CONDITION DE CONTACT ENTRE DEUX COURBES

96. On a fait remarquer (n° 90) que le problème aucjuel conduit la recherche de l'équation de la courbe réciproque est le même que celui qui consiste à trouver la condition pour (ju'une droite soit tangente à la courbe donnée; la solution de ces deux problèmes revient à trouver l'enveloppe de ax -\- py -i-yz ^= Oj où a, [3, y sont des paramètres qui satisfont à l'équation de la courbe. Plus généralement, le problème qui consiste à trouver la condition pour que deux courbes U, V soient tangentes est le même que celui où .1 s'agit de trouver l'enveloppe de l'une d'elles, les coordonnées étant regardées comme des paramètres variables qui vérifient aussi l'équation de l'autre. En effet, si les deux courbes sont tangentes, les coordonnées du point de contact a, p, y vérifient l'équation de chacune d'elles, et comme les tangentes sont aussi les mêmes, il faut qu'en ce point les quotients différentiels de U soient respectivement proportionnels à ceux

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Il6 CHAPITRE iri.

de V. La condition de- contact s'obtient donc en éliminaDt a, [ï, y, ). entre

dV , d\ d\] , dV dU , r/V (2 a aa <:/p «r/p ay ay

or ces équations sont précisément celles qu'on a données (n"" 88) pour résoudre le problème de l'enveloppe.

97. Soient /7?, m^ les degrés respectifs de U et V et proposons-nous de déterminer l'ordre auquel les coefficients de l'une des deux courbes, de V par exemple, figurent dans la condition de contact. Soient a^ b', c\ ... les coefficients de V et prenons une autre courbe W du même ordre, dont les coefficients soient a" ^ b" ,c" ^ .... Si, dans la condition de contact, nous remplaçons chaque coefficient a! par a' -\- ka" ^ . . . nous obtiendrons la condition pour que V + A W soit tangente à U; cette relation contiendra évidemment k k \m\ degré égal à l'ordre auquel les coefficients de V entrent dans la condition de contact. Ce dernier ordre est donc le même que le nombre de courbes de la forme V -|- /c W qu'on peut mener de manière qu'elles soient tangentes à U. Mais, comme dans ce qui précède, le point de contact doit satisfaire aux équations

Éliminons k et \j nous en déduisons

Ui Y, W,

Ih V3 W^

Les intersections de y ^vec U déterminent les points de U qui peuvent être des points de contact avec les courbes de la formeV-f-A'W.Commeles ordres de U|,V,,Wi sont respec-

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