VAE 142 UT

VA hr

Prenant successivement {= 1, 2,...,4, nous concluons que , ad ° ry

le développement de x, en ¢ contient les nombres caracté-

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 643 ristiques énoncés. Le dénominateur commun à tous les exposants étant yqiq2.-.qx, comme on le sait d’avance (n° 6), on conclut qu'il ne saurait exister d’autres nombres caractéristiques.

On peut de là tirer une conséquence relative au nombre @ (n° 66). Prenant ce nombre et son analogue & en coordonnées tangentielles, on a immédiatement

2(T—6)—(g —Y)gigr...qu=n —v.

Cette égalité se traduit ainsi : La somme des ordres des contacts des branches d’un méme cycle entre elles et la somme analogue pour un cycle corrélatif diffèrent entre elles comme les demi-ordres des deux cycles.

69. Prenons maintenant deux cycles, comme au n° 65. Le calcul du n° 67 fait voir que les développements relatifs à ces deux cycles en coordonnées tangentielles donnent lieu à deux déterminations dont les différences sont de l’ordre

1( 1 Se Si K ) i+ (1+ — ——— 1.0. es ——— VA qq qn]: Wi -+ Vi W1---i — ITY, Si 4 52 ae + Si K | 7. T1 Xi Adi qi X---qi

Le nombre K se conserve donc en coordonnées tangentielles avec la même signification. S1 l’on se reporte à l'expression de S, on voit que ce nombre se conserve aussi; par conséquent : la somme des ordres des contacts des branches de deux cycles différents et la somme analogue pour deux cycles corrélatifs sont égales entre elles.

70. Le premier probléme a la solution duquel nous allons appliquer les notions qui précèdent est celui-ci : L’équation d’une courbe étant donnée en coordonnées ponctuelles, et les points multiples étant connus, trouver la classe de la

courbe sans former UVéquation en coordonnées tangenttelles.

Les points de contact des tangentes menées d’un point 2 sont les zéros, variables avec ce point, pour le covariant

différentiel (au a) Soit f(U:, Ur, us) — 0 l'équation de

. x . du la courbe; les trois coordonnées tangentielles (uF sont

proportionnelles aux dérivées partielles de /. Au covariant différentiel, on peut donc substituer le covariant fini

Ot dt ot

Pong, ao +? —— polaire du point z. Pour préciser les coordonnées, nous les supposerons liées par une relation linéaire. Sous cette convention, F est un covariant absolu; il reste absolument invariable si l’on change les coordonnées. Pour cette raison, on peut supposer les points à coordonnées infinies situés sur une droite arbitrairement choisie. En appliquant à F la proposition générale du n° 27, nous aurons donc, pour la somme des ordres de F répondant aux coordonnées infinies, le nombre — m(m— 1), où m est le degré de la courbe proposée. Relativement à un cycle, dont l’origine a des coordonnées finies, l’ordre de F diffère de zéro, quel que soit le point z,

ty . ,° , ° Of a dans le cas où les trois dérivées partielles — sont nulles a

Ou

l'origine de ce cycle. C’est précisément là le caractère des points singuliers. Prenons un tel point et, pour calculer l’ordre de F relativement à un des cycles, choisissons les coordonnées #, et u, nulles à l’origine, et pour uw, = o prenons Ja tangente de ce cycle. Faisons, de plus, uw; = 1. Ces suppositions sont permises, comme on l’a vu tout à l'heure. Nous mettrons maintenant x et y au lieu de wy, us.

n° 8 8 aoe ’ 0 D'après les hypothèses, c’est la dérivée oy dont l'ordre est

le plus petit. Ceci résulte du calcul fait au n° 6, en vertu de la proportionnalité des dérivées partielles et des coordonnées tangentielles.

Pour calculer l’ordre de F relativement au cycle (C), il suffit (n° 27) de substituer dans F le développement d'une détermination de 7 suivant la puissance de x, de prendre le degré de la partie principale, et de multiplier par l'ordre du cycle.

Soient y”, 9°", 9°”.... tous les développements de y suivant les puissances croissantes de a, valables aux environs de

— 0. Nous pouvons écrire

f(2,Y)= (y —y)\(y—-y' Vy -77)....

d’où résulte, pour y = 9’,

of — pt an ro (Sr). =(y'—y"V(y -y")..--

Si y’ est une des déterminations appartenant à (C), nous avons à prendre ainsi la somme des degrés des parties principales de toutes les différences (y — y”),(y' — y"), ... et à multiplier cette somme par l’ordre du cycle.

