥,= 2, hy = 1,¥3=2,52(n+yv) = 4.Uncycleyv=n=2,k=1, H = 1. Donc N = 10.
Application à la courbe x? 7 = zP+1 :
Si l’on envisage l'équation différentielle des coniques ayant avec une courbe donnée des contacts du troisième ordre, cette équation sera du second ordre et son degré par rapport à D sera N. Nous reportant au résultat général étabh précédemment (n° 43), nous avons cette conséquence : les coniques dont chacune a un contact du troisième ordre avec une courbe (mm, ) et un contact du second ordre avec une autre courbe (7»7,,u,) sont en nombre
. I . ‘ [$(me+ 4) += (a +4)+H](3a,+ 4).
Exemp ce 2. — Pour le covariant F, nous allons prendre le premier membre de l'équation différentielle des coniques passant par un point et touchant une droite. Celte équation étant compliquée, nous ferons le calcul sans la développer. En désignant par ¢,,¥2,¥3 les coordonnées du point donné, déterminons les coefficients de l'équation d’une conique par les équations
(o)— ay, + Qe 2 + A446? +2 Aya 84 (yg +2 das V2 Vs +2 Ag, 03 08, — 0 puis f(u)=o. fu)=o, fiu)=o, f"(u)=o.
Formons, avec ces coefficients, ceux de léquation tangentielle de la conique
X33 — Uy, gr — Aya, Aig — Aides — ia ss
L’équation différentielle s'obtient en mettant dans l’équa-
tion tangentielle, les coordonnées de la droite. Toutefois il faut observer que les coefficients 2;; contiennent tous un facteur étranger (vuu’)?; on le vérifie aisément par le calcul, et la raison en est que la conique passant par un point ¢ el ayant avec une courbe, en un point donné w, un contact du troisième ordre, se réduit à la tangente, si 6 est sur cette tangente.
L’équation différentielle doit donc être débarrassée du facteur (vuu')?, sans quoi le nombre N que nous trouverions serait augmenté du double de la classe p. Il faudra donc diminuer de deux unités le nombre w calculé sur le covariant, tel que nous l’avons défini.
Par rapport aux indices de dérivation, chaque coefficient ai; est du poids 6; le covariant est donc du poids 12. Diminuant ce nombre de deux unités, nous avons w = 10. Nous trouvons de même 6 = 16, par suitew’ = 6 — 29=—8. Le degré b, par rapport à la dérivée du troisième ordre, est évidemment 2. Il nous faut maintenant trouver les nombres qui caractérisent les divers groupes de termes. Mais, ne voulant pas développer le covariant, nous opérerons en substituant directement le développement relatif à un cycle Yon,
Les coefficients a;; étant donnés par des déterminants, un raisonnement tout pareil à celui du n° 32 fait voir que les ordres de ces coefficients pour le cycle sont respectivement les suivants:
dis Aes; Ass, Ait a3; aa, 2V—QN, v—2n, 2V, v—an, v—n, 2av—na.
Il en résulte que, parmi tous les coefficients de ]’équation tangentielle, c'est a3, dont l’ordre est le plus petit, 2v — 4”. . , v Ce résultat, indépendant du rapport, montre que, dans ce n
covariant, il n’y a qu’un seul groupe (s, s’) pouvant donne!
ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 613 le maximum de (sv -+ sn). De cette analyse résulte
N= 1op—8m+al+ Y (4n—av); en combinant avec (22), on obtient la forme dualistique N=m+pt+ Yi(n+y) +a
Ainsi les coniques qui ont des contacts du troisième ordre avec une courbe, et qui, en outre, touchent une droite et passent par un point, sont en nombre double de celles qui touchent une droite en un point donné. C’est une proposition connue dans la théorie des caractéristiques.
Exempre 3. — Le calcul précédent s’applique encore au covariant qu’on obtient en envisageant les coniques passant par deux points. Ce covariant est une fonction linéaire des a;;, tels qu'on vient de les trouver. On obtient ainsi la formule
nombre des coniques ayant avec une courbe un contact du troisiéme ordre, et passant par deux points. Corrélativement
1(3 m +p) to N(x +v)+H
est le nombre des coniques ayant avec une courbe un contact du troisième ordre et touchant deux droites.
Le covariant dont il s’agit ici peut aisément être formé comme il suit. Soit a,, = 0 la droite qui joint les deux points, et soient b, = 0, cy, = 0 deux autres droites coupant la première aux deux points donnés y, 8. L’équation d’une conique passant par y et 8 peut s’écrire
ou A,B, E sont les constantes à éliminer. Cette élimination
se fait ainsi
as a, B — FN Cu Cu * Cu cu LE Qu CE 1 ale]?
ad? An TZ —— =O C ° C a(£*) aoe Ga, an
d’ou, en effectuant les calculs,
CA PE a | (yuu)
Quand $ et y coincident, on retrouve ainsi le covarianl G sous la forme donnée précédemment. Pour l'équation différentielle corrélative, celle des coniques touchant deux droites ©, =0, by = 0, en désignant par 2 leur point d’intersection, on aura de méme
df33 T E Dia (uuu) | = 0,
3 3 ? (Buu') * (~Bu)® (uu'u”) =.
qui donne encore G quand les deux droites coïncident.
