Prenons trois polynômes w,, U2, Us, construits comme

on vient de le dire, etemployons-les pour déduire une courbe C de la courbe C’. Tous les cycles (C), qui correspondent auy cycles (C’) d'ordre n' > 1, auront eux-mêmes l’ordre unité. Tout autre cycle (C’) donne d’ailleurs un cycle (C) d'ordre égal à l'unité. Effectivement, la circonstance opposée exige qu’à l’origine du cycle (C’) soient satisfaites les conditions du, dus dus

- Ces conditions, au nombre de deux, ne

U, Us Uy

seront satisfaites en aucun point de C’ si les polynémes u ne sont pas particularisés. Ainsi à toute courbe algébrique on peut faire correspondre point par point une autre courbe qui n’ait aucun cycle d'ordre différent de l'unité. On peut aller plus loin encore, en faisant entrer au nombre des cycles (C,) considérés précédemment tous ceux dont les origines sont des points multiples de la courbe C', quand même les ordres de ces cycles auraient l’unité pour ordre. De celte manière, à toute courbe algébrique on peut faire correspondre point par point une autre courbe sur laquelle les correspondants de tous les points singuliers de la pre mière sotent des points simples, et qui n'ait elle-méme d’autres points singuliers que des points doubles ordinatres. Ce théorème est dû à M. Nother.

Les points doubles de C proviennent des couples de points x', x, pour lesquels les trois couples de valeurs de #4, us, u: sont proportionnelles entre elles. Ces couples de points son! variables sur C’ quand on fait varicr les arbitraires des polynômes u. Mais leur nombre est entièrement fixé quand les polynômes & sont construits, comme nous avons dit, avec des polynômes © de degré déterminé. Effectivement alors le degré et la classe m, » de la courbe C sont donnés par les équations du n° 54. Puisque C n’a pas d’autre singularité, on a dans ce cas — m(m — 1) — 2d, d étant le nombre de ce: points. C’est un résultat bien connu, et qui sera d'ailleurs démontré bientôt.

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 631 Le genre p, commun aux courbes C et C’, est donné par la relation 2(p— 1)== »— am, d'où l’on déduit

Des considérations, trop connues pour qu'il soit besoin de les rappeler, prouvent que le nombre des points doubles (m—1)(m—2) ———— Donc le nombre p est, comme il a été annoncé, entier et non négatif. |

d'une courbe de degré m ne peut dépasser

61. L'analyse des n° 58 et 59 conduit à donner au théorème de M. Nôther une forme plus géométrique. Les coor- Y V’'V de deux coordonnées homogémes X, Y à une troisième V,

données x’ et y’ étant considérées comme les rapports

prenons une quatrième coordonnée Z et définissons 7 par le

rapport de deux polyndmes u, et uo, non plus d'un même degré comme précédemment, mais de degrés qui différent entre eux d'une unité : w, de degrég + 1, w, de degré g. En joi-

4 g e e Z a“ gnant à l'équation de la courbe C’ l'équation | = 7? nous

définissons une courbe gauche I, qui a un seul point singulier ; c’est le sommet Z(X = Y = V = 0) du tétraèdre de référence. En ce point, la courbe gauche se compose de cycles, d’ordre unité, ayant cette commune origine; les tangentes de ces cycles sont les droites aboutissant aux intersections de C’ et de la courbe uw) — 0, autres que les points singuliers de C’.

Si maintenant on fait la perspective de F en plaçant le point de vue arbitrairement, cette perspective est une courbe plane correspondant point par point à C’ et n'ayant pour points singuliers que des points doubles ordinaires (points doubles

apparents de l'), et la perspective de Z. Cette courbe plane n’a donc, elle aussi, aucun cycle d’ordre différent de l'unité. En faisant varier d’une manière continue le point de vue jusqu’à Z, on pourra obtenir C’ comme limite de cette perspective. Donc une courbe algébrique quelconque peut étre considérée comme la limite d’une autre courbe n’ayant aucun cycle d'ordre différent de l'unité. Dans cette déformation, les points singuliers de C’s’obtiennent par la réunion de points doubles entre eux.

62. Pour faire comprendre la grande importance du théorème de M. Nôther, nous allons montrer, par un exemple, comment ce théorème permet de transporter à des courbes quelconques certaines propriétés faciles à prouver pour les courbes à singularités ordinaires.

