X -, — \~y -1- -4-5 -r sur une fonction homogène on retrouve
la même fonction à un facteur numérique près.
62. Si une courbe a un point multiple de V ordre k, ce point sera un point multiple de V ordre (k — i) sur chacune des premières polaires, de r ordre (k — 2) sur chacune des secondes polaires, et ainsi de suite. En effet, si l'origine se trouve au point multiple, les termes de l'ordre le moins
élevé en x ety seront du degré A*; dans la première polaire, qui ne contient que les quotients différentiels du premier ordre de U, les termes de l'ordre le moins élevé en œ el y seront du degré (A" — i), et par conséquent l'origine sera un point multiple de cet ordre; l'équation de la seconde polaire, contenant les quotients différentiels du second ordre de U, renfermera x^ y au degré [k — i), et ainsi de suite. Si deux tangentes en un point multiple de la courbe se confondent, cette tangente coïncidente sera une tangente à la première polaire. En effet, le terme Uj, du degré le moins élevé est de la forme a-bcd^ a, b^ c^.». représentant des fonctions linéaires^ et par conséquent le terme de moindre degré dans la polaire contiendra a comme facteur. Et, en général, si, en un point multiple de la courLe, / tangentes coïncident, (/ — i) d'entre elles seront des tangentes coïncidentes au point multiple de la première polaire, ( / — 2 ) seront des tangentes au point multiple de la seconde polaire et ainsi de suite. Car si u/( renferme un facteur à la /'^°^'' puissance, celui-ci sera facteur du(Z — i)'^""® degré dans tous les quotients différentiels du premier ordre de Uk, du (/ — 2)'^°^'^ degré dans tous les quotients différentiels du second ordre, etc.
Section Y. — Théorie générale des points et tangentes multiples.
63. Nous allons maintenant appliquer la méthode indiquée dans le n° 59 à la recherclie des points et tangentes multiples des courbes. Pour trouver en quels points la droite qui joint les points (^^y, z'), [x^\ y\ z^') rencontre la courbe, nous remplacerons dans l'équation x par \x^ + ^x'' ^ ... et
nous obtiendrons, pour déterminerlerapport -? une équation
que nous pouvons désigner par A =: o et qui peut s'écrire
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r6 CHAPITRE II.
Nous supposons ici que dans les quantités AU^, . . . ,qui ont le sens dont nous sommes convenus précédemment, nous avons remplacé ^, r, z par œ", y\ z^\ Pour qu'un des points \x' 4- ikx^\ \y -^ l^7^\ ^^' + H"-^^' coïncide avec ^^, y,' z\ il faut évidemment qu'une des racines de l'équation A = o soit [ji = G. Mais ce cas ne se présentera évidemment que si U^ = o; et il est, d'autre part, évident que la condition pour que (x^ ^ y j z') soit sur la courbe consiste en ce que ses coordonnées substituées dans l'équation de la courbe doivent vérifier cette équation.
64. Deux des points suivant lesquels la droite rencontre la courbe coïncideront avec (^', y ^ z') si l'équation ci-dessus est divisible par [jl^ ; c'est-à-dire si non seulement U'=: o, mais aussi si AU^ = o : or il est évident que, si la droite c[ui joint le point .(^', y, z') de la courbe avec {x"^y'^ z^') rencontre cette courbe en deux points qui coïncident avec x^ ^ y , z\ le point (x" , y" , z") doit se trouver sur la tangente [ou les tangentes, quand il y en a plus d'une que l'on peut mener à la courbe au point [x' , JK^ z')'\ ; mais nous venons d'établir que, dans ce cas, (^^^, y^ z") doit satisfaire à l'équation
Donc, en général, en un point donné d'une courbe, on ne peut mener qu'une seule tangente, et son équation est celle qu'on vient d'écrire. Il résulte aussi de là que la droite polaire cC un point situé sur la courbe est la tangente en ce point.
