w,e,) “= or en '— f;(w

appliquée à toutes les racines w, de l’unité. Cette somme est rationnelle en y’ et ¢”*; c’est donc une fonction rationnelle de zx’ et y, w,(z', y’). Pour chaque cycle (C’), dont l’ordre diffère de l’unité, formons d’après la même règle une fonction rationnelle w,, en prenant chaque fois 9, indéterminé, et considérons la somme v de toutes ces fonctions «,. La propriété de cette somme v, qui va nous étre utile, consiste en ceci : pour un quelconque (C,) des cycles précédents, le premier terme du développement de v est fourni par la partie correspondante #..

Soit, en effet, o le premier exposant de t, dans F,. Dans ¢,,

Ps(ts) Yi — fi(ts)

Tout autre ‘terme, où ¢,est multiplié par une racine de l’unité, a sa partie principale de degré plus grand; car, d’après la premiére condition observée dans le choix de /, le dénominateur a sa partie principale de degré moindre que 5. Pour une raison analogue, la seconde condition, observée dans le choix de f, a pour effet d’assigner à la partie principale de chaque autre fonction ¢, un degré supérieur à — o. C'est ce qu'il fallait prouver. |

En prenant 9, à volonté, nous aurons ainsi le développement de v, pour le cycle (C,), sous la forme

le terme a sa partie principale du degré — 5.

vc! — x, = ee, pl (a, +B, t+...).

Les coefficients a,, B,,... seront arbitraires en aussi grand nombre qu’on voudra, pourvu qu’on prenne le degré de &, convenablement.

Il suffit maintenant de prendre pour u le numérateur de la fraction rationnelle v; le développement de u, pour chaque cycle (C,), aura la forme demandée. Les coefficients a, b,.. eta, B,... se déterminent linéairement les uns par les autres. Donc a;, b,,... peuvent être pris arbitrairement.