Exempte #. — Nous allons former un exemple dans lequel aient lieu effectivement les circonstances qui distinguent la formule (26) de toutes les précédentes.
Soit une courbe anharmonique (K) donnée, et representée par l'équation
Par — Le +f, bien =hal 7,
dans laquelle au, bu, ©, sont trois trinômes du premier degré en Uy, Ug, U3. Considérons les courbes anharmoniques (K :.
ayant leméme exposant À , le même point singulier c, = au =° q
avec la même tangente c, = 0, et ayant en outre, avec (Rh:
ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 615 en ce point, le contact le plus élevé possible, quand d’ailleurs on choisit arbitrairement pour chaque courbe (K’) le second point singulier et la tangente en ce point. Ces courbes (K’) satisfont à une équation différentielle du troisième ordre, que nous allons former, et dont le premier membre sera le covariant que nous prendrons pour exemple.
Soit by + À an + 'cy=o la tangente de (K’) au second point singulier, et soit a, + }/c, — 0 la droite qui joint les deux points singuliers de cette courbe. L’équation de (K’) aura la forme
(b, + À Au + } Cu )7 Cu? — K (Qu + }” Cy)? TF,
où le coefficient K est précisément le même que pour la premiére courbe, a cause de la condition relative au contact de (K ) et (K’) au point singulier commun.
L’équation différentielle s’obtiendra par l'élimination de A NAT.
Afin de bien préciser le calcul, introduisons les sommets du triangle de référence, en les désignant par 2, B, y ct dénotant les coordonnées de chacun d'eux par la lettre correspondante affectée des indices 1, 2, 3.
Supposons ay, by, cy ainsi choisis :
Ay (Byu), dy s(yz), Cy = (43 0).
Rappelons-nous aussi les identités
bial - Ay Dy! = — (2BY) (yaw),
($cu') (aun) — Buu") (2uu') = — (28 4) (uu' a”).
Écrivons l'équation de (K’) ainsi :
h a +L,a . 7 he Na KY (ee .
LU
Cu Cr
Différentiant une première fois et ayant égard à la pre-
mière identité, nous obtenons
(zuu') 4 Pe”, Ka (ear)! |
= (3 au’) 7 Ca
Différentiant de nouveau, en ayant égard à la seconde idenlité, nous aurons
na a P=4 (23a) (uum) p+q |
yp fd ‘a f = — q Qu " 2,9 (Sua) pK Go (See)
nu
Pour éliminer la dernière constante i”, nous n’avons qua résoudre par rapport au dernier binôme, puis différentier. ce qui nous donne |
d\ (au) Quuu") P= Qn | dt | (3uu')s ey
c,) ” —|PEDMP Ka iggy |".
" =| 4 4 KF (285) | Pour achever le calcul en développant cette équation diffe-
rentielle et la mettant sous forme entière, nous n’avons qui introduire, comme il a été convenu,
q — Bu) d | (au) (uu'u”) — (a$u)t dt - (Suu'} |:
Il vient ainsi, pour le covariant cherché,
F = (28 )°+29 Die — M (Buu! )t+29 Ga-r,
M= (pany (= py (287)? K.
q 4 4 Cette forme de F est entière si l’on a g > p. Pour les autres cas, F prend la forme entière si on le multiplie par des puissances convenables de G et D; ce qui fait, en tout, trois cas à distinguer. Mais il est à remarquer qu'une seule formule suffit, comme on va voir.
ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 617 Calculons la formule (26) dans l’hypothése g > p. Nous
trouverons
3 I + TT => (9+ pla += (g— pm +(q—p)il +E PS) + FY Ms
q od =) — =) > P.
Er 3, Sp TPP
D'après la définition du covariant F, on obtient le corré-
latif par l’échange de p et g. En échangeant donc p et gq,
metyp, nety, dans la formule précédente, on obtient celle
qui convient au cas opposé, et qu’on pourra aussi calculer directement
3 — + 3 (p— qu + ~(p-+-q)ym +(p—q)H +P ++ IT 0.- Na).
a, . ¢ n “127, T2 LI, 4 <P.
“4 D Vs ip En supposant, dans la première formule, que la courbe (me, 2) soit elle-même une courbe anharmonique, caractérisée
par les nombres p’, g’, et admettant qu’on ait 2% les don-
nées seront
m=p=p+g. H=o, a=, vw =#p';
Il en résulte N = 3gq’ + 2gp' + pq’. Faisons l'application p=p=1,g=q—2;N =18. Étant données deux cubiques de troisième classe, si l’on envisage les cubiques de troisième classe ayant avec chacune des deux proposées un contact du troisième ordre, en un point indéterminé pour l'une, au point d'inflexion pour l’autre, le nombre des cubiques considérées est égal à 18.
Ce dernier exemple fait bien voir que, pour les problèmes
dont il s’agit, il n’y a pas d’équivalents, en nombre limite, aux points singuliers d'une courbe. Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion qui, pour les covariants du quatrième ordre et des ordres supérieurs, donnerait des
résultats analogues, mais avec une complication toujours croissante.