Toutes les courbes polaires du point [x\y^ z') seront tangentes à la courbe en ce point. En effet, on a démontré (n" 60) que la droite polaire du point relativement à la courbe U sera aussi la droite polaire de ce point par rapport à chacune des courbes polaires; or (n° 61) les coordonnées (x^, jK^ z') vérifient l'équation de chacune des courbes po-
laîres; donc, d'après ce qu'on a démontré, la droite polaire par rapport à l'une quelconque d'entre elles coïncidera avec la tangente.
65. Les points de contact des tangentes menées à une courbe par un point quelconque sont situées sur la première polaire de ce point. Ce théorème est un cas particulier de celui qu'on a démontré au n° 61 ; mais on peut aussi l'établir directement de la même manière. On a montré que l'équation de la tangente au point [x^ -, y -, ^^) est
en échangeant entre elles les lettres accentuées et celles qui n'ont pas d'accent, nous indiquons que les coordonnées du point sur la tangente sont considérées comme connues et que celles du point de contact ne le sont pas; et nous voyons que ces dernières doivent satisfaire à l'équation
La courbe et sa première polaire se coupent évidemment en n (^n — i) points, et comme, en chacun de ces points d'intersection, les équations U = o, AU==:o seront vérifiées, nous voyons que d^un point donné on peut mener n[n — i) tangentes à une courbe du n^^^^ degré. Ou bien encore (Sections coniques j n° 303) le degré de la polaire réciproque dhine courbe du n^^^^ degré est en général égal à n (n — i).
66. Si cependant la courbe a un point double, on a établi (n° 62) que la première polaire d'un point donné quelconque doit passer par ce point double. Le point double (voir la note du n° 42) compte pour deux parmi les intersections de la courbe avec sa première polaire. Toutefois la droite qui joint le point [x'^ , y" , z") au point double n'est pas une tangente dans le sens ordinaire du mot, quoiqu'elle soit comprise parmi les solutions du problème que nous avons dis-
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cuté [à savoir : mener par {x!' ^ ^ ^ z") une droite qui rencontre la courbe en deux points coïncidents]; en effet, nous avons montré que toute droite issue d'un point double doit être considérée comme y rencontrant la courbe en deux points qui coïncident. Or le nombre total des solutions de ce problème étant toujours égal à /^(/^ — i) (c'est-à-dire au nombre des points d'interseclion de U et AU), le nombre des tangentes pro])rement dites qu'on peut mener à la courbe se trouve diminué de deux unités par chaque point double situé sur la courbe; autrement dit, le degré de la polaire réciproque d^une courbe du n^^^^ degré ayant S points doubles est n[n — t) — 2 S.
67. Si la courbe a un point de rebroussement, nous avons démontré (n^62) que non seulement la première polaire passe par ce point, mais encore qu'elle a pour tangente la tangente au point de rebroussement. Par conséquent (voir la note du n° 42) ce point de rebroussement compte pour trois unités dans le nombre des intersections de la courbe avec sa première polaire, et le nombre des intersections qui restent se trouve diminué de trois unités pour chaque point de rebroussement que possède la courbe. Donc le degré de la polaire réciproque dhine courbe ayant S points doubles ordinaires et x rebroussements est
(*) Suivant Poncelet, Waring est le premier qui se soit occupé de chercher quel nombre de tangentes on peut mener d'un point donné à une courbe du n^^*"® degré {Mlscellanea analytica, p. 100). Il fixa ce nombre à n} au plus. Poncelet a montré {Annales de Gergonne, tome VIII, p. 21 3) que cette limite était trop élevée; que les points de contact se trouvent sur une courbe de degré {n — i) et que leur nombre ne peut dépasser n{n — i). Enfin Pliicker indiqua des cas où ce nombre est moindre que n {n — i) et expliqua complètement (comme nous le ferons plus loin) pourquoi on ne peut mener que n tangentes à la réciproque d'une courbe du ^^"^® degré, quoique cette réciproque soit, en général, du degré n {n — i).
