TROISIEME PARTIE

51. On appelle correspondance entre les points de deux courbes C, C’; une liaison entre un point x de la première et un point x’ de laseconde, telle que, l’un de ces points x étant pris arbitrairement sur C, l’autre point x’ s’en déduise sur C’. Il n'est, bien entendu, question ici que de correspondances

algébriques, c'est-à-dire exprimables par des relations algé-.

briques entre les coordonnées rectilignes de x et x.

De la manière la plus générale, la correspondance peut être telle qu'au point x correspondent A points x’, et au point 2’ K’ points x. C’est le cas de la correspondance multiforme.

Si k et k’ sont, tous deux, égaux à l’unité, la correspondance est uniforme, ou, comme on dit aussi, les courbes se correspondent point par point.

Il peut se faire que C et C’ coincident. On a alors une correspondance entre les points d’une méme courbe.

On ne doit pas confondre la correspondance entre les points de deux courbes avec la correspondance entre les points de deux plans. Cette derniére est une liaison double, telle que, un point x étant arbitrairement choisi, le point x’ s'en déduise. Assurément, une telle correspondance, appliquée aux points x d'une courbe C, donnt une courbe C avec une correspondance entre les points de C et C’. Mais, dans cette application, les nombres & et #/ peuvent être modifiés. Soit, par exemple, la correspondance

z'=x*, yoy.

Envisagée pour le plan, elle est caractérisée par A=1,

k' = 4. Mais, appliquée à une courbe C qui n’a aucun des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axe de symétrie, elle donne lieu à une correspondance uniforme.

D'autre part aussi, une correspondance donnée entre les points de C, C’ peut être regardée comme l'application à C d'une correspondance entre les pôints du plan. Mais, en vertu des équations de C et C’, cette dernière correspondance n'est pas définie, et peut être variée d’une infinité de manières.

I] s’agit ici des correspondances envisagées seulement pour deux courbes et non pas pour le plan.

52. Les correspondances pour lesquelles on a # = 1 méritent une mention spéciale. En ce cas, les coordonnées de x” s'expriment rationnellement par celles de x. Dans les correspondances uniformes, les coordonnées de x s'expriment rationnellement aussi par celles de x’. Pour faire cette inversion, il faut se servir, non pas seulement des expressions de x’, }' en x, ÿ, mais aussi de ]’équation de C, excepté dans le cas où la correspondance considérée est l’application d'une correspondance uniforme dans tout le plan.

Par exemple, la correspondance considérée tout à l'heure. appliquée à la droite ax + by =1, prise pour C, est uniforme; l’inversion se fait par les formules

rs + By —- ax +1

rc ———————— ; — SS

Si, au contraire, on applique la même correspondance du plan à la parabole y = z?, prise pour C, l’inversion se fait ainsi

yor xt’.

C’ coincide avec C, et l’on a A’ = 2.

Toute correspondance peut être ramenée à la combinaison de deux autres dans chacune desquelles l'un des

nombres caractéristiques est l’unité. Soit effectivement une correspondance (Xk, #’) entre x et x’ sur C et C’. On peut, d’une infinité de manières, pour chaque couple x, r', construire un point &, tel qu’à chaque point § corresponde à la fois un seul point z et un seul point z’. On prendra, par exemple, le point de concours des tangentes de C et C'en x et z', ou bien le point où la droite xx’ touche son enveloppe, etc. Le point £ a un lieu I’. Entre x et § sur C et F existe une correspondance (k, 1); entre § et x’ sur T et C’ une correspondance (1, *’). La correspondance (x, x’) est ainsi la combinaison des correspondances (x, §),(§, x’), dont les nombres caractéristiques sont (A, 1), (1, k’).

93. Soit une correspondance (zx, x’) caractérisée par les nombres (k, 1). Pour les coordonnéesde x’ conservons x’, y”, entendant par la, comme précédemment, les rapports de deux coordonnées homogènes à la troisième; pour x prenons des coordonnées homogènes u,,u2,u3. La correspondance donnée permet de considérer u,, u:, Us comme trois polynômes entiers en x’, y’. Désignons par g le degré commun de ces trois polynômes.