- Soit une courbe C du degré m, n'ayant d'autres points singuliers que des points doubles ordinaires, en nombre d, et dont le genre p soit au moins égal à l'unité. Par les points doubles on peut mener des courbes (x, y) = o du degré m—3, et ces courbes 4 forment un système linéaire à p — 1 arbitraires. En d’autres termes, il existe ppolynômes d,,%2,...,2p linéairement distincts entre eux. Soit f(x,y) = o l'équation de C, sous forme entière; et considérons l’une quelconque Ya( a sn Of (xs)

PTS théorème célèbre, dû à Abel, ct pour la démonstration duquel nous renverrons aux ouvrages spéciaux ('), fait connaitre |. propriété suivante de la fonction ;(x). Soit un faisceau de courbes dont chacune rencontre la courbe C en } points variables avec le paramètre du faisceau, les autres points de rencontre étant fixes pour toutes les courbes du faisceau; en

des expressions

= 9,(2) le long de Ja courbe C. Un

(') Cresscu et Gonpax, Theorte der Abel'schen Functionen, p. 44.

désignant par x,, T2, ...,2, les abscisses des points variables, on a toujours

0,4 r;)dr, + 0,(T:) dr cae 6,(m) dr, — O.

De ce théorème, M. Edouard Weyr a déduit le suivant : si l’on peut, en modifiant le faisceau, faire en sorte que les } points de rencontre de C avec une des courbes du faisceau soient choisis arbitrairement, le nombre } est nécessairement plus grand que le genre p de la courbe C.

En effet, pour un quelconque des groupes (x,....r,) ont lieu p équations, telles que la précédente. Si l’on avait À<p, ces équations homogènes entre les différentielles d.r,,...,dz, entraineraient une ou plusieurs relations entres &,,...:, ce qui est incompatible avec l'hypothèse, un des groupes Zi ...Z;, devant pouvoir être pris arbitrairement.

Si maintenant on applique une même transformation, à la fois, à C et au faisceau, on obtient une transformée C’ et un autre faisceau. Les points mobiles sur C se transforment en points mobiles sur (’, et le théorème de M. Weyr s'applique a une courbe algébrique quelconque, les deux nombres À et p se conservant dans la transformation.

I] existe aussi une proposition réciproque. Revenons à la courbe C, qui n’a que des points doubles ordinaires. Par ces d points et p + 1 autres, choisis à volonté sur C, on peut d’une infinité de manières mener une courbe C, du degré m — 2. Les autres intersections de C et C, sont au nombre

Par ces dernières et par les d points doubles on peut mener un faisceau de courbes (C,), du degré m — 2. Effectivement le nombre total des pivots est

C, est une des courbes de ce faisceau, et l’on a pris à volonté ’ P

pour cette courbe C, le groupe des intersections mobiles, qui sont en nombre (p + 1). Ainsi, tandis que le théorème de M. Edouard Weyr assigne au nombre À la limite inférieure P +1, nous voyons maintenant que cette limite peut être effectivement atteinte pour une courbe C à points doubles ordinaires. Mais ce résultat s'étend immédiatement aux courbes quelconques, et nous avons cette proposilion générale : sé, sur sur une courbe algébrique quelconque, on veut déterminer les points par groupes au moyen des intersections de la courbe avec les courbes d’un faisceau, et cela de telle sorte qu'un des groupes puisse être pris à volonté, le minimum du nombre des points composant un groupe surpasse d’une unité le genre de la courbe.

Cet énoncé attribue au genre une signification géométrique tout à fait générale et,en mème temps, montre clairement que cet élément se conserve dans les transformations uniformes.

On remarquera que la démonstration a laissé de côté les courbes du genre zéro, du moins pour le théorème de M. Edouard Weyr. Mais ces courbes n’échappent pas à la démonstration de la seconde partie, et l’on voit que, suivant l'expression de M. Chasles, les points s’y déterminent indtviduellement. |

Dans la dernière proposition, la condition qu'un des groupes puisse être pris à volonté est essentielle. Par exemple, les courbes hyperelliptiques, >? = F(z), où Fir) est un polynôme entier de degré an, sont du genre (nr — 1); et cependant les points s’y déterminent par groupes de deux seulement au moyen des droites x = constante. Mais on ne peut pas prendre à volonté les deux points d’un même groupe.

63. Une assez curicuse application de la formule donnant le genre peut être faite à la courbe r* = cosk4 (n° 16). Il est visible que deux telles courbes se correspondent point par point quand les deux nombres tels que À ont le même numé-

raleur pour les deux courbes. On doit donc trouver pour le genre une cxpression dépendant seulement de ce numérateur. Prenons, par exemple, le cas où ce nombre & est positif,

égal a 1. La discussion faite au n° 16 montre qu’il y a sur la

courbe 3q cycles d'ordre s et de classe g. On a donc dy —1)=3q(s— 1).

D'ailleurs u = gig +5), m= aqs. Donc

2(p—i=qg(qg+s)— gs +3q(s— 1) —=49(y — 3).