68. Les mêmes principes nous permettraient de reconnaître quel est l'effet d'un point multiple d'ordre supérieur quelconque sur le degré de la polaire réciproque. Un point multiple, de l'ordre k^ serait (n°62) un point multiple de Tordre [k — i) sur la première polaire, et par conséquent le nombre des intersections qui resteraient, et par suite le degré de la réciproque, seraient diminués de k[k — i) unités.
Nous avons montré (n^^ 40) qu'un point multiple de l'ordre A" équivaut k~k[k — i) points doubles, et que chacun d'eux diminuerait de deux unités le degré de la réciproque. Le résultat auquel nous venons d'arriver peut s'énoncer ainsi : Un point multiple produit sur le degré de la réciproque le même effet que le nombre équivalent de points doubles. Ainsi, en général (voir le n° 58), pour un point multiple équivalent à S' points doubles, x^ rebroussements, t^ tangentes doubles et inflexions, le degré de la réciproque se trouve diminué de 2 S^ + 3 y/ unités.
69. Nous avons déjà vu que la droite joignant (^^, y' ^ z') et i^x" ^ y" ^ z") rencontrera la courbe en deux points qui coïncideront avec (^^y, z') si U^ =r o et si [x" ^ y" ^ z") est choisi de manière à vérifier l'équation
Mais s'il arrive que les coordonnées x\ y ^ z^ satisfont en même temps aux trois équations Ui == o, U2 = o, U3 = o, ia seconde condition d'\]\ -\- y^'\y^-\- z^^\]\^-:=.o sera vérifiée quels que soient x^^ ^ y" ^ z" . Le point {x\ y\ z') est alors un point double et toute droite menée par ce point rencontrera la courbe en deux points coïncidents.
Nous voyons ainsi que la courbe représentée par l'équation générale en coordonnées cartésiennes ou trilinéaires n'aura de points doubles que si les coefficients sont liés par une certaine relation. En effet, les trois courbes
8o CHAPITRE II.
U^ = o, U2 = o, U3 = o n'auront en général aucun point commun, et par conséquent les fonctions U^ U2, U3 ne pourront toutes s'annuler en même temps. Si nous éliminons x^y,z entre ces trois équations, nous obtiendrons une relation entre les coefficients, qui sera la condition pour que ces trois polaires se coupent, ou pour que la courbe U ait un point double. Cette condition est appelée le discriminant de la courbe. Par exemple (Sections coniques, n^ 292), nous avons trouvé le discriminant d'une conique en éliminant X, y, z entre les trois équations
a.x -h hy -^ gz =.0. hx -f- h y -hfz = o, gx -h/y H- c^ = o,
dont chacune doit être vérifiée par les coordonnées du point double si la courbe en a un, et nous avons obtenu
abc + 2 /*^-A — ap — bg^ — ch^ = o.
En général, le discriminant sera du degré 3(n — i)^ par rapport aux coefficients de l'équation donnée (voir Algèbre supérieure, n° 76); en effet, puisque les trois équations dérivées sont chacune du degré n — i, leur résultante contiendra les coefficients de chacune à'' e\le^ au degré (/2 — i)-, et les coefficients des équations dérivées sont chacune du premier degré par rapport aux coefficients de l'équation (voir aussi V Algèbre supérieure^ n° 105).
70. Nous pouvons appliquer ces principes à l'examen des conditions qui doivent être satisfaites quand la première polaire d'un point A, {x' ^ y' , z')^ a un point double. Diffère ntions l'équation
et employons pour représenter les dérivées secondes la notation du n° 59 ; nous voyons que, s'il existe un point double B. ses coordonnées doivent satisfaire aux trois équations
ax^-\-hy'-{-gz'^=iOj hx'-^by' -^fz' -=.0, gœ' ^Jy'-^cz' :=:zo.
