QUATRIEME PARTIE

64. Nous allons étudier maintenant avec plus de détails les développements en série dont nous avons, au début de cette étude, introduit la notion. Soit donc un développement suivant les puissances ascendantes, à exposants positifs et fractionnaires de z ; soit 7 le plus petit dénominateur commun à tous les exposants. Considérons d’abord le premier exposant ¢ et, le réduisant à sa plus simple expression, écrivons-le

§ . 8 . oo, {= —, q étant un diviseur de n et pouvant se réduire à l'unité.

Dans les termes qui suivent, laissons de côté tous ceux où l’exposant a pour dénominateur g ou un diviseur de g, et retenons le premier qui ne soit pas dans ce cas. Soit ¢, ce premier exposant; écrivons-le ainsi Sy.

9 99 Les nombres s, et q, étant pris aussi petits que possible,

qq, est le plus petit dénominateur commun à / et ¢,, et 4 n'est pas l'unité.

Dans les termes suivants, laissons de côté ceux où l'exposant a pour dénominateur qq, ou un diviseur de gq,, et retenons le premier qui ne soit pas dans ce cas. Soit {: ce premier exposant; nous l’écrirons

= + Sq

— —+ ° GQ WI 4419

En continuant de Ia sorte, nous distinguerons un dernier

exposant

(32) er en ae en a SE, GY 9a 4412 YIV72--- 4k

et le produit g9qg:q2...qx est précisément le dénominateur n, commun à tous les exposants.

De cette manière, nous avons distingué dans le développement certains termes caractéristiques

t t t ax!, A Lis lea; eee Ark,

dont les exposants sont donnés par la formule générale (32). Dans cette formule, les entiers positifs s, g de même indice sont toujours premiers entre eux.

Par construction, l’exposant d’un terme quelconque, intermédiaire entre ceux d’exposants ¢; et ¢;,,, a pour dénominateur celui de ¢; ou un de ses diviseurs.

Tous les exposants des termes qui suivent le dernier terme caractéristique ont pour dénominateurs n ou des diviseurs de n.

Les exposants ¢ sont les exposants caractéristiques, les fractions =! les nombres caractéristiques.

65. Nous aurons besoin de considérer simultanément deux développements différents, mais ayant en commun un certain nombre de leurs premiers termes. Employons, pour ce second développement les mémes lettres accentuées, et admettons que le premier terme différent de part et d'autre soit, pour y,

L k Az‘. di:

pour )” | Nai an. % , K et l’un au moins des coefficients A et A’ diffèrent de zéro.

Voici, à ce sujet, la recherche que nous avons besoin de faire. Prenant une des déterminations de y et successivement chaque détermination de y’, nous allons chercher l’ordre de la partie principale du développement de chaque différence } — 3”.

Pour fixer les idées, soit » l’argument de la quantité complexe zx, choisi entre o et z, et admettons que la détermi-

nalion, considérée pour y, réponde à l'argument ——— Ji... Tn

pour pide qu,

Nous obtenons une détermination de >’ en attribuant la encore à x l'argument 9, puis en augmentant successivement cet argument de circonférences entières.

Pour la première détermination de y’ la partie principale

, K dey — y'est du degré ¢; + ————. C'est encore le même

qq ene Ji degré qu'on obtient en ajoutant à l'argument de x

2h41... » Le L’entier À peut acquérir les valeurs O, lycee (Pinte Pron ce Uk — 1).

Soit Gis: Qiss + Gk — Q:ily a Q différences dont l'ordre

Wr Gi

1 , . . K , Ce résultat s'applique encore st ¢;-+ —---— - est l'expo- VIEN L sant caractéristique d'indice ¢+ 1, dans l’un ou l'autre des

deux développements. En ce cas seulement, le nombre K peut n'être pas entier.

est {; +

Quand on ajoute à x l’argument 2hgqgq;...4:.,7, en prenant À non divisible par g; on obtient, pour la partie principale de 3: — y", l’ordre ¢;. De la sorte il y a Q(g; — 1) différences d'ordre t;.