Considérons un cycle (C’) sur la courbe C’. Soit ¢ une variable correspondant uniformément aux points de ce cycle (n° 9); prenons les développements de z’ et y’ suivant les puissances de ¢ qui définissent le cycle (C’), et portons-les dans WW, U2, us. Les coordonnées de x étant ainsi développées suivant les puissances entières de t, ces nouveaux développements définissent un cycle (C). Le paramètre ¢ peut correspondre uniformément aux points de ce cycle (C); le contraire peut arriver également, suivant les cas. D’une manière générale, imaginons que p valeurs de ¢ correspondent à chaque point de (C). La correspondance entre les points des deux cycles (C) et (C') est caractérisée ainsi par les nombres (p, 1). Au cycle(C) peuvent correspondre d’autres cycles(C,),(C.), .…

sur C’. Soient z,, 2, ... les nombres analogues à p par chaque couple (C) (GC), (C) (GC), .... La somme p + py + 93... marque le nombre des points de la courbe C’ qui correspondent à un point du cycle (C), c’est-à-dire à un point de la courbe C. Cette somme est donc égale a k.

Si le cycle (C’) est pris arbitrairement, c’est-à-dire si son origine est un point arbitraire de C’, les nombres p sont tous égaux à l’unité. Quand un de ces nombres est supérieur à Punité, il y a coincidence entre plusieurs points x correspondant à un même point z’. Nous allons trouver une relation entre le nombre de ces coïncidences et les éléments des courbes C et C’ déjà envisagés.

54. Considérons une fonction linéaire des uw, soit a a, +- Ag lly + (As U3.

Envisageant cette fonction le long de la courbe C’, appliquons le théorème du n° 27. Les cycles relativement auxquels l’ordre de a diffère de zéro, quels que soient les coefficients a, sont : 1° ceux qui répondent aux coordonnées x', j'infinies; 2° ceux qui correspondent aux zéros simultanés des trois polynômes a. En ce qui concerne ces derniers, désignons par À l’ordre commun aux trois polynômes relativement à un pareil cycle; la totalité des zéros communs à Wy, Us, Ua donne, pour la somme des ordres de a, l'élément Zh. Quant aux premiers, chacun d'eux donne l'ordre — q; leur nombre est le degré m' de la courbe C’. Leur ordre total est donc —- m'q.

Les cycles relativement auxquels l’ordre de a diffère de zéro, et qui varient avec les coefficients a, répondent aux intersections de la courbe C avec la droite a = o. A chacune de ces intersections correspondent & points de C’; ces intersections ont pour nombre le degré m de C. La somme des ordres relatifs à ces cycles est donc km. En égalant à zéro la

RTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 623 somme totale, on a ainsi l'égalité

Km= m'q — > h.

Considérons maintenant une fonction linéaire x des coordonnées tangentielles de x, soit

(au).

Appliquons encore à a le même théorème.

Les points à coordonnées infinies donnent ici la somme

Ceux en lesquels dz’ est nul donnent la somme — pz’, la classe de la courbe C’ étant désignée par pu’. Examinons maintenant quels sont les autres éléments de la somme des ordres, indépendants des coefficients x

Prenons un cycle (C’), d'ordre n’. Supposons que, relativement à ce cycle, les polynômes wu aient l'ordre A. En faisant une combinaison linéaire de ces polynômes, on pourra faire disparaître le terme en {*. Soit alors À + N le degré du premier terme qui subsiste. Il est visible que l’ordre de 2, relativement au cycle (C'), est 24 + N—vn’. Tel est l’ordre de a, relativement à tout cycle (C’), où les coordonnées de l’origine sont finies, et où la tangente n’est pas x’ = const.

Enfin la somme des ordres de x, pour les cycles dont les origines varient avec les coefficients a, est égale à Au, la classe de C étant désignée par u. Nous avons donc

Ku—=am(y—-1)+u — > (2:h+N—n’).

L’élimination de q entre les deux relations conduit 4 celle-ci.

(27) A(a—am)= py! am! — YN =n’).