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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 8l
Ce sont là trois relations qui lient les coordonnées x' ^y' j z' du point A aux coordonnées x, y^ z du point double B, dont a, è, . . . sont chacune des fonctions du degré (/z — 2). Mais si nous comparons ces équations à celles que nous avons rappelées dans le numéro précédent, nous voyons qu'en écrivant la conique polaire du point B sous la forme
ax*^ -\- by^ 4- cz"^ -h '^.fyz -f- 2 gzx 4- 2 hxy =r. o.
ces trois relations sont exactement les conditions qui doivent être remplies pour que A ou (x^, y, z') soit un point double de la conique polaire. Nous concluons de là que, si la première polaire d^ un point quelconque k, a un point double B, la conique polaire de B a un point double A, et réciproquement.
Entre les trois équations ci-dessus, nous pouvons éliminer x\ y' , z' . et nous obtenons la relation
abc + "ifgh — aj^ — bg'^ — cA^ := o,
qui doit être vérifiée par x, y, z.
Cette équation est ainsi le lieu du point B, et il résulte de ce que nous avons dit qu'on peut le définir comme le lieu des points qui sont des points doubles sur les premières courbes polaires, ou bien comme le lieu des points dont les coniques polaires se décomposent en deux droites. Puisque les quotients différentiels du second ordre a, 6, c,... sont chacun du degré n — 1 en x, y^ z^ l'équation qu'on vient d'écrire est du degré 3(/i — 2). La courbe qu'elle représente a des rapports importants avec la courbe donnée, dont elle est un covariant {Algèbre supérieure, n^ 93). On l'appelle la hessienne de U, parce qu'elle a été étudiée pour la première fois par Hesse.
Si nous avions éliminé x^ y^ z entre les trois équations précédentes, l'équation résultante en x' , y' ,z' donnerait le lieu des points A; on peut le définir soit comme le lieu des points S. — Courbes planes. G
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dont la première polaire a un point double, soit comme le lieu des points qui sont des points doubles sur les coniques polaires. Nous appellerons ce lieu \^ steinérienne de U, parce qu'il a été étudié parle géomètre Steiner. Pour effectuer réellement Félimination dans un cas quelconque, il serait nécessaire d'écrire a, è, . • . sous forme explicite ; mais nous pouvons voir facilement que l'équation résultante est du degré 3(/z — 2)-, puisqu'elle est le résultat d'une élimination entre trois équations, dont chacune est du degré (71—2) et qui contiennent chacune ^, JK, z au premier degré.
71. Revenons maintenant à l'équation A=:o; nous voyons qu'elle aura trois racines [x égales à zéro, ou que la droite en question rencontrera la courbe en trois points coïncidents, si les trois conditions U^ = o, AU^ r=z o, A^ U^ = o sont vérifiées. Considérons d'abord le cas où x^ ^ y, z' est un point double; nous avons vu qu'alors U^ et AU' s'annulent quelles que soient les valeurs dex", y, ^", et la troisième condition exprime que le point (x'^,y'^yZ'^) doit être sur la conique polaire de (x'^ y, z'). Mais il est évident que le point [x" , y y ^'')peut être un point quelconque de l'une ou l'autre des deux tangentes au point double, puisque chacune d'elles rencontre la courbe en trois points qui coïncident. Donc la conique polaire de {x^y ^ z') doit être identique avec ces deux droites, ou, en d'autres termes, l'équation du couple de tangentes au point double est A^U' = o, ou bien
a^r- 4- h' y- -!- c^ z^ -h ^/'/^ -+- 2 g' z.-jc -h 2 h' xy ~ o.