En ajoutant à x l'argument 2hgqg,....qi:7. h n'étant pas divisible par gi,, j'ai Qqi(qi 1 — 1) différences d'ordre li: etc...

infin, en ajoutant à x l'argument 2hx7, A n'étant pas divi-

sible par g, J'ai Qaiqi. 1... qui — 1) différences d'ordre &

RTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 639 La somme totale des ordres des quantités y — 3° est ainsi

9 —— + qi li — li) + sidi —di-ale + iii... |, la. qi( 1) + Giqi-ati-i 2) ViVi-1 ge

ce qui peut s’écrire, en renversant l’ordre des termes,

22 Qj Prenons maintenant pour y successivement ses diverses déterminations. Chacune d'elles conduira à ce même résultat. Donc la somme totale S des ordres de toutes les quantités

! . e . . , , (» — >") s'obtient en multipliant la précédente par qq, . . . x:

[sg (919a--- Fi)? +5, 91(92 se. qi) + Sea(gsdse Jil H+ SiGe hI.

= (isi Give tee Tk) (isi Qivs eee qx) [8q(1 92 oe gi} + .+Ssdit IN |.

Cette somme S est, comme on voit, symétrique par rapport aux éléments des deux cycles. C’est l'ordre d'un cycle par rapport à l’autre.

Si les deux développements n'ont aucun terme en commun, la somme placée dans les accolades se réduit à K.

66. Nous aurons à employer aussi une somme analogue obtenue en considérant les parties principales des différences } — }, formées avec les diverses déterminations d'un mème développement. L’analyse précédente s’applique fort bien à ce cas; et l'on a gx — 1 différences de l'ordre 4, gsi 7x1 — 1) différences de l'ordre ?; ,,.... enfin

Uk Theres WG —1)

différences de l'ordre ¢. On a, bien entendu, considéré une même détermination ) et toutes les autres y, pour former va ve

Le total est ainsi

— U)eg + ala po bly gor... + IL ree W(gG—1)e Sz ‘Uk — t ).

Tdi oe hk

§ Sy = GINO 1) 17, (Aires Gh 13... +

En multiphant cette somme par le nombre des diverses déterminations de y et divisant par 2, on aura la somme T des ordres de toutes les différences }', — y:, formées avec les diverses déterminations d’un même développement :

2T =sqids--- (41... Ir —1) + S19293...k(Qig2... In — 1)... + Sx(gx — 1).

En supposant s = q + +, et faisant

— FL — ’ N= Thy R — Qi... ViVi hs nous pouvons partager les expressions de S et T chacune en deux parties, savoir :

S=nn+$, 2T—n(n-—1)+2€.

5 el & ne sont autres que S et T où l’on a remplacés par y. Si est positif, les développements représentent des cycles tangents à l’axe des x, $ est la somme des ordres des contacts des branches de l’un des cycles avec les branches de l’autre: & est la somme des ordres des contacts des branches du premier cycle entre elles. |

67. La signification géométrique des nombres $, € montre clairement que les nombres caractéristiques sont indépendants des coordonnées. Cette propriété peut être aisément aussi prouvée par un calcul direct; mais nous ne nous y arréterons pas, ce calcul étant très analogue à celui que nous allons faire pour un autre but : trouver les nombres caractéristiques en coordonnées tangentielles, étant connus les nombres caractéristiques en coordonnées ponctuelles.

Soicnt quatre développements suivant les puissances ascendantes d'une variable, et commencant par des termes de degrés positifs, ainsi :

fir) par 24", ;

Si (4) par 471, 1> a, en , . D

s(æ) par Ba’, b> b.

CHEN par 8,24",

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 641 Considérons, d’une part, les équations

et, d'autre part, &— f(x) + fai), 11 = 9( 21) + O( 2).

Si l’on développe 7 et n, suivant les puissances croissantes de § par l'élimination de x et x,, les deux nouveaux développements auront en commun quelques-uns de leurs premiers termes. Cherchons le premier terme différent, ou mieux le premier terme du développement de n, — 7.

En supposant infiniment petites les quantitésxz,x,,E,n,n:, on voit que la partie principale de x, — x est

celle de 7,,— n provient ou bien de o(2,)— 9(z), ou bien de #,(x,) suivant les ordres infinitésimaux de ces quantités. Par suite, la partie principale de n, — 7, est l’une des deux quantités suivantes :

a.—asrh b