624 APPEN DICE.

99. Pour dégager, dans la formule (27), les éléments géométriques; envisageons d’abord l'hypothèse 4 = 1. En cecas, C et C’ se correspondent point par point. La variable ¢ qui correspond uniformément aux points d’un cycle (C’) correspond uniformément aussi aux points du cycle (C\. D'après le n° 9, Nest l’ordre du cycle (C). Mettant alors n pour cet ordre, nous avons à prendre dans (27) tous les couples (C), (C’) correspondants où (7 — n') n'est pas nul. En prenant ces couples, nous pouvons écrire

p—am+ P(x —1)=p'—am'+ Ÿ x — 0.

Mais, dans cette dernière forme, la sommation peut se faire, pour chaque courbe, indépendamment de l'autre, pourvu qu'on n’omette aucun des cycles d’ordre différent de l'unité. Ainsi :

Le nombre p — 2m + > (n —1)se conserve dans toute correspondance uniforme.

On verra plus loin que ce nombre est pair et a pour min mum — 2. On peut donc l'écrire 2(p — 1):

(28) a(p--1)=p—am+ Yin).

Le nombre entier, non négatif, p, s’appelle le genre dela courbe. Deux courbes, qui se correspondent point par point, sont du même genre.

56. Prenons maintenant # différent de l'unité. Le nombre N est alors égal à on, n étant l’ordre du cycle (C) correspondant à (C'), et o désignant le nombre des points de (C’) qu correspondent à un même point de (C). Pour donner à l'égalité sa forme définitive, envisageons maintenant une seconde correspondance (x',x"”) entre un point de C’ et un point d'une autre courbe C”,et supposons cette correspondance caracté-

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 625 risée par les nombres (1, k”). Nous avons, en appliquant

l'égalité (27) à C, C’, et à C, C’, K(u—2m)=u — 2m+ den —n') A"(a" —2m")= vw’ — 2m + > (p"n" — n').

La propriété essentielle des sommes © qui interviennent

ici consiste en ce qu'on peut les étendre à tant de cycles qu’on voudra, sous la condition de n’omettre aucun de ceux où l'élément de la somme n'est pas nul. On peut donc tirer des deux égalités cette autre

(39) A(u—2m)— Kh" (u"— 2m") = Si (p"n" — pn).

C'est la une des formes qu’on peut considérer comme définitives, tous les éléments étant susceptibles de définitions simples. Voici, à cet égard, les observations à faire :

1° Dans la formule (ag), les courbes C et C” ont entre leurs points une correspondance quelconque (k, K”), (n° 52);

2° Les lettres n et n" désignent les ordres de deux cycles correspondants (C), (C") sur ces deux courbes; chaque point du cycle (C) a, sur (C”), des correspondants en nombre 5: et chaque point de (C") a, sur (C), des correspondants en nombre p”.

57. Voici maintenant une autre forme de la même relation. Nous pouvons transformer (29) ainsi

k(p—am)+ Ÿ e(n— 1)— A" (p” —2m")

ou chaque somme sera étendue aux mémes éléments que précédemment. Mais, d’après (29), on peut les étendre à tant d’autres éléments qu'on veut. Pour chaque cycle (C) qui

S. — Courbes planes. ho

figure déja dans ces sommes, prenons tous les correspon-

dants (C”). Comme ona >? =k, le second terme de la der-

niére relation devient k > (rn —1). Répétons la même transformation pour chaque cycle (C”) qui figure actuellement dan:

les sommes, et le quatrième terme devient A” > (n™— 1

Etendons ces deux sommes dn — 1)et > (n” — 1) à tous les cycles (C) et (C”) pour lesquels les éléments ne sont pas nuls. Il restera au second membre la somme > (2° —3)

étendue à tous les couples (C) et (C’) correspondants considérés, et cette somme se réduira à tous les couples (C: et (C”) pour lesquels (p” — p) n’est pas nul. Faisant usage de l'égalité (28), nous conclurons |

(30) ak(p—1)—ah"(p"—1) = Yi (p" — 9).