Le point double étant un des points dont la conique polaire se décompose en deux droites, comme on vient de le démontrer, c'est un point de la hessienne et nous pouvons établir directement qu'il satisfait à cette équation. En effet, d'après le théorème des fonctions homogènes d'Euler, les trois équations U', = o, U2 = o, U3 = o, qui sont vérifiées
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pour le point double, peuvent s'écrire
et, en éliminant x^ , y' ^ ^', nous voyons que l'équation de la liessienne est satisfaite pour le point double.
72. Le point double sera un rebroussement, si l'équation qui représente les deux tangentes est un carré parfait, c'est-à-dire si bc =/^, ca ■= g-, ab == A-. Ces trois équations n'équivalent qu'à une seule condition nouvelle, car, si l'une quelconque d'entre elles est vérifiée et si les coordonnées x^ ^ y y z' du point double ont des grandeurs finies quelconques, les autres doivent aussi être satisfaites. En effet, en
résolvant successivement par rapport à —, ? "47 chaque couple
des équations données à la fin du Chapitre précédent, nous avons
hf~bh bc—f __
fg — ch
~^ ab — h^ "~ hf— bg "
S-l^-af
g h — af__ fg — ch ab~h^ hf—bg
ca — g'^
gh - ar
si donc ah = h'^ et si aucun des rapports n'est infini, le numérateur et le dénominateur de chacune de ces fractions doivent s'annuler en même temps.
73. L'origine sera un point triple, si tous les quotients différentiels du second ordre a^b^. . . s'annulent, car A^ U est alors nul quels que soient ^'^, y'^^ z^' \ et si les coefficients différentiels du second ordre s'évanouissent, le théorème des fonctions homogènes montre qu'il en est de même pour ceux du premier ordre et par suite pour AU^ Donc toute droite issue de x\ y' , z^ rencontrera la courbe en trois points
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coïncidents, et il est évident que les trois tangentes en ce point seront données par l'éqaation A^U^= o.
Il n'y a aucune difficulté à étendre les mêmes considérations aux points multiples d'ordre supérieur. Le point (^^, y' , z') est un point multiple de Tordre k, si les coefficients difi'érentiels de l'ordre k — i s'annulent pour ce point, et les tangentes au point multiple sont données par l'équation
74. Examinons maintenant dans quel cas on peut mener une droite par un point i^x' , y'^ z') d'une courbe (qui ne soit pas un point double) de manière qu'elle rencontre la courbe en trois points qui coïncident avec [x' , y' y z')] pour fixer les idées, nous pouvons, dès l'abord, supposer que la courbe n'a pas de points multiples. Nous avons vu (n° 71 ) que tout point d'une pareiHe droite doit satisfaire aux conditions AU'=o, A2U^z=o.
La première de ces équations indique que la droite doit coïncider avec la tangente en [x\ y' , z')^ comme cela est évident géométriquement; la seconde exprime que tout point de la droite satisfait à l'équation de la conique polaire. L'équation de la conique polaire A-U' doit donc, dans ce cas, contenir l'équation de la droite AU' comme facteur; par conséquent, le point (^x\ y' j z') doit être un des points dont les coniques polaires se décomposent en facteurs, autrement dit, il doit être un point de la hessienne (n° 70). Et réciproquement, tout point où la hessienne rencontre U est un point où l'on peut mener une droite qui rencontre la courbe en trois points coïncidents : en d'autres termes, c'est un point d'inflexion. En eff'et (n^ 64), la conique polaire de tout point de U est tangente à U en ce point; et si le point est également situé sur la hessienne H et si, par conséquent, la conique polaire se décompose en deux facteurs, l'un de ces facteurs doit être la tangente en {x' , y ^ z'). Tout point de la
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tangente satisfera donc aux deux conditions AU'==ro, A^ U^= o. Il en résulte alors que tout point d'intersection des courbes U, H sera un point d'inflexion sur U, et, comme H est du degré 3(^ — 2), une courbe du degré n a en général '5n(n — 2) points d^ inflexion.