Le résultat se compose donc : 1° du nombre 2T, calculé au n°(67), et relatif au cycle (C); 2° de la somme des nombres S, calculés au n° 65, relatifs au cycle (C) combiné avec tous ceux qui ont la même origine.

Soient (Co); (C1), (C2) ... les divers cycles de même origine, To, Ti, Tz, ... Sos. ..., Sia... les nombres qui sont relatifs à ces cycles. L'ordre de F relativement à (Cy) est 2T, + Sos + So2 + .... La somme des ordres de F relative-

ment à (Co), (C,), (C2).... est donc 2 (T,+T, + Te-+ see So: + Sys +S, Tae .).

Considérant de méme tous les points singuliers, on aura

finalement, en ajoutant tous les résultats, cette expression de la classe p:

Les nombres T se rapportent à tous les cycles d'ordre dif- : férent de l’unité; les nombres S aux combinaisons deux à deux de tous les cycles ayant des origines communes. Au lieu des nombres T, S, on peut introduire les nombres §, &, et écrire ;

= m(m—1)— Sd 2(n—1)—2 > 7-2 (e+ 48).

En appelant N= nyo +n, +- 2+... l'ordre de multiplicité d’un point singulier, origine de divers cycles d'ordres ng, nr, Ng, «+. ON A

N(N — = Ya(a— 1)+2 nn);

donc enfin

a m(m—i1)— YN(N—1)—2 D (+5).

N est l'ordre de multiplicité d’un point, et S\ (5 + &) la somme des ordres des contacts de toutes les branches de courbes deux à deux. Telle est la formule demandée, dans sa plus grande généralité.

Un point double ordinaire apporte à cette formule l’élément N(N--1)=2,@+8=0. Un rebroussement ordinaire donne N(N— 1)= 2; 2(€+5)=:; il abaisse la classe de trois umtés.

71. Prenons la formule corrélative, et, remarquant que S sy conserve (n° 69), nous aurons

meta) UN R(R--1)— a PG + 8).

La première sommation, dans cette dernière formule, ne se

ETUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 647 rapporte pas à tous les mémes éléments que la première sommation de la première formule. Mais, dans les deux formules, les secondes sommations s'appliquent de part et d'autre aux mêmes éléments, les couples de branches tangentes entre elles.

Combinant les deux formules et tenant compte de la relalion entre @ et & (n° 68), nous aurons

ut -- mt = D (I — [) —- SN N= + Voz)

et, en employant la relation (22),

u( ue — 3) m(m--3)=. Ÿ (I — 1)— DNN— 1).

Cette dernière formule, remarquable par sa généralité, contient l’ordre de multiplicité N de chaque point singulier, et celui 9G de chaque tangente singulière. N est la somme des ordres des cycles ayant une commune origine ; 3G la somme des classes des cycles ayant une commune tangente (!).

APPLICATION. — Soit la courbe considérée au n° 33 3(73—42)} = rt.

Pour le point = 3 —o, N(N—1)=6, 2(€+5$)—3;

Pour le pointxr —y—0o, N(N—1)=2, 2(€ + $)—3.

Donc u == m= 5, comme on l’a trouvé autrement.

12. La recherche du nombre des intersections confondues en un point singulier, commun à deux courbes, constitue le dernier problème dont nous ayons à chercher la solution. Le raisonnement à appliquer est le même que pour le problème précédent : au lieu de la polaire, il faut envisager le premier membre de l'équation d'une des courbes, et l'on a

(') Cette formule a été trouvée par M. Zeuthen, dans le Mémoire qui clôt la liste placée en téte de cette étude.

immédiatement la solution suivante : le nombre cherché est la somme des quantités S calculées en accouplant chaque cycle d’une des courbes avec chaque cycle de l’autre courbe. D'après la signification de la quantité $, on peut dire que le nombre des intersections de deux courbes, réunies en un point, est égal au produit des ordres de multiplicité de ce point sur l’une et l’autre courbe, augmenté de la somme des ordres des contacts qu'ont les branches d’une courbe avec les branches de l’autre en ce même point.