Dans cette relation, la somme > (e” — ¢)a la signification

suivante : a et a” étant deux points correspondants, à un point x infiniment voisin de a correspondent 9 points r infiniment voisins de a”,et à un point z” infiniment voisin dea correspondent £” points x infiniment voisins de a. Quand et a” sont les origines de plusieurs cycles, on doit considérer successivement ces points comme appartenant à ces divers

cycles, pour faire la somme > (5" — p). Cette relation (30),

si remarquable par son extrême généralité, est due à M. Zeuthen.

Comme on l’a observé précédemment, la correspondance peut avoir lieu entre les points d’une seule et même courbe. La démonstration précédente s'applique parfaitement à ce cas, et la formule (30) donne

(31) 2(k — k")(p—1)= Wile" 3).

Le genre p, se conservant dans toute correspondance point par point, se conserve par dualité. C’est ce qu’on vérifie par la formule (29); en effet, si l’on écrit

p—am+ PY (n—i)=m—an+ V(v—0),

on retrouve la formule (22).

En faisant usage des formules (30) ou (31) dans des correspondances diverses, on peut établir par une voie toujours la méme une foule de résultats concernant le nombre des points qui, sur une courbe, satisfont à une relation donnée, ou méme concernant des groupes de points. Nous laisserons de côté ces applications pour aborder immédiatement une des questions les plus importantes qu'offre la théorie des correspondances, celle de la réduction des singularités.

58. Prenons les mêmes notations qu’au n° 53, mais supposons que la correspondance envisagée soit caractérisée par les nombres (1, 1). Pour un cycle (C')nous avons un cycle correspondant(C); les coordonnées d’un point de (C) se développent suivant les puissances croissantes de ¢, paramètre qui correspond uniformément, dans ce cas, aux points de (C) comme aux points de C’). Ainsi qu’on l’a vu au n° 9, la condition nécessaire et suffisante pour que l’ordre du cycie (Ci soit l’unité consiste en ceci : les développements des coordonnées u,, Ur, Uz doivent avoir la forme commune

uj—et"(A;+Bjt+...),

dans laquelle les trois déterminants A;B; — A; B, ne sont pas nuls.

Quand l’ordre n’ du cycle (C’) n’est pas l’unité, cette condition ne sera pas satisfaite si l’on prend arbitrairement les trois polynômes u. Effectivement, si ces polynômes ne sont pas nuls à l’origine de (C’), leurs développements auront la forme A + Bt" + ..., et le cycle (C) sera généralement

d'ordre rn’. On voit clairement que l’ordre de (C) ne peut

être moindre que n’, siles trois polynômes u ne s'évanouissent

pas à l’origine de (C’), en d’autres termes si A est nul. Nous allons montrer qu'on peut former un polynôme u,

entier par rapport à x’, y’, et dont Je développement, pour

chaque cycle (C,) d'ordre n'> 1,.ait la forme

u—=th(a,+b,t+...),

les premiers coefficients a,, b;, ... étant donnés à volonté pour chacun de ces cycles.

59. Soit le cycle (C,) représenté par le développement de y’ suivant les puissances croissantes de (x'— x), x, étant l’abscisse de son origine. Prenons, dans ce développement, l’ensemble des premiers termes jusqu’à un rang que nous allons préciser, et désignons cet ensemble par /;(¢,), en sorte que le développement lui-même soit représenté par

a'— rte, vy =f, (ts) + Fy (ts),

la lettre F désignant le reste de la série. Le développement de y’ an’ valeurs qu’on obtient toutes en prenant partout une seule détermination de ¢,,et en la multipliant par les diverses racines w, de ws = 1. Les termes qui composent J doivent ètre pris en assez grand nombre pour que /,(w,¢,) ait précisément 7’ valeurs.

Il peut exister d’autres cycles, ayant la même origine que (C,) et qui soient représentés par des développement: suivant les puissances de (z’— x,), coincidant avec le précédent dans un certain nombre de termes successifs. L'ensemble /, doit contenir, en outre, au moins le premier terme par lequel le développement /, + F; diffère de tous les autres.

Ceci fait, prenons un polynôme entier arbitraire en 4, 23(¢;), et formons la somme