75. Si cependant la courbe a des points multiples, le nombre des points d'inflexion subira une réduction. Nous avons déjà fait voir (n° 71 ) que tout point double de la courbe est un point de la hessienne; nous allons démontrer maintenant qu'il est aussi un point double sur cette dernière courbe, et plus généralement que tout point multiple de l'ordre k sur la courbe est un point multiple de l'ordre i k — 4 sur la hessienne. La manière la plus commode d'établir ce théorème consiste à supposer que le point multiple a été pris pour origine et que, par conséquent, l'équation ne contient aucun terme en X' et jk de degré inférieur à k. Cherchons quel est le degré des termes du degré le moins élevé en œ et y dans les quotients différentiels du second ordre : il est bien clair que partout où l'on aura diff'érentié deux fois par rapport à X ou j^, l'ordre des termes de moindre degré sera k — 2 ; que dans les expressions differentiées une seule fois par rapport k X ou y, et une seule fois par rapport à z, l'ordre sera k — I, et que quand les deuxdifférentiations auront été faites par rapportai, l'ordre seraA^; on voit ainsi que les ordres des termes où le degré est le moins élevé seront respectivement
dans a, b, c, /, g^ h.
En combinant ces résultats, nous reconnaissons que l'ordre des termes du degré le moins élevé dans chaque terme de
abc H- "^fgh — ap ~ bg'^ — ch^ sera 3 /c — 4 •
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Mais nous disons, de plus, que toute tangente en un point multiple de U sera aussi une tangente au point multiple de H. En effet, supposons que la droite ^ = o soit une tangente à l'origine, et que, par suite (n° 40), les termes de moindre degré en ^ et y contiennent tous ce comme facteur; il est clair alors que x entrera aussi comme facteur dans les termes de moindre degré de chacun des quotients différentiels du second ordre où il n'y a pas eu de différentiation par rapport à ^; c'est-à-dire que^ figurera comme facteur dans è, c elf. Or un simple examen montre que chaque terme de
abc -h ^fgh — cif'^ — %'^ — ch^
contient ou b, ou c, ou/ (^ ).
76. Nous sommes maintenant en mesure de calculer de combien d'unités sera diminué le nombre des points d'inflexion, quand U aura des points multiples. Si U a un point double, celui-ci sera aussi un point double sur H et les deux tangentes seront communes aux deux courbes; mais (voir la note du n" 42) quand deux courbes ont un point double commun ainsi que les tangentes à ce point, ce dernier compte pour six unités dans le nombre de leurs intersections. Pai' conséquent, le nombre des intersections de U et H distinctes du point double sera réduit de 6, et nous en concluons que^ si une courbe a S points doubles, le nombre de ses points dinflexion sera 8/2(72 — 2) — 6S.
D'une manière analogue, si U a un point multiple d'ordre k, nous avons vu qu'il figurera comme point multiple de l'ordre ik — 4 s^^i' H et que ces deux courbes auront k tangentes communes. Le point multiple comptera donc parmi les inter-
(*) Comme exercice utile sur le n° 56, nous recommandons au lecteur de démontrer que la hessienne et la courbe touchent les tangentes de cotés différents (Clebsch, Vorlesungen, p. 325).
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sections pour
k{3k~^)-+-k = 6 x^sk{k — i) imités.
Or, nous avons vu (n° 40) que le point multiple en question équivaut à ^k(k — i ) points doubles; donc le résultai que nous venons de trouver peut s'énoncer comme il suit : Le point multiple a exactement le même effet, pour ce cjui le garde la réduction du nombre des points d inflexion, que le nombre équivalent de points doubles,
77. Le cas où il existe un rebroussement sur U exige une étude spéciale. Prenons ce point pour origine et supposons cjue x-=^o soit la tangente, de manière à mettre l'équation sous la forme
nous verrons alors que les ordres des termes du degré le moins élevé dans les quotients différentiels du second ordre sont o, I, 2, 2, I, I respectivement. En effet, les termes dont nous avons à nous occuper sont
a =z 2Z'^-'-, b r=: ^ 5'^"^ C = ( Al 2) {71 -3)œ''z^-'%
ay
/ — (;^3) ^ ^/^-^.^ g^2{n — 2)xz''-', h~ ' -"-'
dy .' ^ ' '' ' dxdy ^ *
Nous trouverons ainsi que l'ordre des termes du deg-ré le moins élevé dans
abc ^ '2.fgh — o/^ — bg''-' — cA^
est égala trois et que c'est seulement dans les termes abc et bgque l'ordre est aussi peu élevé; or chacun de ces termes contient^- comme facteur. Donc, s'il existe un point de rebroussement sur U, ce point sera un point triple sur H et deux des tangentes en ce point triple coïncideront avec la tangente au point cuspidal. Mais quand deux courbes ont un
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point commun, double sur l'une et triple sur 1 auire, ce point compte pour six intersections, et si, de plus, deux tangentes au point double sont aussi tangentes au point triple, les courbes ont en commun deux points consécutifs de plus, et par conséquent ce point compte en tout pour huit intersections. Donc, si une courbe a S points doubles et x rebroussements, le nombre de ces points d'inflexion sera égal diZn[n — 2) — 6 S — 8x.
78. Nous ferons voir plus tard comment on peut faire usage de l'équation A = o pour discuter les conditions relatives aux tangentes doubles ; mais, cette recherche étant un peu difficile, nous la laissons de côté pour le moment. Nous allons montrer actuellement que les résultats déjà obtenus, combinés avec la théorie des courbes réciproques, sont suffisants pour déterminer indirectement le nombre des tangentes doiubles d'une courbe du /z'^™® ordre.
L'équation du système de tangentes que l'on peut mener à la courbe d'un point quelconque [x\ y' ^ z') peut se déduire de l'équation A = o par la méthode déjà employée {Sections <coniques, n^^ 92, 294). Un point quelconque situé sur l'une de ces tangentes jouit évidemment de la propriété que la droite qui le joint à {x\ y\ z^) rencontre la courbe en deux points consécutifs, et, dans ce cas, l'équation A =: o aura deux racines égales. Nous formerons donc l'équation du système des tangentes en égalant à zéro le discriminant de l'équation A considérée comme une forme binaire en )v, [x.
Supposons, par exemple, que U soit une courbe du troisième ordre. Alors A est
Ici, pour abréger, nous avons écrit A^ et A à la place de AU' et AU. Le discriminant de A égalé à zéro est
(27UU^2+4a'3 iS ^^'U)l] ■=.{^'^— ^M]')^\
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U, A, A^ sont respectivement du troisième, du deuxième et du premier degré en Xy y, z] et, comme l'équation qui précède est du sixième degré, on voit que par (^', y', z') on peut mener six tangentes à U, comme nous le savions déjà.
La forme de l'équation montre qu'elle représente un lieu tangent à U aux points où A rencontre cette courbe. Les autres points où U coupe le lieu sont situés sur la courbe A^2 — 4^U'= o, T^ono, ^ si d' un point quelconque on mène six tangentes à une courbe du troisième de gré ^ leurs six points de contact se troussent sur une même conique à, = o et les six autres points où ces tangentes rencontrent à nouveau la courbe sont situés sur une autre conique A^^ — 4 AU' = o; ces deux coniques ont évidemment un double contact aux points A = o, A' = o.
• Si x' ,y' ^ z' est sur la courbe, U' est égal à zéro, A se réduit àl^ ^ | \^l:^ j [jl2U : en égalant à zéro le discriminant, nous avons pour résultat A^rzr 4^^ U; c'est une équation du quatrième degré en xyz. Donc, par un point d'une courbe du troisième ordre, on ne peut en général mener que quatre tangentes à cette courbe. La tangente au point de contact compte par le fait pour deux tangentes.
